npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2022; 72: 795-805

Published online October 31, 2022 https://doi.org/10.3938/NPSM.72.795

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

A Study on Newton's ⟨De Motu Corporum in Gyrum (On the Motion of Bodies in an Orbit)⟩

Bongwoo Lee*

Department of Science Education, Dankook University, Yongin 16890, Korea

Correspondence to:*E-mail: peak@dankook.ac.kr

Received: July 6, 2022; Revised: August 22, 2022; Accepted: August 31, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

The purpose of this study is to analyze the contents of Newton's ⟨On the motion of bodies in an orbit⟩ and investigate the significance of this thesis from various perspectives. This article, containing three definitions, four hypotheses, four theorems, and seven problems, proves the Kepler's law by revealing that the centripetal force acting on a planet moving in an elliptical orbit is inversely proportional to the square of the distance between the Sun and the planet. The main flow of this article is [‘Hypothesis 2’, ‘Hypothesis 3’ → ‘Theorem 1’ → ‘Theorem 3’ → ‘Problem 3’], where ‘Theorem 3’ acts as a link. Since ⟨Principia⟩ was derived from this article, it holds great importance in the history of Science. Newton described according to a system like Euclid's ⟨Element⟩ (e.g., definition, lemma, theorem, problem, corollary, scholium, etc.), and developed his theory using a geometrical proof method. Additionally, I have presented the implications for the follow-up research studies.

Keywords: Newton, Kepler’s laws of planetary motion, Principia, Logical structure

본 연구의 목적은 뉴턴이 쓴 논문인 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 살펴보고 여러 관점에서 이 논문의 의의를 고찰하는 것이다. 정의 3개, 가설 4개, 정리 4개, 문제 7개 등으로 구성된 이 논문은 타원궤도를 운동하는 행성에 작용하는 구심력이 태양과 행성과의 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 밝힌 것으로 케플러 법칙을 증명한 것이다. 이 논문의 전개 과정에서 주된 과정은 [‘가설 2’, ‘가설 3’ → ‘정리 1’ → ‘정리 3’ → ‘문제 3’]이며, 여기서 ‘정리 3’이 연결고리 역할을 한다. 이 논문으로부터 ⟨프린키피아⟩가 만들어졌기에 이 논문은 과학사에서 매우 중요하다. 뉴턴은 유클리드의 ⟨원론⟩과 비슷한 체계(예: 정의, 보조정리, 정리, 문제, 따름정리, 주석 등)를 따라 서술하였으며, 기하학적인 증명방법을 이용하여 자신의 이론을 전개하였다. 추가적으로 후속 연구에의 시사점을 제시하였다.

Keywords: 뉴턴, 케플러의 행성 운동 법칙, 프린키피아, 논리 구조

17세기는 인류사에서 가장 중요한 변혁인 과학혁명이 일어난 시기이다. 고전역학이 확립되었고, 그에 따른 자연상이나 세계상의 변혁이 일어났다. 아리스토텔레스부터 이어져 왔던 과학체계가 과학혁명을 통해 근대과학의 시대로 넘어오게 되었고, 그 중심에 인류 역사상 가장 위대한 과학자로 일컬어지는 아이작 뉴턴(Issac Newton)이 있다. 뉴턴은 천상계와 지상계가 다르지 않다는 것을 밝혀냈으며, 만유인력과 운동 법칙에 의해 지배받는 동일한 세계라는 것을 알려주었다.

뉴턴에 대한 연구는 물리학의 발전과정이라고 할 수 있을 만큼 오래전부터 많이 이루어져 왔다. 상대성이론이나 양자역학과 같은 현대의 물리학은 뉴턴이 만든 고전역학과 차이가 있지만, 물리를 처음 배우는 초중등학생들은 뉴턴이 만든 역학 체계를 배우고 있다. 중학교 1학년에서 자연에 존재하는 여러 가지 힘을 배우면서 중력을 발견한 뉴턴을 소개하고 있으며, 고등학교 물리학에서는 뉴턴의 운동 법칙을 통해 물체의 힘과 운동의 관계를 설명하고 있다.

국내에서 진행된 뉴턴과 관련된 연구는 주로 교육적인 관점에서 논의되고 있다. 뉴턴의 제1 법칙인 관성 법칙과 관련한 개념과 실험이 교과서에 어떻게 제시되어 있는지를 분석한 연구[1], 뉴턴의 제2 법칙 실험과 관련된 교과서의 내용을 분석한 연구[2], 뉴턴의 제2 법칙과 관련하여 교과서에서 질량을 어떻게 다루고 있는지를 분석한 연구[3], 뉴턴 역학에 대해 학생들이 이해하고 있는 정도에 대한 연구[4,5], 뉴턴 역학을 가르치는 교사의 관점에 대한 연구[6] 등이 대표적이다.

뉴턴의 연구방법과 관련된 연구도 일부 진행되었는데, 빛과 색에 관한 이론 형성과정에서 뉴턴의 문제발견과정과 그 문제를 해결하기 위한 가설 형성과정을 분석한 연구[7], 뉴턴의 광학 연구를 물리교육 관점에서 해석한 연구[8] 등이 대표적이다. 이 밖에 뉴턴 과학을 철학적 관점에서 해석한 연구[9,10]가 진행되었다.

뉴턴이 남긴 업적의 중심에는 ⟨자연철학의 수학적 원리⟩ 또는 ⟨프린키피아⟩라고 불리는 책이 있다. ⟨프린키피아⟩에는 우리가 고등학교에서 배우는 뉴턴의 운동 법칙을 포함해서 지상과 천체의 운동을 설명하고 있어 고전역학의 핵심적인 저작이라 수많은 학자들이 연구를 해왔다. ⟨프린키피아⟩는 한글로 번역된 책도 판매되고 있지만, 국내에서는 ⟨프린키피아⟩와 관련된 연구는 거의 찾기 어렵다. 수학사와 관련해서 프린키피아를 소개한 연구[11]와 프린키피아에서 제시된 뉴턴의 증명법을 다른 수학적 방법으로 설명한 연구[12]와 같이 수학(교육) 연구에서 일부 진행되었을 뿐이다.

