npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2022; 72: 404-408

Published online May 31, 2022 https://doi.org/10.3938/NPSM.72.404

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

A Study on the Solution of the Collision Problem of Two Hard Spheres

Suk Joo Youn*

Department Physics Education, Gyeongsang National University, Jinju 52828, Korea

Correspondence to:*E-mail: ysj@gnu.ac.kr

Received: February 21, 2022; Revised: April 1, 2022; Accepted: April 8, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

A general solution to the collision problem of two inelastically colliding hard spheres is applied to the reflecting and scattering conditions. In the reflectig condition, simple equations that are similar to the reflection and refraction laws in optics were obtained. By contrast, in the scattering condition, the collision problem is classified according to the values of γ, which is a parameter in the result. Some results of the elastic collision can be confirmed and extended to inelastic cases. The obtained equations for scattering angle are simple to remember and expected to help students understand collision problems.

Keywords: Physics Education, Hard Sphere, Ineastic Collision, Restitution Coefficient

두 개의 단단한 구가 비탄성 충돌하는 문제에 대한 일반해를 구하여 반사 조건과 산란 조건에 적용하여 보았다. 반사 조건에서는 빛의 반사나 굴절에서 볼 수 있는 것과 비슷한 관계식이 얻어진다. 충돌 조건에서 얻어진 매개 변수 γ의 값에 따라 충돌 문제를 세 가지로 분류할 수 있었다. 탄성 충돌에서 얻어진 결과는 기존의 것과 일치함을 확인하고 비탄성 충돌의 경우로 확장할 수 있었다. 산란각에 대한 식들은 간단하여 기억하기 편리하여 학습자가 충돌 문제를 학습하는데 도움을 줄 수 있다.

Keywords: 물리교육, 단단한 구, 비탄성 충돌, 반발 계수

두 물체의 충돌은 대학물리학과 고전역학에서 다루는 중요한 주제이다[1-7]. 또한 많은 입자가 들어있는 계를 다루는 운동론에서도 중요하게 다루어진다[8-10].

대학 물리학에서는 에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙을 학습한 후 충돌 문제를 다루는데, 일차원 충돌의 경우에는 일반해를 구하지만 이차원 충돌에서는 두 물체의 질량이 같거나 완전 비탄성 충돌처럼 특별한 경우만을 다룬다[1]. 이차원 충돌의 경우, 구해야 할 물리량보다 적은 수의 방정식이 주어지므로 일반해는구할 수 없지만 두 개의 회전하지 않는 단단한 구가 충돌하는 경우에는 두 물체 사이에서 일어나는 운동량 전달의 방향을 알 수 있어서 일반해를 구할 수 있다[10-12].

대부분의 교과서에서 탄성 충돌만 다루지만 뉴턴의 반발 계수를 도입하여 비탄성 충돌을 다루기도 한다[2-5]. 뉴턴은 반발 계수를 상수로 보았지만 온도, 습도, 물체의 속력에 따라 변하는 것으로 알려져 있다[13]. 최근 한국, 미국, 일본의 프로 야구 경기에서 사용되는 공인구의 반발계수를 일정한 범위로 제한하고 있어서 대학물리학과 고전역학 수업에서 비탄성 충돌 문제를 다루면 흥미를 유발 할 수 있을 것이다[14].

이 논문에서는 회전하지 않는 단단한 구의 충돌 문제에 대한 일반해를 먼저 구하고, 얻어진 일반해를 두 가지 다른 조건에 적용하여 보았다. 빛의 반사와 비슷하게 설정된 문제에서는 빛의 반사법칙이나 굴절법칙과 같은 간단한 식이 얻어지며, 산란 실험처럼 설정된 문제에서는 반사 문제와는 다른 식들이 얻어진다. 물리적으로 같은 내용이 설정된 조건에 따라 다른 수학식으로 표현된다. 이렇게 얻어진 식들은 간단하여 기억하기 편리하므로 학습자들에게 도움을 줄 수 있을 것이다.

