npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2021; 71: 1076-1081

Published online December 31, 2021 https://doi.org/10.3938/NPSM.71.1076

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Relativistic Spin 4-vector and Spin Operator

Yeong Deok HAN*

우석대학교 컴퓨터공학과, 진천 27841, 대한민국

Correspondence to:ydhan@woosuk.ac.kr

Received: October 25, 2021; Accepted: November 4, 2021

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

For Dirac particles such as electrons several quantum mechanical spin operators were proposed in the past, and many studies on the nature of the spin operators were published. On the other hand, spin can be described by using a classical spin 4-vector. In this paper, we investigate the relation between the spin 4-vector and the quantum-mechanical spin operator. For this purpose, we define a spin operator using a spin 4-vector with the consideration that under the Lorentz transformations, positive and negative energy rest states acquire opposite momenta. The resulting spin operator is the same as Foldy- Wouthuysen(FW) spin operator and we conclude that the FW spin operator can be regarded as the quantum-mechanical extension of classical spin 4-vector.

Keywords: Relativistic electron, Spin, Spin 4-vector, Spin operator

전자와 같은 디랙 입자의 스핀을 나타내는 양자역학적 연산자는 지금까지 여러가지가 제시되었으며 그 특성에 대해 많은 연구가 있었다. 한편 스핀은 고전물리학적으로 4-벡터를 이용하여 기술할 수 있다. 이 논문에서는 스핀 4-벡터와 양자역학적 스핀 연산자와의 관계에 대해 논의한다. 이를 위해 스핀 4-벡터를 통해 스핀 연산자를 정의하며 이 때 양과 음의 에너지의 정지 상태를 로렌츠 변환하면 운동량이 반대가 됨을 고려한다. 그 결과 정의된 스핀연산자는 Foldy-Wouthuysen(FW) 스핀 연산자와 동일하며, 따라서 고전적 스핀 4-벡터에 의한 기술을 양자역학적 연산자로 확장한 것은 FW 스핀 연산자에 해당한다고 할 수 있다.

Keywords: 상대론적 전자, 스핀, 스핀 4-벡터, 스핀 연산자

전자와 같은 자연의 기본 입자들은 스핀을 가지고 있다. 이러한 입자의 운동은 상대론적 영역에서 디랙(Dirac) 방정식으로 기술된다. 디랙 방정식은 크기 ħ/2인 전자의 스핀과 이에 수반되는 자기모멘트의 존재를 잘 설명한다. 디랙 방정식은 양과 음의 에너지 해를 갖는데 양의 에너지 해는 전자로 음의 에너지 해는 양전자의 존재로 연결된다. 쌍생성, 쌍소멸과 같이 입자의 개수가 변하거나 전자와 양전자가 다 등장하는 과정을 다룬다면 디랙 방정식을 넘어선 양자전기역학으로 다루어야 하지만 전자만의 입자 운동으로 다룰 수 있는 상대론적 전자 빔 [13], 양자 화학 [4] 등을 비롯한 여러 분야 [5,6]에서는 디랙방정식이 유용하다.

디랙 방정식을 따르는 입자의 총 각운동량은 궤도각운동량 L = x × p 와 스핀각운동량 SD 의 합인 J = L + SD 로 나타내진다. 표준 표현에서 SD 는 비상대론적 양자역학에서의 파울리(Pauli) 스핀연산자 12σ를 디랙 방정식으로 확장한 SD = 12 (Σ = diag(σ,σ)) 형태의 연산자이다. 본 논문에서는 SD 를 디랙 스핀 연산자라고 부를 것이다.

