npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2022; 72: 537-543

Published online July 31, 2022 https://doi.org/10.3938/NPSM.72.537

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Feynman Diagrammatic Calculation Technique in Non-relativistic Quantum Mechanical Perturbation Theory

Won Sik L’Yi*

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 28644, Korea

Correspondence to:*E-mail: wslyi@chungbuk.ac.kr

Received: May 15, 2022; Revised: June 1, 2022; Accepted: June 1, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

The Feynman diagrammatic calculation technique, which is widely used for the perturbative calculations in relativistic quantum field theories and quantum many-body theories, is used for time-independent perturbative calculations in non-relativistic one-particle quantum mechanical systems. It is found that Δi, the energy shift of an original state with energy Ei, is determined by a ``propagator'' 1/(EiEj), the potential energy matrix element Vjk, and a kind of non-interactive matrix element δjkΔi(n), where Δi(n) is the nth order term of Δi with respect to V. This kind of Feynman diagram technique is quite similar to that of quantum many-body theories, and it helps for understanding the physics behind the perturbative behaviors of various physical systems.

Keywords: Perturbation theory, Feynman diagram

상대론적 양자장이론을 비롯하여 양자다체계의 섭동이론에서 유용하게 사용되는 파인만 도형 계산술을 비상대론적인 단일 입자 양자계의 시간에 무관한 섭동론에 적용하였다. 섭동 퍼텐셜 에너지 함수 V에 의한 고유 에너지 Ei의 이동을 Δi 라 하고, 이 중에서 Vn차 기여를 Δi(n)라 할 때, 파인만 도형의 전파인자를 나타내는 긴 선은 1/(EiEj)로 대응시키고, 상호작용을 나타내는 굵은 점은 행렬요소 Vjk로 대응시키며, 상호작용이 아닌 단순한 숫자인 δjkΔi(n) 는 뭉쳐진 n개의 곱하기 기호 x를 대응시키면, 섭동에 의한 에너지의 이동과 상태의 변화는 이 도형 요소들을 사용한 파인만 도형에서부터 체계적으로 나타낼 수 있음을 보였다. 이러한 접근은 양자다체론의 파인만 도형 계산술과 유사하기 때문에 한 분야에서의 이해는 다른 분야의 섭동론을 이해하는데 도움을 줄 수 있다.

Keywords: 섭동이론, 파인만 도형

물리학의 이론이 아무리 아름답다고 하여도 그것이 긍극적 이론이 아니다면 그것은 근사 이론이다. 그리고 긍극적 이론이 있다고 하여도 그것을 기술하는 운동방정식의 풀이가 해석적으로 알려진 함수 꼴로 표현되지 않을 가능성이 많기 때문에 근사적인 풀이를 구하는 것과 이를 이해하는 것은 물리학에서 매우 중요하고 기본적이다. 이에 따라 물리학의 각 분야에는 근사 풀이를 구하는 다양한 방법이 개발되어 왔다.

고전 전자기학에서는 전기 퍼텐셜이 만족하는 라플라스 방정식의 경계값 문제를 푸는 것이 중요한데, 보통 직교함수들의 무한 합으로 전기 퍼텐셜을 구한다. 그런데 풀이로 얻은 함수의 무한 합이 알려진 어떤 해석함수로 수렴할 수도 있지만 그렇지 못하는 경우가 대부분이고, 그럴 경우는 함수의 무한 합을 필요한 갯수의 유한 합으로 근사시켜서 사용한다. 즉 전자기학에서 근사적인 풀이를 얻는 것은 중요하고 또 실험과 비교한다는 의미에서 실제적이다.

양자역학에서는 퍼텐셜 에너지가 쿨롱 꼴이거나 조화진동자 꼴인 몇몇의 특수한 경우를 제외하면 양자계의 에너지 고유값을 정확히 구하는 것은 불가능하기 때문에 근사적 풀이를 체계적으로 얻는 방법을 잘 이해하는 것은 양자계를 깊이 이해하는데 있어서 필수적이다. 뿐만 아니라 힉스장 혹은 중력장과 같이 비선형으로 자체 상호작용하는 장의 경우에서는 고적전인 운동방정식의 풀이를 구하는 것조차도 아주 특별한 경우가 아니면 불가능하다.