⟨프린키피아⟩가 만들어지게 된 계기는 에드먼드 핼리(Edmond Halley)가 뉴턴을 방문한 데서 비롯된다[13-15]. 16–17세기에 많은 천문학자들이 별과 행성의 운동을 관측하였는데, 요하네스 케플러(Johannes Kepler)는 케플러의 행성 운동 법칙을 통해 행성이 원운동이 아닌 타원운동을 한다는 것을 밝혔다. 케플러의 법칙은 티코 브라헤(Ticho Brahe)가 평생동안 천체를 관측하여 수집한 자료를 분석하여 얻어낸 결과였다. 따라서 왜 행성의 궤도가 원이 아닌 타원인지에 대해서는 답을 주지 못했기에 그 당시 과학자들이 갖고 있는 난제 중 하나였다. 왕립학회의 크리스토퍼 렌(Christopher Wren)은 로버트 후크(Robert Hooke)과 핼리에게 이 문제의 해결에 상금(내기)을 걸었는데, 이를 해결하지 못한 핼리는 1684년 8월에 이 문제에 대한 조언을 얻기 위해 캠브리지에 있는 뉴턴을 방문하였다. 핼리는 ‘태양으로부터 거리의 제곱에 반비례하는 인력을 받는다면 어떤 궤적을 그리는가?’라는 질문을 하였고, 뉴턴은 ‘그 경로는 타원이다’라고 대답을 했다. 뉴턴은 이 문제에 대해 오래전에 증명을 했다고 응답을 했고, 그 흔적을 찾지 못하자 나중에 핼리에게 보내주겠다고 했다. 뉴턴이 보낸 글(증명)을 본 핼리는 다시 뉴턴을 방문하여 이를 출판할 수 있도록 격려하였다. 이후 뉴턴은 행성의 궤도에 대한 논문을 작성하여 제출하였고 1684년 12월에 핼리를 통해 왕립학회에 제출하였다. 라틴어로 쓰여진 이 논문이 ⟨De motu corporum in gyrum⟩, 우리말로 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩이다[16].

잘 알려진 것처럼 이 논문은 후에 ⟨프린키피아⟩로 발전하게 된다[13-15]. 즉, ⟨프린키피아⟩에 제시된 핵심적인 내용들은 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 담겨진 것이다. 뉴턴이 ⟨프린키피아⟩를 집필하게 되는 배경에 대하여 제시한 여러 연구(또는 자료)에서 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 소개하기도 했고[16, 17], ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 분석한 연구들 (예:[15,18,19])이 오래전부터 최근까지 진행되고 있다. 그런데 대부분의 연구는 뉴턴의 ⟨프린키피아⟩가 만들어지기 전에 어떤 연구가 진행되었는지를 제시하는 것을 목적으로 진행되었고, ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 핵심적인 내용이나 가치에 대해서 집중적으로 논의하지는 못했다. 특히 우리나라에서는 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 대한 소개 자체가 거의 이루어지지 못했다.

이에 본 연구에서는 뉴턴의 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 살펴보고, 이 논문의 구성과 의의에 대해 논의하고자 한다. 먼저 II장에서 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 소개하였다. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 구성이나 의미를 이해하기 위해서는 뉴턴이 논리를 전개한 과정을 이해할 필요가 있다. 뉴턴이 타원운동을 하는 물체에 작용하는 구심력이 거리의 제곱에 반례한다는 것을 어떤 과정을 통해서 증명하게 되었는지 살펴보기 위해, 주요 명제(정리, 문제)의 내용을 제시하고, 그 명제를 어떻게 증명했는지 정리하여 제시하였다. 또한 각 명제(따름정리 포함)가 케플러 법칙과 어떤 관계가 있는지 설명하였다.

III장에서는 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 논리적 흐름, ⟨프린키피아⟩와의 비교, 뉴턴이 수행한 수학적 증명방법 등을 논의하였다. 뉴턴은 자신의 이론을 제시하는 과정에서 정의, 가설, 정리(따름정리), 문제 등을 제시하고, 각 정리와 문제를 증명해 나갔는데, 이때 이전의 가설, 정리, 문제의 결과를 이용하였다. 이들간의 관계가 어떻게 구성되는지를 제시하고, 이로부터 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 주된 논리 흐름을 찾아내었다.

또한 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용은 후에 ⟨프린키피아⟩로 완성되는데, 두 내용이 어떻게 연관되어 있는지를 유사한 명제들을 서로 연결하여 비교 정리하였다. 마지막으로 뉴턴이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 사용한 논리 전개 방법인 수학적 증명방법과 관련하여 논의하였다.

뉴턴의 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩는 3개의 정의(definition), 4개의 가설(hypothesis), 2개의 보조정리(lemma), 11개의 명제(4개의 정리(theorem), 7개의 문제(problem)), 6개의 따름정리(corollary), 7개의 주석(scholium) 등으로 구성되어 있다.

정의 3개는 각각 구심력(centripetal force), 고유의 힘(inherent force), 저항(resistance)에 대한 것이다. 첫 번째 가설은 처음 9개의 명제에서 저항은 0으로 한다는 내용이고, 두 번째 가설은 외력이 없을 때 직선상에서 무한 운동한다는 내용으로 ⟨프린키피아⟩에서 ‘법칙 1’로 제시한 것이다. 세 번째 가설은 평행사변형법으로의 힘의 합력을 나타낸 것이다. 그리고 네 번째 가설은 물체가 힘을 받을 때 이동한 거리는 시간의 제곱에 비례한다는 것으로 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 3번째 버전에 추가된 것이다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 핵심적인 내용은 11개의 명제에서 살펴볼 수 있는데, 본 연구에서는 그 중에서 ‘정리 1’부터 ‘정리 4’, 그리고 ‘문제 3’, ‘문제 4’를 포함해 6개의 명제에 대해서 간략하게 살펴보고자 한다.