비상대론적 양자역학에서 입자의 스핀은 입자의 공간상의 운동과는 별도인 내부적 자유도 즉 자전 각운동량으로 이해된다. 그런데 디랙 스핀 연산자 SD 는 이러한 직관적 해석을 어렵게 하는 다음과 같은 특징들이 있다. 우선 자유입자의 해밀토니안(Hamiltonian) H에 대해 총각운동량 J는 [H, J] = 0이므로 보존되는 양이다. 그러나 [H,Σ] ̸= 0이고 따라서 자유입자의 경우에도 디랙스핀 SD는 보존되지 않는다 [7]. 또한 정지한 입자가 디랙 스핀 연산자의 고유 상태에 있을 때 예를 들어 z^ (z^ = 1) 방향의 스핀 연산자 z^ · SD = 12z 의 고유상태로 주어졌을 때, 이를 운동량이 p로 나타나는 다른 로렌츠 프레임에서 본 전자의 상태는 p^ = z^ 인 경우를 제외하고는 어떠한 n^ · SD (n^ = 1) 에 대해서도 고유상태가 되지 않는다. 즉 전자는 관찰하는 프레임에 따라 디랙 스핀 연산자의 고유상태가 되기도 하고 혼합(mixed) 상태가 되기도 한다 [8]. 또한 운동량이 0이 아닌 경우, 디랙 스핀 SD 의 고유상태를 만들기 위해서는 일반적으로 양의 에너지 상태와 음의 에너지 상태를 중첩해야만 한다. 이러한 특징들은 SD 를 시공간적 운동과 독립된 자유도로서의 스핀을 나타내는 연산자로 보기에 어려움이 있다는 것을 보여준다.

따라서 상대론적 전자의 스핀을 바르게 기술한다고 여겨지는 여러가지 스핀 연산자가 Foldy-wouthuysen, Czachor, Pryce, Frenkel, Chakrabarti, Fradkin-Good, Ryder 등에 의해 제시 되었고 [915] 많은 연구가 있어왔으며 [1621] 최근 양자정보 이론과 관련해서도 상대론적 스핀에 대한 이해가 요구되고 있다 [22]. 이 중 FW 스핀 SFW 은 디랙해밀토니안에서 양과 음의 에너지 성분이 분리되어 표현되도록 하는 FW 변환으로 정의 되는데, 변환된 표현에서 12로 나타나는 연산자를 의미한다.

한편 입자의 스핀을 보다 직관적으로 다루는 방법은 고전적 방식의 4벡터로 기술하는 것이다. 즉 입자의 정지(rest) 프레임에서 스핀의 방향을 공간상의 3차원 벡터 s^로 나타내며 입자가 운동하는 프레임에서는 로렌츠 변환된 4-벡터 sµ 로 기술하는 방법이다. 직관적으로 이해하기 쉬운 시공간 상의 벡터로 표현하는 방법이라 할 수 있는데 전자기장 안에서 운동하는 자기모멘트(스핀)의 방향 변화에 관한 BMT 방정식 등은 이를 바탕으로 하고 있다 [23]. 뮤온 자기모멘트의 (g – 2) 정밀 측정을 비롯한 실험적 연구에서도 이런 기술 방식이 사용되고 있다 [2426].

그러나 이러한 기술 방법 간의 관계에 대해서 구체적 연구나 언급을 한 것은 찾기 어렵다. 본 논문에서는 스핀 4-벡터와 스핀 연산자의 관계를 알아보기 위해 스핀 4-벡터를 이용한 스핀 연산자를 다음과 같은 조건을 통해 정의한다. 즉 한 좌표계에서 파동함수가 스핀연산자의 고유상태일 때 로렌츠 변환된 상태도 계속 고유상태가 될 수 있도록 스핀 연산자를 정의한다. 이 때 디랙 방정식의 해에 양음의 에너지가 있음을 로렌츠 변환에 적절히 고려해야 하고 그 결과 이 스핀 연산자는 FW스핀 연산자와 일치함을 보인다. 결론적으로 4벡터에 의한 직관적인 스핀의 기술와 밀접한 관계가 있는 양자역학적 스핀연산자는 FW 스핀이라고 할 수 있다.

자유 공간에서의 질량 m인 입자의 디랙 방정식은 다음과 같다(ħ = 1, c = 1).

itψ=Hψ=iα+βmψ

여기서 H = −iα ·∇+ ±m 는 디랙 해밀토니안이고, α, β는 4×4 디랙 행렬들이며, 본 논문에서 사용하는 표준 표현에서

α=0σσ0, β=1001

이며 σ는 2 × 2 파울리 행렬이다. ψ (r, t)은 4개의 성분을 갖는 디랙 파동함수이며 디랙 방정식은 γ0 = β, γi = βαi 와 같이 정의하면 (γµPµm)ψ = 0 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 Pµ = i∂µ 이다.

로렌츠 변환 x'μ=Λνμxν 에 대해 디랙 방정식은 로렌츠 공변(covariant)이며 이 때 파동함수는 다음과 같이 변환된다.