1. 일반해 구하기

회전없이 병진운동만 하는 두 개의 단단한 구가 탄성충돌하는 경우의 일반해를 우선 구해보자. 질량 m1, 운동량 P1 인 구와 질량 m2, 운동량 P2 인 구가 충돌하여 운동량 ΔP를 교환한다. 충돌 후 두 구의 운동량은 각각 P1ΔPP2+ΔP가 된다. 질량 m1인 구에서 질량 m2인 구로 운동량이 전달되는 것으로 놓았지만, 충돌 후 운동량에 대한 결과는 물체의 순서와 무관하다.

에너지 보존법칙을 적용한다.

|P1|22m1+|P2|22m2=|P1ΔP|22m1+|P2+ΔP|22m2

간단하게 줄이면 다음과 같다.

0=12m12ΔP P 1+|ΔP|2+12m22ΔP P 2+|ΔP|2

두 개의 단단한 구가 충돌할 때 두 구의 접촉점을 통해 운동량이 전달된다. 운동량이 전달되는 방향의 단위벡터를 n^ 이라 하면, n^ 은 충돌하는 두 구의 중심을 연결한 선과 평행한 방향의 단위 벡터이다. 전달된 운동량을 ΔP=ΔPn^ 로 나타내면 Δ P는 다음과 같다.

ΔP=2μv1v2n^

여기서 µ는 충돌하는 두 물체의 환산질량이며, v1v2는 두 물체의 속도이다.

μ=m1m2m1+m2

충돌하는 두 물체의 질량비 ρ=m1/m2를 도입하여 나타내면 다음과 같다.

μ=m11+ρ

전달된 운동량을 벡터식으로 표시하면 다음과 같다.

ΔP=2μv 1v 2n^n^

ΔP는 두 물체의 환산질량과 상대속도에 관계된 것을 알 수 있다. 두 물체가 충돌하더라도 질량 중심의 운동은 변함이 없으며, 두 물체의 상대속도만 변한다[6].

비탄성 충돌하는 경우에는 뉴턴의 반발 계수 ϵ를 도입하여 나타낼 수 있다 (0 ≤ ϵ ≤ 1) [10-12]. ϵ = 1이면 탄성충돌을 나타낸다.

ΔP=(1+ϵ)μv 1v 2n^n^

Equation (6)에 있는 2를 1+ϵ으로 나누어 반발 계수를 도입하였다. v1v2로 이루어진 평면에서 운동량 변화 ΔP가 일어나므로 회전을 고려하지 않는 충돌 문제는 2차원 문제가 된다. 그리고 두 물체의 운동량중에서 n^에 수직한 성분은 충돌에 의해 변하지 않는다.

충돌 후 두 입자의 상대속도는 다음과 같다.

v2v1=v2v11(1+ϵ)n^ n^

v1v2은 충돌 후 두 물체의 속도를 나타낸다. n^ 방향 성분만 구해보면 반발 계수가 다음과 같이 표시되는 것을 알 수 있다.

ϵ=v2v1n^v2v1n^

일반적으로 반발 계수가 충돌 전후 상대속도 크기의 비율로 주어지는 것과 일치한다.

탄성 충돌하는 경우, 상대속도는 다음과 같다.

v2v1=v2v112n^ n^

정사영 연산자 12n^n^은 상대 속도에 작용하여 상대 속도의 크기를 일정하게 유지하면서 n^에 평행한 성분만 반전시킨다.

충돌 과정에서 잃어버린 에너지 Q는 다음과 같다.

Q=12(1ϵ2)μv2v1n^2

에너지 손실은 상대속도의 n^ 방향 성분 변화에 의해서 발생하는 것을 알 수 있다[2]. 반발 계수가 Eq. (7)에서 임의로 도입되었지만 Eq. (9)와 Eq. (11)를 통해서 물리적 의미를 알 수 있다.