Figure 1. Figure of theorem 1.

1. 정리 1

‘정리 1’은 ‘궤도 운동을 하는 물체의 궤적이 나타내는 면적은 시간에 비례한다.’는 것이다. 물체가 힘을 받지 않으면 ‘가설 2’에 의해서 A에서 B로 이동하는 물체는 c로 가고, 동일한 시간을 고려하면 AB=Bc이므로 ⃤ SAB의 넓이는 ⃤ SBc의 넓이와 같다. 뉴턴은 BS와 평행하게 선분 cC를 그었다. B에서 구심력을 받는다고 하면 물체의 방향이 변하게 되는데, 힘을 받지 않은 물체가 c까지 이동하는 동안 구심력을 받는 물체는 ‘가설 3’에 의해 C까지 이동하게 된다. 따라서 ⃤ SBc의 넓이는 ⃤ SBC의 넓이와 같다. 이와 같은 방식으로 계속 진행하면 모든 삼각형의 넓이가 같게 된다. 시간을 아주 작게하여 삼각형을 작게 만들면 동일한 시간에 이동한 물체가 만드는 넓이가 같다는 것이고, 따라서 시간이 길어지면 넓이는 시간에 비례하여 증가하게 되어 ‘정리 1’이 증명된다. 같은 시간동안 물체의 이동경로가 만드는 넓이가 같다는 사실은 케플러의 제2법칙과 유사하다.

2. 정리 2

‘정리 2’는 ‘일정한 속력으로 원운동하고 있는 물체에 대해 구심력의 크기는 호의 길이의 제곱을 반지름으로 나눈 것에 비례한다.’는 내용이다. 뉴턴은 Fig. 2와 같이 반지름이 다른 두 개의 원(반지름 R, r)을 생각하였다. 원궤도를 따라 호의 길이 BD^, bd^만큼 이동하는 동안 구심력이 없으면 접선 방향으로 같은 거리 BC, bc를 이동하게 된다. ‘가설 3’에 의해 두 원궤도에 작용하는 구심력의 비는 CD:cd가 된다. C(c)와 D(d)를 이은 선을 연장하여 원과 만나는 점을 F(f)라고 하면, 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선과 할선의 길이 관계를 나타낸 유클리드 ⟨원론(3권)⟩의 36번 명제에 의해[20], 구심력의 비 = CD:cd = BC2CF:bc2cf가 된다. 시간이 아주 작다면 CFcf는 각각 두 원의 지름과 같다고 할 수 있기 때문에, 구심력의 비는 BC2CF:bc2cfBD^212CF:bd^212cfBD^2R:bd^2r가 되어 정리가 증명된다.

Figure 2. Figure of theorem 2.

‘정리 2’에는 모두 5개의 따름정리가 이어지는데, 그 중 첫 번째 따름정리는 이동거리가 속력에 비례하므로 구심력의 크기는 속력의 제곱에 비례하고 반지름에 반비례한다는 내용으로 일반물리에서 배우는 구심가속도의 크기 관계를 나타내고 있다. 또한 따름정리 5는 행성의 주기가 행성 궤도 반지름의 3제곱에 비례한다면 구심력이 궤도 반지름의 제곱에 반비례한다는 결과를 나타내고 있다. ⟨프린키피아⟩에 따르면, 뉴턴은 케플러(렌, 후크, 핼리 등도 포함)의 관측 결과에 의해 T2r3의 관계를 알게 되는데, 이로부터 구심력이 반지름의 제곱에 반비례한다는 것을 밝힐 수 있었다.

3. 정리 3

‘정리 3’은 Fig. 3과 같이 위치 S를 향하는 구심력을 받으면서 곡선궤도로 운동하는 물체(위치 P)에 대해서 구심력의 크기가 QRSP2×QT2에 비례한다는 것을 나타낸다. 점 P에서의 접선 위에 있는 점 R에서 초점 S로 향하는 선을 그리고, 이 선과 타원이 만나는 점을 Q, Q에서 선분 PS에 내린 수선의 발을 T라고 하자. 일정한 시간이 주어졌을 때, QR은 구심력에 비례하고, ‘가설 4’에 의해 일정한 힘이 주어졌을 때 QR은 시간의 제곱에 비례한다. 따라서 QR은 구심력과 시간 제곱의 곱에 비례하고, 구심력은 QR에 시간 제곱을 곱한 값에 비례하게 된다. ‘정리 1’에 의해 시간은 ⃤ SQP의 넓이에 비례하므로, 결과적으로 구심력은 QRSP2×QT2에 비례하게 되어 정리가 증명된다.

Figure 3. Figure of theorem 3.

‘정리 2’가 원운동을 대상으로 설명한 것이라면 ‘정리 3’은 원궤도가 아닌 임의의 곡선 궤도에 대해 적용한 것이다. 원궤도에서는 행성까지의 거리가 일정하기 때문에 작용하는 구심력의 크기가 동일한데 반하여 임의의 곡선궤도에서는 거리가 바뀌기 때문에 구심력의 크기가 변하게 된다. 뉴턴은 이러한 임의의 곡선을 그리는 행성에 작용하는 구심력의 크기를 나타낸 것으로 ‘정리 2’의 일반화된 표현이라고 생각할 수 있다. 이후 뉴턴은 두 개의 문제(‘문제 1’, ‘문제 2’)를 제시했는데, 이것은 ‘정리 3’의 응용(application)에 해당한다.