ψ'x'=SΛψx

여기서 변환행렬 S(Λ)는 S(Λ)γµS−1(Λ) = Λνμγν 를 만족한다.

디랙 방정식의 운동량이 p인 해는 양과 음의 에너지의 두 종류가 있다.

ψ=ueipxEt, p0=EυeipxEt, p0=E
u=NwσpE+mw, υ=NσpE+mww

여기서 E+m2+p2, N=E+m2E 이며, 운동량 연산자 −i∇ 의 고유값은 p이다. www = 1를 만족하는 2 × 1행렬로 스핀의 상태를 규정한다. 한편 음의 에너지 해를 양전자의 양의 에너지 상태로 직접 대응시키는 경우도 있으나 [14] 본 논문에서는 전자가 음의 에너지 상태에 있는 것으로 볼 것이다.

디랙 스핀 연산자 SD 는 다음과 같이 정의되며,

SDi4α×α=i2γ2γ3,γ3γ1,γ1γ2,

표준 표현에서는 SD = 1212diag(σ,σ)이다. 이는 비상대론적 경우의 스핀 연산자 12σ를 확장한 것이다. p = 0인 경우는 임의의 s^ (s^ = 1) 방향으로의 스핀 상태가 가능하다. 즉 s^ ·Σ ψ = ±ψ 인 스핀 고유상태는 ws^·σw = ±w 가 되도록 잡으면 된다. 그러나 p ̸= 0인 경우는 특별히 s^ = p^일 때를 제외하고는 어떠한 w에 대해서도 ψs^ · Σ의 고유상태가 되지 못한다.

(5)에서 w = (1, 0)T 일 때를 각각 u1, v1 이라고 하고, w = (0, 1)T 일 때를 각각 u2, v2 이라고 하면 다음과 같은 정규 직교성이 있음을 알 수 있다.

uiuj=δij, υiυj=δij, uiυj=0

따라서 운동량이 p인 디랙 파동함수에서 양과 음의 에너지 상태를 추출하는 프로젝터는 다음과 같다.

P+=u1u1+u2u2=12EE+mpσpσEm
P=υ1υ1+υ2υ2=12EEmpσpσE+m

운동량이 중첩된 일반적 파동함수에 적용되는 프로젝터는 p, E를 연산자 P = −i∇, E=m2+P2 로 대치하면 얻어진다.

고전적 스핀 4-벡터 - 입자의 정지 프레임 (rest frame)에서 운동량은 prμ = (±m, 0)이다. 이 정지 프레임에서 스핀의 방향이 공간상의 벡터 s^r (s^r = 1)로 표시될 때 스핀 4-벡터는 srμ = (0, s^r)로 정의한다. 운동량이 로렌츠 변환 pµ = Λνμprν 로 주어지는 다른 프레임에서 스핀 4-벡터 sµ 는 같은 로렌츠 변환에 의해 다음과 같이 주어진다.

sμ=Λνμsrν

이 때 변환된 운동량 pµ 의 3차원 운동량 부분 p 를 동일하게 하려면 에너지의 양음에 따라 로렌츠 변환을 달리 해야 한다. 예를 들어 운동량 4-벡터가 (m, 0) 일 때 이를 v = −p/E의 속도로 움직이는 좌표계로 로렌츠 변환하면 (E, p)이 된다. 같은 변환을 4-벡터 (−m, 0)에 적용하면 그 결과는 (−E,−p)가 된다. 따라서 3차원 운동량이 p로 동일하게 되기 위해서는 음의 에너지 해의 경우에는 v = p/E로 움직이는 좌표계로 변환해야 한다. 이 때 변환 결과는 (−E, p) 이다. 이렇게 양음의 에너지와 상관없이 p를 동일하게 놓으려고 하는 것은 나중에 p를 연산자로 대치하기 용이하게 하기 위한 것이다.