한편 응집물질계를 이해하는데 도움을 주는 양자다체론의 경우나 고에너지 상태에서 물질의 상태와 상호작용을 이해하는데 필요한 상대론적인 양자장론의 경우에는 파인만 도형을 사용하여 원하는 물리량의 근사값을 원하는 오차 범위에서 체계적으로 구할 수 있다[1-5].

본 논문에서는 자체 상호작용을 하는 고전적 스칼라 장의 운동방정식을 근사적으로 구하는 방법을 간략히 살펴본 후에, 이와 비슷한 방식을 써서 양자역학의 시간에 무관한 섭동론을 파인만 도형과 유사한 도형을 도입하여 설명하였다.

이를 위해 섭동 퍼텐셜 에너지 V에 의한 고유 에너지 Ei의 이동에서 Vn차 기여를 Δi(n)라 할 때, 양자장론의 파인만 도형에서 상태 Ej의 전파인자를 나타내는 선은 1/(EiEj)로 하고, 상태 |Ek가 섭동 V에 의해 상태 |Ej가 되는 행렬요소는 굵은 점 좌우에 첨자 jk가 있는 것으로 대응시키며, 상호작용이 아닌 단순한 숫자인 δjkΔi(n) 는 뭉쳐진 n개의 곱하기 기호 x를 대응시키면, 섭동에 의한 에너지의 이동과 처음 상태의 변화는 이로부터 구성된 파인만 도형에서 체계적으로 얻을 수 있음을 보였다[6-8]. 이러한 방식의 파인만 도형은 양자장론의 파인만 도형과 비슷한 꼴을 가지기 때문에 양자장론의 섭론론을 이해하는데 도움을 준다.

물리학에서는 운동방적식의 근사 풀이를 구하는 경우가 많이 있는데, 이에 대한 일반적인 이해를 위해 라그랑즈 함수가

L=12(μφ)212m2φ2+g4φ4

로 주어진 비선형 스칼라장 이론을 생각해보자. 여기서 gφ간의 결합 상수이다. 이 라그랑즈 함수로 부터 얻게 되는 운동방정식은

(x+m2)φ(x)=gφ3

와 같다.

이것을 무한 차원의 행렬 형태로 표현하기 위해 시공간 좌표 x=(t,x)에 대해 δxy=δ(4)(xy) 를 4차원 델타함수라 하고, 스칼라장도 열벡터 꼴로 φx=φ(x) 와 같이 나타내기로 하자. 그리고 연산자 K를 다음과 같은 행렬

Kxy=(x+m2)δxy

형태로 정의하자. 그러면 운동방정식 (2)는

d4y Kxyφy=gφx3

와 같은 꼴이 되는데, 계산의 편의를 위해 중복해서 나오는 첨자 y에 대해서는 아인슈타인의 더하기 규약처럼 이를 생락하여 (4)를

Kxyφy=gφx3

와 같이 나타내기로 하자.

또, V(φ)=gφ3 라 두면 행렬곱 형태로 되어 있는 운동방정식 (5)을 연산자 꼴로 표현하면

Kφ=V(φ)

이 된다.

이제 연산자 K에 대해서

Kφi=0

를 만족하는 모든 φi를 모은 공간을 K라 하면 이것은 벡터 공간이 된다. 그리고 임의의 φ를 모은 공간을 H라 하고, φφ+φi를 동등하게 취급하는 공간을 H/K라 하자. 그러면 이 공간에서 연산자 K의 역 연산자1 G

KG=GK=I

를 만족하는데, Ixy=δxy는 단위 연산자이다.

그러면 (6)의 형식적인 풀이는

φ=φi+GV(φ)

이 된다. 운동방정식의 형식적인 풀이 (9)는 물리학에서 많이 나타나는데, 이것은 섭동항 V(φ)이 미세한 상수를 포함하고 있을 경우에는 다음과 같은 체계적인 근사법을 사용하여 얻을 수 있게 된다.