4. 문제 3

뉴턴은 타원궤도를 움직이고 있는 물체에 타원의 초점을 향하는 구심력의 크기가 어떠한지를 알아내라는 내용의 ‘문제 3’을 제시했다(Fig. 4). 이 타원은 S, H를 초점으로 하며, PGDK는 켤레지름이고, SPDK를 점 E에서 만난다. 사각형 QXPR이 평행사변형이 되도록 Q를 정하고, Q에서 선분 PS에 내린 수선의 발을 T라고 하자.

Figure 4. Figure of problem 3.

뉴턴은 타원의 수직지름(통경, latus rectum) L을 도입하여 L×QRQT2=2PCGV×MN을 밝히고 Q와 P가 가까워지는 근사를 이용하여 L×QRQT2=1을 얻었다. 다시 ‘정리 3(구심력 QRSP2×QT2)’을 이용하면, 구심력 1L×SP2을 얻을 수 있었다. 즉, 타원궤도에서 구심력은 궤도상에 있는 물체와 초점까지의 거리(SP)의 제곱에 반비례한다는 결과를 얻을 수 있었다. 이것이 렌, 후크, 핼리를 비롯해 당시의 과학자들이 알고 싶어하던 바로 그 문제의 해답인 셈이다.

5. 정리 4

‘정리 4’의 내용은 ‘원운동 하는 물체에 작용하는 구심력이 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다고 가정하였을 때, 타원운동 하는 물체의 주기는 장반경의 3제곱에 비례한다’는 것이다(Fig. 5). AB를 타원의 장축, PD를 단축으로 하는 타원과 타원의 단축 위의 한 점(P)에 물체가 있을 때 SP를 반지름으로 하는 원궤도를 나타낸 것이다. 물체가 타원궤도를 따라 PR로 이동하는 동안 원궤도에서는 PM을 이동한다고 가정하였다. 타원의 수직지름 L=QT2/QR(`문제 3’의 주석에 제시된 내용), MN=QR(P점에서 원궤도와 타원궤도로 움직이는 물체에 작용하는 구심력이 같다는 사실로부터 알 수 있음) 등을 이용하여 삼각형 SPQ의 넓이와 삼각형 SPM의 넓이의 비가 타원의 넓이와 원의 넓이의 비와 같다는 것을 밝혔다.

Figure 5. Figure of theorem 4.

이 사실은 P에서 출발하여 M을 지나는 원궤도로 움직이는 물체와 Q를 지나는 타원궤도로 움직이는 물체가 한바퀴 돌아 동시에 P점에 도달한다는 것, 즉 원궤도와 타원궤도로 움직이는 물체의 주기가 서로 같다는 것을 의미한다. 원의 반지름은 타원의 장반경의 절반과 같으므로, ‘정리 2’의 ‘따름정리 5’(주기의 제곱이 원궤도 반지름의 세제곱에 비례하면 구심력은 거리의 제곱에 반비례한다)를 이용하면, 타원궤도에서도 주기의 제곱이 타원궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다는 것을 알 수 있게 된다. 이것은 케플러의 3법칙에 해당된다.

6. 문제 4

‘문제 4’는 거리의 역제곱에 비례하는 구심력이 작용하였을 때 행성이 어떤 운동을 하는지를 나타내는 내용이다. Figure 6과 같이 위치 P에 행성이 있을 때, 타원의 수직지름 L2(SP+KP)보다 작으면 타원이 되고, 같으면 포물선, 크면 쌍곡선을 이룬다는 것을 알아냈다. 즉, 특정 위치에서 물체의 초기 속력과 방향에 따라 행성이 운동하는 궤도가 결정되는 기준을 제시한 것이다.

Figure 6. Figure of problem 4.

결과적으로 구심력과 초기속력을 알면 행성이 어떤 궤도를 나타내는지 알 수 있는데, 핼리는 이 결과(실제로는 수정된 결과)를 1682년에 발견한 혜성에 적용하여 이 혜성이 타원궤도를 나타내며 1758년에 다시 지구 근처로 돌아올 것임을 예측했다(실제로는 1759년에 돌아왔다)[13].

이후 뉴턴은 ‘문제 5’에서 거리의 역제곱으로 비례하는 중력이 작용하였을 때의 자유 낙하 운동, ‘문제 6, 7’을 통해 저항이 있는 경우에의 운동(주석을 통해 저항이 있을 때의 포물선 운동)을 설명하였다. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 가설과 주요한 명제(정리, 문제)의 내용을 간략히 정리하여 Table 1에 제시하였다.

Table 1 . Brief description of hypotheses and some propositions of ⟨On the motion of bodies in an orbit⟩.

Brief description
Hypothesis 1In the first 9 propositions, resistance is assumed nil
Hypothesis 2By its intrinsic force, an object progress uniformly in a straight line
Hypothesis 3Forces combine by a parallelogram rule.
Hypothesis 4In an effect of centripetal force, the distance is proportional to the square of the time.
Theorem 1an orbiting body sweeps out equal areas in equal times
Theorem 2the centripetal force is proportional to the square of the arc-length traversed, and inversely proportional to the radius.
Theorem 3the centripetal force in a non-circular orbit is proportional to QRSP2×QT2
Problem 3the centripetal force to produce elliptical orbit would be inversely proportional to the square of the distance
Theorem 4Supposing that the centripetal force be reciprocally proportional to the square of the distance from the center, the squares of the periodic times in ellipses are as the cubes of their transverse axes.
Problem 4for the case of an inverse-square law of centripetal force, initial conditions determine the shape of the orbit (ellipse, parabola, hyperbola)

II장에서 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용에 대해서 간략히 살펴보았다. III장에서는 이 논문의 논리적인 흐름, 가치, 뉴턴이 사용한 증명방법 등을 논의하고자 한다.

1. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 논리적 흐름

Bork는 프린키피아 1권에 제시된 뉴턴의 이론의 논리적 구성을 그림으로 제시하였는데[21], 뉴턴이 자신의 명제(정리, 문제)를 증명할 때 다른 명제나 공리(가설) 등을 어떻게 사용했는지를 나타내는 것이다. 본 연구에서는 Bork의 논리적 흐름에서 제시한 방법을 이용하여 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 가설, 정리, 문제 등이 어떻게 연결되어 있는지를 Fig. 7과 같이 그림으로 나타내었다.

Figure 7. (Color online) The logical structure of ⟨De muto corporum in gyrum⟩ : solid lines for first proofs; dotted lines for second proofs, red lines for main logical process.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩는 수학의 증명을 이용하여 논리가 전개되었는데, 이때 각 명제들(가설, 정리, 문제 등)이 다른 명제와 어떻게 연결되는지를 선으로 나타내었다. 여기서 실선으로 표시된 것은 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 뉴턴이 직접 사용하였다고 명시한 과정(1차 증명(first proof))이고, 점선으로 나타낸 것은 뉴턴이 명시적으로 언급하지는 않았지만 논리 전개상 필요한 과정(2차 증명(second proof))을 나타낸 것이다. 예를 들어, ‘정리 1’의 증명을 위해서는 ‘가설 2’와 ‘가설 3’이 사용되었는데, 이를 화살표로 나타내었다.

‘정리 2(따름정리 포함)’의 증명을 위해서는 ‘가설 2’, ‘가설 3’, ‘유클리드의 명제 36’이 사용되었고, ‘정리 1’을 이용하여 ‘정리 3’을 증명하였다. 이 ‘정리 3’을 이용하여 ‘문제 1’부터 ‘문제 3’이 증명되었는데, ‘문제 3’의 증명을 위해서 ‘문제 1’과 ‘문제 2’가 간접적으로 사용되었다. 또한 ‘문제 3’을 이용해서 ‘정리 4’와 ‘문제 4’가 증명되었다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 뉴턴이 증명하고자 했던 결론에 해당되는 것은 타원궤도를 움직이는 물체에 작용하는 구심력의 크기가 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 보인 ‘문제 3’이다. 이 ‘문제 3’의 증명을 위해서 필요한 핵심적인 논리 과정을 순서대로 나타내면 [‘가설 2’, ‘가설 3’ → ‘정리 1’ → ‘정리 3’ → ‘문제 3’]이라고 할 수 있다(Fig. 7에 붉은색 화살표로 나타내었다).

앞에서 밝힌 바와 같이 ‘정리 1’은 케플러의 제2법칙에 대한 내용이고, ‘문제 1’과 ‘문제 2’는 ‘정리 3’의 응용으로 결론에 해당하는 ‘문제 3’의 증명을 위한 준비 과정이라고 할 수 있다. 따라서 ‘정리 3’은 가설로부터 시작하여 ‘문제 3’의 결론에 이르는 일련의 증명 과정에서 중요한 연결 고리 역할을 하고 있음을 확인할 수 있다.

2. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩의 비교

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 집필하게 된 계기는 핼리가 질문한 케플러 법칙에 대한 증명으로부터 출발한 것이다. 케플러는 티코 브라헤의 관측 자료를 토대로 오늘날 케플러의 3가지 법칙으로 알려진 타원궤도의 법칙, 면적속도 일정의 법칙, 조화의 법칙 등을 알아냈다. 케플러의 법칙들은 관측 사실을 일반화한 것이었는데, 논리적인 추론에 의해서 얻어진 것이 아니기 때문에 그 당시 과학계에서는 케플러 법칙을 과학 법칙으로 인정하지 않는 사람도 많았다[22]. 이에 뉴턴의 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩는 논리적인(수학적인) 과정을 통해 케플러 법칙을 증명하였다는데 큰 의의가 있다. 케플러의 제1법칙은 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘문제 3’, 케플러의 제2법칙은 ‘정리 1’, 케플러의 제3법칙은 ‘정리 2’의 ‘따름정리 5’, ‘정리 4’와 관련이 있다.

이 논문은 자체로도 큰 의미가 있지만 이후 ⟨프린키피아⟩의 집필로 이어진다는 점에서 매우 큰 가치를 지닌다. 뉴턴으로부터 회신을 받은 핼리는 뉴턴을 다시 방문하는 것을 포함하여 지속해서 뉴턴과 서신을 주고받았다. 이후 핼리는 뉴턴이 연구 결과를 책으로 출판할 수 있도록 격려하고 재정적인 문제를 해결하는 데 도움을 주었다[15]. 이에 뉴턴은 다음과 같이 ⟨프린키피아⟩의 서문에 핼리의 공을 인정하였다[23].

이 책을 출판하기까지, 박학다식하고 예지가 뛰어난 에드먼드 핼리가 오류를 고치고 기하학 도형을 준비하는 것을 도와주었을 뿐만 아니라, 그의 간청이 있었기 때문에 이 책을 출판하게 되었다. 천체의 궤도에 관해 내가 증명한 것을 그가 보고나서, 그는 그것을 왕립 학회에 발표하라고 나에게 계속 권하였다. 그 후 왕립학회의 권유와 간청에 못이겨, 나는 그것을 출판하기로 마음먹었다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩의 내용이 어떻게 연결되는지를 살펴보는 것은 의미가 있을 것이다. 이에 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 정의, 가설, 정리, 문제 등이 ⟨프린키피아⟩의 어느 부분에 제시되어 있는지 나타내기 위해 Fig. 8을 제시하였다. ⟨프린키피아⟩는 3권의 책으로 나뉘어 있을 정도로 방대한 양으로 되어 있다. 1권은 물체의 운동에 대한 일반적인 논의, 2권은 저항이 있는 공간 속에서의 입자의 운동, 3권은 태양계의 구조 등에 대해 설명하고 있다. 이 중 1권의 앞부분이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 포함하고 있다. 따라서 Fig. 8에는 ⟨프린키피아⟩ 1권에서 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 관련이 있는 부분인 3장까지의 내용 중에서 ‘정의’, ‘법칙’, ‘보조정리’, ‘따름정리’, ‘정리’, ‘문제’ 등을 순서대로 나열하였다. 그리고 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩에서 유사한 내용을 다루고 있는 내용들끼리 서로 화살표로 연결하여 어떻게 두 문서가 관련되어 있는지 나타내었다.