이와 같이 입자가 정지한 프레임에서 운동량 pµ = (p0, p)인 프레임으로의 로렌츠 변환은 p 뿐만 아니라 p0 의 부호 δp0/E = ±1에도 의존한다. 즉 입자의 정지 프레임에서의 4-벡터 ξrμ 와 운동량 pµ 인 프레임에서의 4-벡터 ξµ사이의 로렌츠 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

ξδ0=Emξr0+δpξrm
ξδ=ξr+δpmξr0+pξrmE+mp

여기서 ξµδ 의존을 ξδμ 로 표시하였다. (11), (12)를 스핀 4-벡터 srμ = (0, s^r)에 적용하면 다음과 같다.

sδ0=δp s^rm
s^δ=s^r+ps^rmE+mp

고유상태 유지하는 스핀 연산자 - 정지한 입자의 스핀이 s^r 방향이라고 하면 파동함수 ψr 는 다음과 같이 s^r · SD 의 고유상태이다.

s^rSDψr=λψr λ=±1

이 때 입자의 운동량 pµ 인 프레임에서의 파동함수는 (3)과 같이 ψ = S(Λ)ψr 의 변환으로 주어진다.

앞에서 보았듯이 변환된 ψ 는 일반적으로 n ·Σ 의 고유상태가 되지 않는다. 따라서 로렌츠 변환될 때 스핀연산자의 고유상태임이 유지되려면 스핀 연산자도 적절히 변환되어야 한다. 이 때 고전적 스핀 4-벡터로부터 정의되는 연산자라면 스핀의 고전물리학적 이해와 양자역학적 이해를 연결 짓는데 도움이 될 것이다. 이러한 스핀 연산자는 위의 식을 공변(covariant) 형태로 일반화하여 찾을 수 있다. 즉 스핀연산자 부분을 텐서 pµ, sµ, εµνρσ 들과 γµ γ5 로 이루어지는 형태 중에서 찾되, 정지 프레임에서는 s^r · 12로 환원되도록 정한다. 이 때 xµ 는 내부 자유도인 스핀에 대한 연산자가 입자의 위치에 의존하게 하므로 제외한다.

예를 들어 정지 프레임에서 s^r = (0, 0, 1)일 때의 연산자 형태를 보면 s^r · Σ = sr33=sr3iγ1γ2 이므로 sµγνγρ 의 형태가 들어 있고, µ, ν, ρ가 1, 2, 3중에서 서로 다르게 선택되고 있음을 알 수 있다. 또 정지상태에서는 pµp0 만 0이 아니며 이 때 4개의 첨자가 다 다름을 알 수 있다. 이러한 특성을 바탕으로 다음의 연산자를 고려하자.

i4mεμνρσsδμpνγργσ

여기서 ε0123 = 1 로 정의되었다. 스핀 4-벡터 sδμ 는 에너지의 양음에 의존하는 로렌츠 변환 (13), (14)가 적용된 것이다. (16)식은 γ5s(δ),µγµpνγν 의 형태로도 변형될 수 있다. 정지상태에서 s^r = (0, 0, 1)라면 i4mε30ρσsr3p0γργσ=p02m3 이고 p0 = δm이므로, p0 의 부호 δ 에 따라 ±123 가 됨을 볼 수 있다. 따라서 123 이 되기 위해서는 δ 를 한번 더 곱해주면 된다.

Sˇp,sδi4mεμνρσsδμpνγργσ

(17)식으로 정의된 스핀 연산자 Sˇ(p, s)가 임의의 로렌츠 변환에 대하여 파동함수가 고유상태임을 유지하는 연산자인 것은 다음과 같이 알 수 있다. 어떤 프레임에서 Sˇ(p, s)ψ = λψ 일 때 로렌츠 변환 Λ에 대해

Sˇp',s'=δi4mεμνρσ'sσ'μp'νγργσ=δi4mεμναβsσμpνΛραΛσβγργσ=δi4mεμναβsσμpνSΛγαS1ΛSΛγβS1Λ=SΛS^p,sS1Λ

이다. 따라서 Sˇ(p′ , s′) ψ′ = S(Λ) Sˇ(p, s)S−1(Λ)S(Λ)ψ = λψ′ 와 같이 고유상태임이 유지된다. 한편, 고유상태 식을 유지하는 연산자로는 표준적인 스핀프로젝션 연산자에 나타나는 형태인 γ5sµγµ 도 가능하다. 그러나 이는 p = 0일 때 12sr · diag(σ, −σ) 가 되므로 적합하지 않다.

스핀 4-벡터를 이용한 3 스핀 연산자 - 입자의 스핀 상태를 나타내는 4-벡터 sµ 로부터 고유상태를 유지하는 스핀 op를 정의하는 (17)의 방법을 따라 3개의 성분을 갖는 스핀연산자 Sˇ = (Sˇ1, Sˇ2, Sˇ3)를 정의할 수 있다. 이를 위해 운동량 pµ 인 입자에 대해 3개의 스핀 4-벡터 s1μ , s2μ , s3μ 를 도입하는데, 입자의 rest 프레임에서 각각 (0, x^), (0, y^), (0, z^)인 벡터들로 정의한다. 이 3개의 스핀 4-벡터로부터 스핀연산자 Sˇk 를 다음과 같이 정의하자.