우선 V에 대한 영차 근사로 구한 풀이는

φ(0)=φi

이다. 이를 (9)의 오른쪽 항에 넣으면 V에 대한 일차 근사 풀이는

φ(1)=GV(φi)

이 된다. 이것을 파인만 도형으로 나타내면 Fig. 1과 같이 된다. 일차 근사 범위에서 구한 풀이는

Figure 1. When a scalar field φ has the φ4 interaction, φ(1)=GV(φi) can be obtained from a digram with a dot and four lines. Three short lines represent φi, and a long line represents the propagator G.

φφ(0)+φ(1)
=φi+GV(φi)

인데, 이 근사 풀이를 다시 (9)의 오른쪽에 대입하면 이차 근사 범위에서 구한 풀이를 얻게 된다. 이러한 근사의 결과는 tree diagram이라고 불리는 나무 가지 형태의 파인만 도형을 이룬다.2

만일 양자장론이 아니라 양자역학의 Hilbert 공간에 있는 물리적 상태에 대해서 근사 문제를 푼다고 할 경우에는 (9)의 V는 선형 연산자이다. 이 경우, GV 가 선형 연산자라는 사실에서부터 φn차 근사 풀이는

φ(n)=GVφ(n1)

이 된다. 다시 말하면, 양자역학의 연산자들은 선형 연산자이므로 이러한 근사법을 양자역학의 섭동론에 적용할 수 있다.

양자다체론의 경우, Hilbert 공간은 다입자의 중첩 상태를 기술하는 Fock 공간이 되기 때문에 Fig. 2의 짧은 선은 입자를 묘사하며, 긴 선은 입자의 전파를 나타내게 된다.

Figure 2. The n-th order approximate solution φ(n) can be obtained from φ(n1) through GV(φ(n1)). This diagram, which resembles branches of a tree, is called a tree diagram.

H0를 고유값 문제가 풀려 있는 해밀턴 연산자로서

H0|Ej =Ej|Ej,
Ej|Ek=δjk,
j|EjEj| =I

라 하고, 이 양자역학계가 섭동 퍼텐셜 에너지 연산자 V에 의해 섭동된다고 할 때, 섭동되는 계의 해밀턴 연산자와 해당 고유값 문제는

H= H0 +V,
H|Ej =Ej|Ej,

이다. 이때 섭동 V가 서서히 사라지면 H의 고유값과 고유상태는 H0의 그것들과 다음과 같이 연결 되어진다고 하자:

EjEj,
|Ej|Ej.

이제 섭동 전에 주어진 어떤 상태 |Ei 에 대해, H0의 고유값 Ei는 축퇴되어 있지 않다고 하고, 섭동에 의해 변화된 고유값 Ei와 고유상태 |Ei

Ei =Ei+Δi,
|Ei =|Eicii+ fi|Efcfi

라 하자. 계산의 편의를 위해 |Ei는 규격화 하지 않고, 그 대신 Ei| Ei=1 이라고 하자. 그러면 (23)에서 cii=1 이 된다. 이러한 조건 아래에서 H의 고유값 문제를 n차 근사로 푸는 것은 Vn차 항으로 Δicfi를 구하는 것이 된다.

H의 고유값 문제(H0+V)|Ei=(Ei+Δi)|Ei

(EiH0)| Ei=(VΔi)| Ei

와 같이 바꾸고 양변에 Ef|를 곱하면

Ef|(EiH0)| Ei=Ef|(VΔi)|Ei+j'|Ejcji

이 되는데, 에너지의 이동을 V의 1차 항과 2차 이상의 항으로 Δi=Δi(1)+Δi(2) 와 같이 나누면, (25)에서 f=i 인 경우의 계산에서

Δi(1)=Vii,
Δi(2)=j'Vijcji

를 얻게 된다. 여기서 Vjk=Ej|V|Ek이며, jji가 아닌 것에 대한 모든 합을 말한다.

한편 (25)에서 fi인 경우

cfi=VfiEiEf+j'VfjδfjΔiEiEfcji,

혹은 cfi=cfi(1)+cfi(2) 와 같이 V의 차수로 나누면

cfi(1)=VfiEiEf,
cfi(2)=j'VfjδfjΔiEiEfcji

을 얻는다.