Figure 8. (Color online) Comparison of ⟨De motu corporum in gyrum⟩ and ⟨Principia⟩.

⟨프린키피아⟩는 정의 6개를 제시했는데, ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘정의 1’과 ‘정의 2’가 각각 ⟨프린키피아⟩의 ‘정의 5’, ‘정의 3’과 비슷한 내용을 제시하고 있다. ⟨프린키피아⟩에서는 질량, 운동량, 가하는 힘(impressed force), 구심력의 절대량(absolute quantity) 등을 ‘정의 1, 2, 4, 6’에 추가로 제시하였다.

⟨프린키피아⟩에서는 우리가 잘 알고 있는 뉴턴의 운동 법칙에 해당되는 3가지 법칙을 ‘법칙(Law)’으로 제시하고 있는데, ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘가설 2’가 관성의 법칙으로 알려진 ⟨프린키피아⟩의 ‘법칙 1’에 해당된다. 한편 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘가설 3’은 ⟨프린키피아⟩의 ‘따름정리 2와 3’의 내용과 관련되어 있고, ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘가설 4’는 ⟨프린키피아⟩의 ‘보조정리 10’에 해당된다.

⟨프린키피아(1권)⟩에는 따름정리 6개, 보조정리 11개가 제시되어 있는데, 앞에서 제시한 ‘따름정리 2, 3’, ‘보조정리 10’만 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 가져온 것이고, 다른 따름정리와 보조정리는 다른 증명을 위해서 추가적으로 제시된 것이다. 한편 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 제시된 보조정리 2개 중 첫 번째 보조정리는 ⟨프린키피아⟩의 2권에 제시되어 있다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 제시된 대부분의 정리와 따름정리, 문제 등은 ⟨프린키피아⟩에 모두 제시되어 있다. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘정리 1–4’는 각각 ⟨프린키피아⟩의 ‘정리 1’, ‘정리 4’, ‘정리 5’의 ‘따름정리 1’, ‘정리 6’에 제시되어 있고, ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 ‘문제 1–4’는 각각 ⟨프린키피아⟩의 ‘문제 2, 5, 6, 9’에 제시되어 있다. 다만 II장에서 제시한 바와 같이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 주된 논리 흐름에서 벗어나 있는 ‘문제 5–7’은 ⟨프린키피아⟩를 집필할 때에는 제외되었다.

⟨프린키피아⟩에는 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 없는 여러 개의 정리, 따름정리, 문제 등이 포함되어 있다. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩는 케플러 법칙에 해당되는 내용인 구심력이 작용하는 행성의 궤도가 타원인 이유를 밝히는 것이 목적이었기 때문에 이를 증명하는데 필요한 과정만 제시했었다. 그런데 ⟨프린키피아⟩에서는 행성의 다양한 운동을 포함한 천체의 운동을 모두 설명하기 위해 조금 더 엄밀한 증명이 필요했기 때문에 추가적으로 정의, 법칙, 명제(정리, 문제) 등을 제시한 것이다. 특히 ⟨프린키피아⟩에는 행성의 운동으로 타원운동만이 아니라 포물선 운동과 쌍곡선 운동을 포함한 모든 원뿔곡선에 대해 다루고 있다. ⟨프린키피아⟩의 ‘문제 7’은 쌍곡선 운동을, ‘문제 8’은 포물선 운동에 대해 설명하고 있다. Figure 8에는 ⟨프린키피아⟩의 3장까지만 제시하였는데, 4장에서는 초점이 제시되었을 때 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도를 구하는 내용이 상세히 제시되어 있다. 또한 5장에서는 초점이 주어지지 않았을 때의 궤도 구하는 방법, 6장에서는 주어진 궤도를 따라 움직이는 물체의 위치 구하는 방법, 7장에서는 직선운동 등이 제시되어 있다.

3. ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 제시된 수학적 증명방법

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩를 처음 접하는 사람들은 이 논문(책)이 통상적인 과학적인 글과 다르다는 것을 즉시 인지할 수 있다. 두 논문(책)은 정의, 정리, 따름정리, 보조정리 등과 같이 수학에서 다루고 있는 방법이 제시되어 있기 때문이다. ⟨프린키피아⟩의 제목이 ⟨자연철학의 수학적 원리⟩인 것도 뉴턴의 연구가 수학적 방법을 따르고 있음을 보여주고 있다.

수학 분야에서 가장 위대한 고전으로 일컬어지는 책은 유클리드가 기원전 3세기에 집필한 ⟨원론⟩이다[20]. 이 책은 점, 선, 면, 평면, 각, 도형 등에 대한 기본적인 정의와 공리(Axiom), 명제(정리 포함) 등으로 설명하고 있는데, 논리적 완전성을 추구하는 수학을 이용해서 자연과학(천체 운동)을 완벽하게 설명하기 위해 뉴턴은 유클리드 ⟨원론⟩의 체계를 따르게 되었다. 그는 수학의 공리(postulate)를 법칙(law)으로 표현하고, 논리적인 순서로 정리를 제시하였으며, 문제와 그의 해(solution)을 풀어나가는 구성방식을 선택하였다.