Sˇk=δi4mεμνρσsδ,kμpνγργσ k=1,2,3

(19)에서 운동량 pµ 는 이 연산자 Sˇk 가 가해지는 파동함수가 운동량 고유값 pµ 상태임을 가정하고 있는 것이다. 표준 표현에서 (19)의 연산자를 구체적으로 나타내면 다음과 같다.

Sˇk=E2mpp2mE+m+iδ2mα×p

(20)에서 Σ = Σ, α = α이나 마지막 항에 허수 i 가 있어 연산자가 허미션(Hermitian)이 아닌 것처럼 보인다. 그러나 (20)은 양의 에너지 파동함수에 작용하는 연산자의 형태와 음의 에너지 파동함수에 작용하는 연산자의 형태를 δ 를 이용해 하나의 식으로 축약한 형태이다. δ 의 값이 양 또는 음일 때 각각 2차원인 양의 에너지의 파동함수 또는 음의 에너지의 파동함수 공간에만 작용하는 연산자인데 이를 전체 파동함수 공간에 작용하는 연산자로 간주하기 때문에 허미션이 아닌 것처럼 보이는 것이다. 허미션임이 명확하게 드러나게 하기 위해서는 파동함수의 에너지 p0 에 따라 다른 연산자가 적용되도록 에너지 양음의 프로젝터를 이용하면 된다. 이 때 운동량 pµ 도 운동량 연산자 Pµ 로 바꿔 쓸 수 있다. Sˇk(8), (9)의 프로젝터와 연산자 Pµ 를 사용해서 표현하면 다음과 같다.

Sˇk=i4mεμνρσs+,kμPνγργσP++i4mεμνρσs,kμPνγργσP

여기서 s+,kμδ = ±1인 경우를 나타내며 수식 안의 p는 연산자 P로 바꾼 것이다. (21)을 표준 표현에서 구체적 형태로 나타내면 다음과 같다.

Sˇ=m2E+PP2EE+miβ2Eα×P

(22)에서 β = β, βα = −βα이므로 Sˇ = Sˇ 이며 FW 스핀과 같음(Sˇ = SFW)을 알 수 있다 [16].

이 스핀 연산자는 정지 프레임에서 Sˇr = 12이며 각운동량 교환 관계를 만족한다. Sˇ가 임의의 운동량에 대해서도 각운동량 교환 관계를 만족함은 (22)로 직접 계산하여 확인할 수 있다.

Sˇi,Sˇj=iSˇk i,j,k=1,2,3 cyclic

또 [H, Sˇ] = 0임도 확인할 수 있다.

파울리-루반스키 벡터와 스핀 연산자 - 4-벡터를 이용하여 정의한 스핀 연산자는 파울리-루반스키 벡터와 밀접한 관계가 있다. 먼저 푸앵카레군은 x'μ=Λνμxν + aµ 의 변환으로 이루어지는 군이며, 로렌츠 부스트 (boost) 및 3차원 공간상의 회전 제너레이터(generator) Jµν 와 시공간 좌표의 평행이동 제너레이터 Pµ 를 갖는다 [27]. 이들로부터 파울리-루반스키 벡터는 다음과 같이 정의된다.

Wμ=12ϵμνρσPνJρσ

JµνPµ 들 간의 교환 (commutation) 관계에 의해 [Pµ,Wν] = 0임을 알 수 있는데, 이로 인해 제너레이터가 가해지는 상태공간에서 Pµ 의 고유값이 pµ 인 상태들은 Wµ 를 가했을 때 고유값이 변하지 않는다. 즉 Wµ 는 운동량 pµ 를 불변으로 하는 리틀군(little group)의 제너레이터이며 입자의 내부 자유도를 나타내는 연산자라고 할 수 있다. 또 pµWµ = 0의 식을 만족하므로 Wµ 의 4개의 성분 중 독립적 성분은 3개이다.

푸앵카레군의 표현 (representation) 에서 제너레이터의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다 [28].