만일 섭동 전 상태의 에너지가 축퇴되어 있어서 |Eia,a=1,...,g, 가 모두 똑 같은 에너지 Ei를 가진다면, |Ei=|Eia 이고 |Ef=|Eib,ba, 인 경우 (28)의 분모는 0이 되어버린다. 그러나 이 문제는 다음과 같은 방법으로 해결될 수 있는데, 우선 상태를 나타내는 첨자를 간단히 하여 |Eia|Ea로 표현하기로 하자. 그러면 임의의 상태는 이 축퇴된 상태들의 합과 여기에 직교하는 상태들의 합으로 ac a|Ea+jc j|Ej 과 같이 둘 수 있다. 즉 힐버트 공간 H

H=HgHo

와 같이 축퇴된 부분공간 Hg과 거기에 직교하는 부분공간 Ho로 나눌 수 있다. 이때 Hg의 기저로서 V를 아래와 같이 대각화하는

Ea|V|Eb=Vaδab

상태 |Ea를 택하자. 그러면 임의의 상태들은 이 기저상태를 기준으로 하여 ca|Ea+jc j|Ej,a=1,...,g, 과 같은 계열로 표현할 수 있다.

이와 같은 개념을 사용하여, 섭동되기 전의 상태 |Ea가 섭동으로 변한 상태 |Ea

|Ea=|Ea+j|Ejcja

과 같이 둔다면, V이 0으로 갈 경우 cja도 0으로 간다. 그리고 |Ef=|Eb이고 |Ei=|Ea 인 경우 (25)은

Eb|V|Ea=ΔiEb|Ea

이고, V의 일차 근사에서 Δi(1)=Va 임을 알 수 있다. 그리고 (34)에서 b=a인 경우에는

Δa=Va+jVajcja

이 되는데, 여기서 첨자 jHo에 있는 고유상태를 나타내는 것이다. 이 관계식 (35)과 (26) 및 (27)를 비교해 보자. 더하기 j가 항상 Ho에 있는 고유상태에 대한 합이라는 사실을 염두에 둔다면, 축퇴가 있거나 그렇지 않거나 수식의 형태는 같음을 알 수 있다.

이제 |Ef=|Eb이고 |Ei=|Ea 인 경우, (28)의 분모가 0인 것처럼 보이는 문제를 살펴보자. 이를 위해 ba인 경우 |Eb을 (33)과 스칼라곱하면

cba=0

라는 사실을 알 수 있다. 그러므로 처음에 (28)의 분모가 0이어서 cba가 결정되지 못하는 것처럼 보였지만 실제로는 계수 cba 자체가 0이기 때문에 아무런 문제가 없다.

축퇴의 경우에 대한 문제는 해결되었기 때문에 처음 다루던 내용으로 돌아가자. 중요한 것은 (30)의 오른쪽 항에서 Vfj는 항상 V의 1차항이지만, 에너지 이동 Δicfi에는 V의 다양한 차수의 것들이 들어 있을 수 있다는 것이다. 다행인 것은 (30)에 있는 δfjΔi는 항상 Vfj와 함께 나오기 때문에, 우선 Δfj=0 이라 두고 수식들을 계산한 후에

VfjVfjδfjΔi

와 같이 치환하면 Δi의 기여가 어떻게 되는지 판단할 수 있음을 알 수 있다. 물론 (30)에서 몇 차 근사값의 Δi를 사용해야 하는지는 최종적으로 구하는 근사의 차수에서 판단할 수 있다. 이에 대한 더 자세한 설명은 논문의 하반부에서 하기로 하고, 우선 Δi=0인 경우에 한하여서 계산하자.

1. Δi=0인 경우의 파인만 도형 계산술

섭동 계산을 파인만 도형으로 처리하는 방법을 살펴보기 위해 우선 Δi=0 인 경우에 대해서 다뤄보자. 계산의 편의를 위해 Ajk

Ajk=VjkEiEj

로 정의하자. 여기서 첨자 i는 섭동 전의 상태 |Ei 를 나타내는 것으로서 변할 수 있는 첨자 jk와는 다르게 주어져 있다. 이렇게 하면 (29)는

cfi(1)=Afi

이 되고, (30)는

cfi(n)=j'Afjcji(n1)

이 된다. 여기에서 윗첨자 nn1V의 차수를 나타내는 것인데 Afj는 항상 V의 1차식이기 때문에 (40)에서 근사의 차수 관계가 확실하여서 윗첨자들을 생략하여도 내용을 판단할 수 있다.