미적분학의 창시자인 뉴턴은 미적분학을 이용하여 행성의 운동을 해석할 수 있었을 것이다. 즉, 뉴턴은 대수적으로도 설명할 수 있는 내용도 기하학을 이용하여 증명을 서술하였다[24]. ⟨프린키피아⟩에서 뉴턴의 미적분학 사용과 관련된 연구가 일부(예:[25]) 진행되었지만, 뉴턴이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 기하학을 이용한 까닭은 명확하게 밝혀지지 않았다.

한 가지 재미있는 것은 뉴턴은 이미 답을 알고 있었다는 것이다. 즉, 행성이 타원운동한다는 사실은 케플러 법칙으로부터 경험적으로 증명된 사실이었고, 구심력이 거리의 제곱에 반비례한다는 것도 후크, 렌, 핼리 등의 논의에서도 알 수 있듯이 그 당시의 많은 과학자들이 알고 있던(증명할 수는 없었지만) 내용이었다. 이를 고려하면 뉴턴은 이미 알고 있는 답을 증명한 것이라고 할 수 있다. 모든 과학이 그러하지는 않지만, 보통 과학 연구는 답을 모르는 상태에서 해답을 찾아 나가는 경우가 많다. 반면 수학에서는 증명이라는 방법론을 통해 알고 있는 답을 명확하게 확인해가는 연구방법이 많이 사용된다. 그런 이유로 핼리와 뉴턴이 관심을 가진 질문의 답을 찾는 과정은 수학적인 증명법이 더 적합할지도 모른다.

이 상황은 다음의 두 가지 유형의 문제와 관련이 있다. 첫째는 ‘직접적 문제(direct problem)’로, 궤도가 주어진 상태에서 그 궤도를 만드는데 필요한 힘을 구하는 것이고, 둘째는 ‘역문제(inverse problem)’으로 초기 위치, 속도와 함께 힘이 주어졌을 때 궤적을 구하는 것이다[13]. 실제로 핼리가 뉴턴에게 질문한 것이 직접적 문제인지 역문제인지는 명확하지 않지만, 뉴턴이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 통해서 제시한 답은 ‘직접적 문제’에 대한 답이다[13].

케플러 법칙은 천체의 운동을 설명하는 매우 중요한 법칙이기 때문에 고등학교에서 배우는 ⟨통합과학⟩에서도 역학적 시스템을 다루면서 중요하게 학습된다[26]. 그런데 학생들이 케플러 법칙이 어떻게 성립되는지 그 과정을 이해하기에는 쉽지 않다. 통상적으로 물리학에서는 케플러 법칙(1법칙)을 증명할 때, 뉴턴의 운동방정식을 풀어야 한다. 이를 위해서는 미분방정식을 풀 수 있어야 하고, 계산의 단순함을 위해 직교 좌표계가 아닌 극좌표계를 이용해야 한다. 물론 결과는 이차곡선의 극좌표 방정식과 같은 형태로 나오고 여기서 이심률의 값에 따라 어떤 원뿔곡선을 그리는지 결정된다. 이러한 과정을 이해하기 위해서는 대학교 2학년 이상의 전공물리학 수준에 도달해야 하기 때문에 고등학생들이 이해할 수는 없다.

뉴턴 이후에도 타원 운동하는 행성에 작용하는 구심력이 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 증명하는 방법을 여러 과학자들이 제시하였다. 예로 헤르만(Jakob Hermann)과 베르누이(Jonann Bernoulli)는 1710년에 오늘날에도 고전역학 수준에서 표준적인 방법이라고 불리는 증명방법을 제시하기는 했지만[27, 28], 이 역시 고등학생 수준에서는 이해하기 쉽지 않다. 복잡하기는 하지만, 뉴턴의 기하학적인 증명은 미분방정식 풀이나 베르누이의 방법보다는 이해에 필요한 추가적인 수학 개념이 많이 필요하지 않아 고등학생들도 시도해볼 만할 것이다.

본 연구에서는 ⟨프린키피아⟩를 집필하게 된 계기가 된 뉴턴의 논문 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩의 내용을 정리하여 제시하였다. 이를 바탕으로 이 논문에 제시된 명제들의 관계를 나타내는 논리적 흐름을 통해 핵심적인 논리 전개 과정을 알아보고, ⟨프린키피아⟩와의 비교를 통해 이 논문이 갖는 가치를 살펴보았으며, 뉴턴이 자신의 주장을 펼쳐나가기 위해 사용한 수학적 연구방법을 고찰하였다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩는 자연현상을 다루고 있기 때문에 물리학 연구로 볼 수 있지만, 결과를 만들어내는 과정은 기하학적인 증명방법을 따르고 있는 수학 연구라고도 할 수 있다. 그런 이유로 물리학이나 물리학사를 연구하는 사람들에게는 ⟨프린키피아⟩와 더불어 가장 중요한 논문임에도 불구하고 크게 관심을 받지 못해왔다. 뉴턴이 제시한 기하학적인 방법은 물리학자들에게는 낯설어 보일 수 있지만, 고등학교 학생들에게는 오히려 접근하기에 더 쉬울 수 있기에 학생들이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 읽고 어떻게 이해하는지를 살펴보는 것은 의미가 있을 것이다.