Jμν=Rμν+ixμνxνμ, Pμ=iμ

여기서 Rµν 는 제너레이터 Jµν 가 만족하는 교환관계와 같은 형태의 교환관계를 만족하는 행렬이며 여러 성분을 갖는 파동함수에서 성분간의 변환을 나타낸다. (25)Wµ 의 정의식 (24)에 적용하면 다음과 같이 행렬 부분만 남는다.

Wμ=12ϵμνρσPνRρσ

푸앵카레 군의 표현 이론에 따르면 디랙 방정식은 (12, 0) ⊕ (0, 12) 의 표현으로 [27] Rµν = i4[γµ, γν] 에 해당 하는데 [γµ, γν] = 2γµγν (µν)이므로

Wμ=i4ϵμνρσPνγργσ

가 된다. 따라서 파울리-루반스키 벡터 Wµ 에 에너지 양음에 따른 로렌츠 변환을 적용하고 전체 부호를 추가한 δ sδμWµ 는 스핀 연산자 (17)과 상수 배 차이만 있음을 알 수 있다.

상대론적 전자의 스핀을 나타내는 양자역학적 연산자는 그동안 이론적으로 여러가지가 제시되었다. 또한 스핀을 고전물리학적 4-벡터를 사용하여 기술하는 방법이 있다. 본 논문에서는 고전물리학적 4-벡터에 의한 기술이 양자역학적 스핀연산자에 의한 기술과 어떠한 관계에 있는지 알아보았다.

이를 위해 로렌츠 변환되는 스핀 4-벡터를 바탕으로 스핀 연산자를 정의하였는데 로렌츠 변환에 대해 파동함수의 고유상태가 유지되어야 한다는 자연스러운 조건으로부터 연산자의 형태를 정할 수 있었다. 여기에 입자를 정지상태에서 운동하는 프레임으로 변환할 때 양과 음의 에너지에 따라 로렌츠 변환이 다르게 적용되어야 함을 고려하였고, 정지상태일 때는 스핀 연산자가 비상대론적 스핀 연산자로 환원될 조건을 가하였다. 그 결과 얻어진 스핀 연산자 Sˇ는 허미션이며, 각운동량 교환 관계를 만족하고, Wµ 의 선형 결합에 해당하며, 디랙 해밀토니안과 교환되므로 양의 에너지 파동함수만으로 고유상태를 만들 수 있는 특징을 가지고 있으며, 연산자의 형태는 FW 스핀연산자 SFW 와 같았다. 따라서 고전적 4-벡터에 의한 스핀 기술 방법을 자연스럽게 양자역학적으로 확장한 것은 FW 스핀 연산자라고 할 수 있다.

상대론적 전자 운동을 양자역학적으로 디랙 방정식으로 다룰 때 연산자의 정의가 일반적으로 달라져야 하는 이유는 다음과 같다고 할 수 있다. 전자의 운동은 디랙 방정식의 양의 에너지 파동함수로 표시된다. 입자의 생성 소멸 등이 없는 물리적 상황을 고려하는 것이므로 전자의 파동함수는 위치나 스핀과 같은 물리량을 측정한 이후에도 계속 양의 에너지 파동함수만으로 표시되어야 할 것이다. 그런데 이때 기존의 물리량 연산자가 적합하지 않을 수 있다. 양의 에너지 파동함수라 하더라도 기존의 위치 연산자 x나 디랙 스핀 연산자 SD 를 가하면 일반적으로 음의 에너지 파동함수 성분이 생긴다. 따라서 전자를 기술하는데 양의 에너지의 파동함수 공간으로 충분할 수 있기 위해서는 물리량 연산자를 가한 결과도 이 공간 내에 있도록 연산자들을 재정의 해야 한다. FW 변환은 양과 음의 에너지 파동함수 공간이 서로 분리되어 표현되도록 하는 변환 중의 하나로서 이 FW 표현에서는 양음의 에너지 파동함수가 서로 섞이지 않도록 하는 연산자 형태를 쉽게 알 수 있다. FW 스핀 SFW 는 FW 표현에서 12로 나타나는 연산자이고 양과 음의 에너지 파동함수가 섞이지 않도록 한다. 따라서 FW 스핀 연산자는 고전적 4-벡터에 의한 기술과 연결될 뿐만 아니라 디랙 방정식을 통한 전자의 기술에 적합하다고 할 수 있다.

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