섭동에 대한 직관을 얻기 위해 전개계수를 3차 근사까지 구해보면

cfi(1)=Afi,
cfi(2) =j'Afjcji(1)=j'AfjAji,
cfi(3)=j'Afjcji(2)=j'k'AfjAjkAki

이 된다.

이러한 값들을 계산하기 위해 Fig. 3에서 보여준 것 처럼 1/(EiEj) 은 직선 위에 첨자 j가 있는 도형으로 나타내고, Vjk는 굵은 점 양쪽에 상태 |Ej|Ek 를 의미하는 두 개의 작은 선 위에 첨자 jk가 있는 도형으로 나타내기로 하자. 그러면 Ajk 와 전개계수 cfi(n)Fig. 4과 같은 그림으로 간결하게 나타낼 수 있다.

Figure 3. This figure shows the basic elements of Feynmann diagrams of non-relativistic quantum mechanics. A long line with j represents 1/(EiEj), where Ei is the initial energy. A dot with two short lines represents the matrix element Vjk.

Figure 4. Ajk is represented by a diagram which has a dot with a long line and a short line. The expansion coefficient cfi(n), which is in fact the transition amplitude, can be read off from a line with n dots corresponding to n interactions. A line segment between two adjacent dots represents all possible quantum states except the original one.

한편 에너지의 이동 Δi(n)은 (26)과 (27)에서부터 Fig. 5과 같이 나타낼 수 있음을 알 수 있다. 이 도형들은 상태 |Ei에서 시작하여 같은 상태 |Ei로 끝나난 것으로서 양자장론에서는 자체에너지 도형이라 불린다. 파인만 도형에서 굵은 점의 물리적 차원은 에너지의 차원을 가지고, 긴 선의 물리적 차원은 에너지의 역수 차원을 가지므로 굵은 점과 긴 선이 짝으로 만나게 되면 차원이 없는 숫자가 된다. 그러므로 Fig. 5의 자체에너지 도형은 에너지 차원을 가지고 있음을 알 수 있다.

Figure 5. For the case of Δi=0, the Feynmann diagram representing Δi(n) is a line with n dots corresponding to the n interactions. The rightmost and leftmost sides of a diagram have short lines, and they both have the same i representing the initial state. Diagrams like this are called self-energy diagrams in quantum field theories.

2. Δi0인 경우의 파인만 도형 계산술

이제 에너지 이동이 Δi0인 경우를 생각해 보자. 이 경우는 (30)의 분자항에서 알 수 있듯이, Δi=0 일 때의 물리 값을 구하는 파인만 도형에서

VjkVjkδjkΔi

와 같이 치환하여 주면 Δi0인 경우의 해당되는 값을 구할 수 있음을 알 수 있다.

섭동 연산자 V를 나타내는 파인만 도형 요소는 굵고 속이 찬 점인데, Δi는 연산자가 아니라 숫자이므로 이를 나타내기 위해 곱하기 부호 x를 사용하기로 하자. 더 자세히 하여, Δi(n)는 x가 n 개 뭉쳐있는 것으로 나타내기로 하여 Vjk에 대응하는 δjkΔi 혹은 δjkΔi(n)Fig. 6와 같은 도형으로 나태기로 하자.

Figure 6. For the degenerate cases one needs fake interactions such as δjkΔi. A cross with a circle is used to denote this term. The n-th order term such as δjkΔ(n) is represented by n crosses which are sticked together.

그러면 (26)과 (27)에서부터 알 수 있듯이 에너지 이동을 나타내는 파인만 도형은, Δi=0 경우의 에너지 이동을 나타내는 파인만 도형인 Fig. 5의 도형뿐만 아니라, 속이 찬 굵은 점을 다양한 갯수의 x로 바꾼 것들을 추가로 고려해 넣어야함을 알 수 있다. 여기서 x의 갯수는 V에 대한 근사의 차수와 일치하도록 한다.