최근 대학에서 교양교육에서 고전읽기를 강조하고 있다. 고전 읽기는 시대와 사회의 다양한 시각을 담은 모범적 지식으로써 학생들의 인격 및 통합적 사고를 배양하고 사유의 힘을 기르게 하는 데 결정적 역할을 하고, 종합적 시각을 학생들에게 갖추게 하여 편향된 세계관을 바로 잡아줄 수 있는 기회를 제공하며, 인간과 세상에 대한 다층적 이해와 다양한 시각을 갖게 한다[29]. 많은 대학에서는 학생들에게 권장 고전 도서를 선정하여 제공하고 있다. 이 중 자연과학 관련 도서는 그 수도 많지 않을 뿐만 아니라 ⟨종의 기원⟩을 제외하면 대부분 최근(20세기 후반)에 저술된 것이다. 인문과학과는 달리 자연과학은 사실(fact)에 기반하고 있고, 과학의 지식은 계속 변화해왔기 때문에 오래전에 집필된 과학책은 잘못된 것이 많아 현대인들이 읽기에 문제가 있다는 시각이 반영되었을 것이다. 그런데 우리가 과학사 학습의 장점을 생각해보면 과학 고전 읽기의 의미를 다시 생각할 수 있을 것이다. 과학사 학습을 통해 과학적 이론이나 법칙뿐만이 아니라 과학 지식이 만들어지는 과정을 통해 과학의 본성을 이해할 수 있고, 과학에 대한 긍정적인 인식을 높일 수 있기 때문에[30], 오래전 과학자들이 남긴 논문을 읽는 과정에서 과학지식이 어떻게 만들어졌는지 이해할 수 있을 것이다. 특히 뉴턴의 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 통해 인류 역사에서 가장 중요한 법칙 중 하나인 케플러 법칙이 어떻게 증명되었는지를 살펴보는 것은 학생들에게 의미 있는 활동이 될 수 있을 것이다.

또한 자신들이 따르고 있는 방법이 역사상 가장 위대한 과학자인 뉴턴이 만들어낸 과정이라면 과학에 대한 긍정적인 태도 형성에 좋은 영향을 미칠 수 있을 것이다. 따라서 학생들에게 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 대한 내용 이해만이 아니라 그 논문이 갖는 가치와 사회상(과학계의 주요 흐름)에의 영향 등을 이해해보는 활동을 제시하고 그 과정과 성과를 분석할 필요가 있다. 이는 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩ 논문 자체에만 한정되는 것이 아니라 교양교육으로서 ‘과학 고전읽기’ 연구로 이어질 수 있을 것이다.

⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에 대한 연구는 ⟨프린키피아⟩ 연구로 이어질 수 있다. 본 연구에서는 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩의 명제들이 어떻게 연결되어 있는지를 분석하였지만, 세부 내용에서의 차이에 대해서는 심층적으로 분석하지 못했다. 1684년에 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩을 집필하고 1687년에 ⟨프린키피아⟩를 발표했으니, 약 2–3년의 기간동안 보완이 이루어졌다. 물론 저항이 있을 경우에의 물체의 운동이나 천체의 운동과 같은 새로운 내용이 추가되었기에 단순히 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 수정만 한 것은 아니다. 그렇지만 어떤 부분에서 변화가 있으며, 수정한 이유가 무엇인지를 분석하는 것은 매우 가치있을 것이다. 물론 그 기간동안 다른 과학자들의 반응과 그 상호작용이 어떻게 ⟨프린키피아⟩에 반영되었는지도 연구할 가치가 있을 것이다. 특히 핼리나 후크와의 교신은 뉴턴의 집필에 큰 영향을 미쳤기에 뉴턴의 연구에서 동시대 과학자들이 어떤 반응을 보였고 그것이 어떤 영향을 미쳤는지 살펴볼 필요가 있다.

뉴턴의 운동 법칙과 관련된 연구도 진행될 필요가 있다. 뉴턴과 관련하여 물리학에서 가장 많이 학습되는 개념은 뉴턴의 운동 법칙이다. 그런데 앞에서 밝힌 바와 같이 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩를 집필하는 과정에서 뉴턴은 기하학적인 방법을 이용하여 증명을 했다. 뉴턴의 제1법칙에 해당되는 ‘관성의 법칙’은 ‘가설 1’과 관련되어 있는데, ‘외부에서 작용하는 힘이 없다면, 내재된 힘(innate force)에 의해서 직선상에서 무한히 일정한 운동을 한다.’는 내용으로 구심력이 작용하지 않을 때 물체가 어느 곳에 위치할 것인지를 알려주기 때문에 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에서 제시된 증명에 전체적으로 사용되었다고 할 수 있다. 그러나 뉴턴의 운동 법칙의 핵심에 해당되는 제2법칙은 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩에는 아예 제시되지도 않았다. ⟨프린키피아⟩에서도 뉴턴의 운동법칙을 ‘법칙(Law)’로 서두에 제시하였지만, 실제로 이 운동 법칙이 증명에 사용된 것은 초기 몇 개의 명제에 한해서였고 거의 사용되지 않았다[23]. 사실 ⟨프린키피아⟩에서 뉴턴이 제시한 2법칙은 오늘날 우리가 물리학에서 가르치고 있는 2법칙과 차이가 있으며[31], 교과서에 제시되고 있는 F=ma라는 식을 처음 만든 사람도 뉴턴이 아니라 오일러였다[32].

흔히 중고등학교에서는 뉴턴이라는 과학자가 등장해 아리스토텔레스의 고대 과학을 무너뜨린 것처럼 묘사되고 있다. 그러나 동시대에도 운동 법칙에 대한 연구를 진행한 갈릴레이, 케플러, 데카르트 등의 연구도 뉴턴에 영향을 미쳤으며, 뉴턴 사후에 오일러의 업적에 이르기까지 수많은 과학자들의 연구를 통해 오늘날 우리가 뉴턴의 운동 법칙이라는 체계가 만들어진 것이다. 따라서 ⟨물체의 궤도 운동에 관하여⟩와 ⟨프린키피아⟩를 중심으로 그 전후의 운동 법칙과 관련된 여러 연구들의 분석을 통해 과학사에서 가장 중요한 운동 법칙의 성립 과정을 살펴보는 것도 의미있을 것이다.

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