2. 반사 조건

빛이 물체에 반사되는 경우 입사각과 반사각은 반사 법칙을 만족하며, 굴절될 때는 스넬의 법칙을 만족한다[15]. 단단한 구의 충돌 문제에서도 좌표계를 적절하게 설정하면 반사법칙이나 스넬의 법칙처럼 간단한 식이 성립하는 것을 보일 수 있다.

빛의 반사와 유사하도록 Fig. 1과 같이 좌표계를 잡는다. 질량 m1인 구가 속력 V, 입사각 ϕ로 입사하여, 정지한 질량 m2인 구와 충돌한 후 각도 θ로 산란된다. 두 구가 만나는 점을 좌표의 원점으로 잡는다.

Figure 1. Collision of two hard spheres. The uppper sphere approaches the lower sphere with an incident angle ϕ and reflected with an angle θ. Initially, the lower sphere is at rest.

주어진 조건에 맞도록 물리량을 구하면 다음과 같다.

n^=j^,    v 1=V(i^sinϕj^cosϕ),    v 2=0

여기서 i^,j^xy 평면의 단위 벡터를 나타낸다.

전달된 운동량을 구하면 다음과 같다.

ΔP=j^(1+ϵ)μVcosϕ

충돌 후 두 물체의 운동량은 다음과 같다.

P1=i^m1Vsinϕ+j^ϵρ1+ρm1VcosϕP2=j^1+ϵ1+ρm1Vcosϕ

충돌 후 두 물체의 속도는 다음과 같다.

v1=i^Vsinϕ+j^ϵρ1+ρVcosϕv2=j^(1+ϵ)ρ1+ρVcosϕ

v1y-축 사이의 각도가 θ 이므로 다음 식이 성립한다.

tanϕ=ϵρ1+ρtanθ

입사 입자의 입사각과 산란각이 간단한 식을 만족하는 것을 알 수 있다. 빛이 굴절할 때 스넬의 법칙과 비슷한 모양이다.

입사된 구가 지면에 반사되는 경우는 m1m2ρ ≈ 0로 나타낼 수 있다. 이 경우 Eq. (16)은 더 간단해진다.

tanϕ=ϵtanθ

탄성 충돌하는 경우 ϕ=θ 이므로 빛의 반사와 유사한 결과가 얻어지지만, 비탄성 충돌의 경우 ϕ<θ이다.

ρϵ의 상대적인 크기에 따라 충돌 문제를 분류하면 Table 1과 같다. ρ<ϵm1m2이면 θ<π/2 이고 입사 입자가 뒤로 튕긴다. ρ=ϵ 이면 θ=π/2 즉 입사입자는 충돌 후 x-축을 따라 움직인다. 표적 입자는 y-축을 따라 움직이므로 두 물체의 속도는 수직하다. 질량이 같은 두 개의 구가 탄성 충돌 한 후 두 구의 속도가 수직한 것은 잘 알려져 있지만[2], 비탄성 충돌의 경우에는 ρ=ϵ일 때 두 물체의 속도가 수직하다. ρ>ϵ 이면 θ>π/2이다.

Table 1 . Classification of collisions on the reflection condition.

ρ and ϵMassθ
ρ > ϵm1 > ϵm2θ > π=2
ρ = ϵm1 = ϵm2θ = π=2
ρ < ϵm1 < ϵm2θ < π=2


ϵ=0인 경우 충돌 후 두 물체의 속도는 다음과 같다.

v1=i^Vsinϕj^ρ1+ρVcosϕv2=j^ρ1+ρVcosϕ

충돌 후 두 물체의 속도가 다르다. 충돌 후 두 물체가 붙어서 함께 움직이는 것을 완전 비탄성 충돌이라고 한다면 이차원 충돌에서 ϵ=0 인 경우 완전 비탄성 충돌이 아니다. 그렇지만 ϵ=0이면서 ϕ=0이면 일차원 완전 비탄성 충돌이 된다.

3. 산란 조건

러더퍼드 산란처럼 입자의 산란 문제를 다룰 때에는 Fig. 2와 같이 좌표계를 잡으면 편리하다[5]. 질량 m1, 반지름 a1, 속력 V인 구가 충격 매개변수 b를 가지고 왼쪽에서 오른쪽으로 입사하여, 원점에 정지하고 있는 질량 m2, 반지름 a2인 구와 충돌한다.