예를 들어 Δi=0 인 경우의 파인만 도형인 Fig. 5에서부터 Δ0인 경우의 파인만 도형은 Fig. 7와 같이 되는데, 이 파인만 도형으로 읽을 때 에너지 이동의 3차 근사값 Δi(3)

Figure 7. For degenerate cases, the self-energy Feynmann diagrams corresponding to the energy shifts have additional diagrams with the fake interactions represented by crosses such as the second diagram of Δi(3).

Δi(3)=j'k'VijVjkVki(EiE j)(EiE k) +j'VijΔi(1)Vji(EiE j)(EiE j)

이라는 것을 알 수 있다. Fig. 7의 파인만 도형에서 가장 오른쪽의 속이 찬 굵은 점이 x로 대치된 것이 없는 이유는 jδji=0 이기 때문이다.

상태의 이동을 나타내는 계수 cfi(n)는 (30)에서 구할 수 있다. 예를 들어 cfi(3)Fig. 4의 두번째 도형을 Δi0 인 경우의 도형으로 바꾼 Fig. 8을 사용하면 되는데, 이 파인만 도형들을 읽어서 얻게 되는 값은

Figure 8. For degenerate cases, coefficients such as cfi(3) can be obtained from the Feynmann diagrams with three dots with possible crosses which denote fake interactions. The total number of dots and crosses is equal to the order of the approximation.

cfi(3)=j'k'VfjVjkVki(EiEf)(EiE j)(EiE k)+j'VfjΔi(1)Vji(EiEf)(EiE j)2+j'Δi(1)VfjVji(EiEf)2(EiE j)+Δi(2)Vfi(EiEf)2

이다.

이러한 방법으로 계산하면 에너지 이동의 n차항 Δi(n)뿐만 아니라 섭동전의 상태 |Ei가 섭동에 의해 |Ef로 전이되는 정도를 나타내는 전개계수의 n차항 cfi(n)을 체계적으로 구할 수 있다.

결론적으로, 비상대론적인 양자역학의 섭동 계산은 파인만 도형으로 나타낼 수 있는데, 그 기본 요소는 섭동 상호작용을 나타내는 굵은 점이 그 하나이고, 또 다른 하나는 섭동 전의 처음 상태가 섭동에 의해 다른 상태로 양자 도약을 하는 정도를 나타내는 긴 선이다. 이런 도형의 요소를 사용하면 섭동에 의한 에너지 이동과 양자 도약의 확률 진폭을 주는 전개계수를 파인만 도형에서 쉽게 읽어낼 수 있다.

실험과 관측을 통해서 자연을 이해하면 할수록 새로운 현상이 발견될수 밖에 없고, 이를 설명하기 위한 물리학의 이론은 계속 발전해 나가게 된다. 즉 물리학의 이론은 완성을 향해 지속적으로 발전하는 학문이기 때문에 근사론적인 이해는 중요하다. 뿐만 아니라 잘 정립된 이론일지라도 물질의 상태를 정확히 묘사하는 해석학적으로 완벽한 상태함수를 구할 수는 없다. 그만큼 체계적인 방식으로 근사이론을 개발해 내는 것은 중요하다.

본 논문에서는 양자장이론의 근사이론에서 기본적으로 사용하는 파인만 도형 계산술을 비상대론적인 양자론의 시간에 무관한 섭동론에 적용하여서 섭동에 의한 에너지의 이동이라든가 상태의 변화를 체계적이고도 쉽게 묘사하는 파인만 도형을 도입하였다. 이러한 방식의 근사이론은 상대론적인 양자장론의 파인만 도형 계산술과 유사하기 때문에 양자장론의 섭동이론을 이해하는데 도움을 줄 수 있다.

1K의 역 연산자 G는 보통 Fourier 해석을 통해서 얻는다.

2고전적 장을 양자화하여 상대론적인 양자장으로 만들면 첫째, 이 양자장 이론에는 상대성 이론이 적용된다는 사실 때문에 입자에 대해 반입자가 존재할 수 있게 되고 둘째, 양자 이론이 적용된다는 사실 때문에 진공에서 입자와 반입자의 쌍이 만들어진 후에 이들이 파장 정도의 거리에서 다시 결합할 수 있게 되어서 물질과 반물질의 전파를 나타내는 고리 형태의 파인만 도형이 가능하게 된다. 이것은 고전적 장이론의 풀이에서는 나오지 않는 도형이다.

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    CrossRef
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