Figure 2. Collision of two hard spheres. A sphere with radius a1 approaches the target sphere with radius a2 at rest from left. b is the impact parameter. After collision the incident sphere scatters with an angle θ.

주어진 조건에 맞도록 물리량을 구하면 다음과 같다.

n^=i^cosϕj^sinϕ,    v 1=Vi^,    v 2=0sinϕ=ba1+a2=bD

여기서 i^,j^xy 평면의 단위 벡터이며 D=a1+a2 이다.

전달된 운동량은 다음과 같다.

ΔP=(1+ϵ)μV(i^cos2ϕj^cosϕsinϕ)

충돌 후 두 물체의 운동량은 다음과 같다.

P1=i^m1V11+ϵ1+ρcos2ϕ+j^1+ϵ1+ρm1Vcosϕ sinϕP2=1+ϵ1+ρm1V(i^cos2ϕj^cosϕsinϕ)=n^1+ϵ1+ρm1Vcosϕ

충돌 후 두 물체의 속도는 다음과 같다.

v1=i^V11+ϵ1+ρcos2ϕ+j^1+ϵ1+ρVcosϕ sinϕv2=n^(1+ϵ)ρ1+ρVcosϕ

충돌 후 표적 입자는 n^ 방향으로 움직이므로, 충돌 후 두 입자 사이의 벌어진 각(opening angle)은 θ+ϕ인 것을 알 수 있다[7].

산란각 θv1x-축 사이의 각이며 다음과 같이 주어진다.

tanθ=sin2ϕγcos2ϕ

여기서 γ는 다음과 같다.

γ=2ρ+1ϵ1+ϵ

충돌 문제를 γ 값에 따라 분류하면 Table 2와 같다. γ=1 이면 ρ=ϵ 이며, 벌어진 각 θ+ϕ=π/2가 되어 충돌 후 두 물체의 속도가 서로 수직하다. γ>1 이면 ρ>ϵ 이며, 하나의 θ에 두 개의 ϕ 값이 대응된다. 즉 m1>ϵm2 인 경우 충돌 매개변수 b가 작을 때와 클 때 같은 θ로 산란되는 것을 나타낸다. γ<1 이면 ρ<ϵm1<ϵm2 이며, 이 경우 입사 입자가 뒤로 튕기는 충돌이 일어날 수 있다 (θ >π/2). 탄성 충돌(ϵ=1)에서는 질량비 ρ에 따라 결과가 결정된다[16].

Table 2 . Classification of collisions on the scattering condition according to the values of γ.

γρ and ρMassθ + ϕ
γ > 1ρ > ρm1 > ρm2θ + ϕ < π=2
γ = 1ρ = ρm1 = ρm2θ + ϕ = π=2
γ < 1ρ < ρm1 < ρm2θ + ϕ > π=2


m1m2ρ≈0이고 탄성 충돌(ϵ=1)하는 경우에는 γ=0 이고 θ+2ϕ=π 이다. 이때 충돌 매개변수 b는 다음과 같다.

b=Dsinϕ=Dcosθ2

미분 산란 단면적 σ(θ)를 구하면 다음과 같다.

σ(θ)=bsinθdbdθ=D24

알려진 결과와 잘 일치한다[4-6].

1) 일차원 충돌

많은 교과서에서 일차원 충돌의 일반해가 주어지는데 우리의 결과에서 일차원 충돌된 결과를 모아보면 다음과 같다. ϕ=0으로 놓으면 일차원 충돌이 된다.

ΔP=i^(1+ϵ)μV P 1=i^ρϵρ+1m1V P 2=i^1+ϵρ+1m1V

충돌 후 두 물체의 속도는 다음과 같다.

v1=i^ρϵρ+1Vv2=i^(1+ϵ)ρρ+1V

ϵ=0 인 경우에는 다음과 같이 줄어든다.

v1=v2=i^ρρ+1V

충돌 후 두 물체가 같은 속도로 붙어서 움직이는 것을 알 수 있다. 즉 완전 비탄성 충돌이다.

ρ=ϵ 인 경우 충돌 후 입사 물체는 정지하고 표적 물체는 속력 ϵ V 로 움직인다.

m1≫ m2ρ≈∞ 인 경우에는 다음과 같이 쓸 수 있다.

v1i^Vv2i^(1+ϵ)V

충돌 후 입사 물체의 속도는 거의 변화가 없지만 표적 물체의 속력은 (1+ϵ)V로 되어 입사 물체의 원래 속력보다 빠르다.

두 개의 단단한 구가 충돌하는 문제에 대한 일반해를 구한 후 두 가지 조건에 적용하여 보았다. 뉴턴의 반발 계수 ϵ을 이용하여 비탄성 충돌을 고려하였다. 반사 조건에서는 입사각과 산란각 사이에 간단한 식이 성립하는데 마치 빛의 굴절을 나타내는 스넬의 법칙과 비슷한 모양을 하고 있다. 역학 문제를 광학 문제와 연결할 수 있어서 통합적인 물리 교육에 활용할 수 있다.

산란 조건에서는 γ가 포함된 식을 유도할 수 있으며, γ의 크기에 따라 충돌 문제를 분류할 수 있었다. 탄성충돌과 달리 비탄성충돌에서는 두 물체의 질량비가 반발계수와 같을 때 충돌 후 두 물체의 속도가 수직하다. ϵ=0인 경우 일차원에서는 완전 비탄성 충돌이 일어나지만, 이차원에서는 완전 비탄성 충돌이 아니다.

일반적으로 대학물리학이나 고전역학의 교육과정에서 두 개의 단단한 구가 충돌하는 문제에 대한 일반해를 다루고 있지 않지만 이 논문에서 보인 것처럼 일반해를 쉽게 얻을 수 있는 점을 고려하면 대학물리학이나 고전역학의 교육과정에서 충분히 다룰 필요가 있다. 이 과정에서 얻어진 식들은 간단하여 기억하기 편리하며 수학적인 멋이 있다. 단단한 구의 충돌 문제는 역학적 아름다움을 느끼게 한다.

  1. R. A. Serway and J. W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. (Cengate2009), Chap. 9.
  2. G. R. Fowles and G. L. Cassiday, Analytical Mechanics. (Thomson2005), Chap. 7.
  3. Y. W. Cheong, S. Ha, T. Byun and G. Lee, A Historical Perspective of Classical Mechanics. (Bookshill2015), Chap. 7.
  4. T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire, Classical Mechanics. (Imperial College Press2004), Chap. 2.
    CrossRef
  5. S. T. Thornton and J. B. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems. (Thomson2004), Chap. 9.
  6. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics. (Pergamon1976), Chap. IV.
  7. R. D. Gregory, Classical Mechanics. (Cambridge University Press2006), Chap. 10.
  8. K. Huang, Statistical Mechanics. (John Will & Sons1987), Chap. 3.
  9. F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. (Waveland1965), Chap. 14.
  10. S. Luding, Phys. Rev. E 52, 4442 (1995).
    Pubmed CrossRef
  11. R. M. Brach, Mechanical Impact Dynamics. (John Wiley & Sons1991).
  12. M. F. da Silva, Eur. J. Phys. 28, 1219 (2007).
    CrossRef
  13. P. Müller, M. Heckel, A. Sack and T. Pöschel, Phys. Rev. Lett. 110, 254301 (2013).
    Pubmed CrossRef
  14. H.-T. Ryu, J.-Y. Choi, Y.-Hu. Kwon and B.-J. Yi, J. Kor. Rob. Soc.. 10, 200 (2015).
    CrossRef
  15. R. A. Serway and J. W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. (Cengate2019), Chap. 34.
  16. R. H. Bacon, Am. J. Phys. 8, 154 (1940).
    CrossRef

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