npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2022; 72: 866-872

Published online November 30, 2022 https://doi.org/10.3938/NPSM.72.866

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Transmission Deflectometry with Lissajous-Ellipse Fitting for 3D Measurement

Sanghoon Shin1, Younghun Yu2*

1Parantek, Bucheon 14488, Korea
2Department of Physics, Jeju National University, Jeju 63243, Korea

Correspondence to:*E-mail: yyhyoung@jejunu.ac.kr

Received: September 3, 2022; Accepted: October 5, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

This work presents a method for obtaining phase data from fringe image data and investigated Hilbert-transformed data without data preprocessing. The fringe projection technique is an effective method for measuring the three-dimensional shape of an object, and phase extraction from the deformed fringe is an important process in three-dimensional measurement. Preprocessing for background noise removal and modulation normalization is required to obtain phase data by using a single fringe image data. In this study, a Lissajous figure was constructed from fringe and Hilbert-transformed data, and the method for obtaining the deformed phase of the stripe pattern without preprocessing using the elliptic equation fitting method was studied through computer simulation and transmission-type deflection experiments.

Keywords: Deflectometry, Phase measurement deflectometry, Hilbert Transform, Ellipse fitting

이 논문에서는 한장의 줄무늬 데이터와 Hilbert 변환된 줄무늬 데이터로부터 데이터 전처리 없이 측정 대상체의 3차원 위상 데이터를 얻어내는 방법을 연구하였다. 줄무늬 투영 3차원(3-Dimensional) 측정 기법은 물체의 3차원 형상을 측정하는 효과적인 기법이고, 변형된 줄무늬로부터 위상을 추출하는 것은 3차원 측정에서 중요한 과정이다. 한장의 줄무늬 데이터를 이용하여 위상 데이터를 얻기 위해서는 백그라운드 잡음 제거와 모듈레이션 규격화를 위한 전처리가 필요하다. 본 연구에서는 줄무늬 데이터와 이를 Hilbert 변환한 데이터를 이용하여 Lissajous 도형을 구성하고, 이를 타원방정식 피팅 방법을 이용하여 전처리 없이 Lissajous 도형으로부터 줄무늬 문양의 변형된 위상을 얻는 방법을 전산기 시늉과 투과형 편향법 실험을 통해 연구하였다.

Keywords: 편향법, 위상측정 편향법, Hilbert 변환, 타원방정식 피팅

비접촉 방식으로 3차원 형상을 측정하는 방법은 과학 및 산업에서 매우 중요하다. 이미지를 이용한 3차원 측정에는 간섭법과 줄무늬 방법을 많이 사용된다[1-6]. 이미지를 이용한 3차원 측정은 포인트 스캔 방식에 비해 빠른 측정이 가능하기 때문에 많이 선호된다. 간섭 방법은 nm 정도의 매우 정밀한 측정이 가능하나 한번에 측정 할 수 있는 면적이 작고, 진동이나 온도변화와 같은 외부 환경에 의해 측정 오차가 발생한다는 단점이 있다. 이에 비해 줄무늬 방법은 측정 정밀도는 다소 떨어지나, 측정 시스템이 매우 간단하고 넓은 면적을 한 번에 측정할 수 있는 장점이 있다[4-6].

줄무늬 방식에서도 시료에 따라 측정 방법이 달라진다. 즉 시료 표면이 거울과 같은 (specular) 경우에는 시료 표면에 줄무늬 문양을 만들 수 없다. 이러한 경우에는 시료표면을 통해 본 줄무늬의 변형을 이용하여 표면의 3차원 측정을 하게 되는데 이를 편향법(deflectomery)이라 한다[7-12]. 줄무늬 이용 3차원 측정 방법은 매우 많은 연구가 진행되어왔다. 그 중에서도 현재 실시간 측정을 위해 한 장의 이미지를 이용한 3차원 측정 연구가 많이 진행되고 있다. 한 장의 측정 이미지를 이용한 방법 중 대표적인 것이 Fourier 변환법과 Hilbert 변환법이다[13-16]. Fourier 변환법은 줄무늬 이미지에 푸리에 변환을 적용하고 원하는 반송파 위상을 얻기 위해 대역 통과 필터를 적용하여 원하는 위상을 추출한다. 단일 패턴 Fourier 변환법은 위상을 추출하는데는 유용하지만 다음과 같은 주요 제한 사항이 있다. 1) 잡음에 민감하고, 2) 구조의 변화가 심한 물체의 표면을 정확하게 측정하기 어렵다. Fourier 변환법은 측정 영역 내의 줄무늬의 콘트라스가 일정해야 하고, 조명의 밝기의 불균등과 같은 배경잡음이 없어야 정확한 측정이 가능하다. Hilbert 변환법은 위상을 추출하기 위해 대역 통과 필터를 사용하지 않는 장점이 있으나, 정확한 위상 측정을 위해 Fourier 변환법과 같이 측정영역 내 배경잡음이 없고, 줄무늬 콘트라스트가 일정해야 한다. 배경잡음과 줄무늬 콘트라스트 일정 조건을 만족 시키기 위해 Hilbert-Huwang 변환법이 많이 사용되나, 저주파대의 배경 잡음을 제거하는 것은 어렵다. 실제 프린지 투영 시스템의 경우 Hilbert-Huang 알고리즘의 경험적 모드 분해를 기반으로 투영 광원의 불균일에 의해 발생하는 불균일한 배경 세기를 완전히 제거할 수 없으며, 이로 인해 추가 오류가 발생하고 위상 세부 정보가 손실될 수 있다[17-19].

Hilbert 변환 법을 이용해 얻은 이미지와 원래 측정 이미지만을 이용하여, 배경잡음을 제거하지 않고 위상을 추출하기 위해 Lissajous-Ellipse 피팅 방법이 제시되었다. 이 방법은 원래 측정 이미지와 Hilbert 변환 이미지 사이에 위상차가 π/2 라는 것을 이용하여, 타원방정식을 이용하여 위상을 추출하는 방식이다[20-22].

본 연구에서는 specular 표면을 가지는 광학 제품의 3차원 측정을 위해 투과형 편향법을 사용하고, 위상을 추출하기 위해 Lissajous-타원방정식 피팅 방법을 이용하는 측정 방법을 연구하였다.

1. 편향법과 Hilbert 변환

기본적인 투과형 편향법 측정 모델은 Fig. 1과 같다. 모니터에 구현된 기본 문양을 시료를 통해 카메라를 이용하여 변형된 줄무늬를 측정하고, 기준 문양과 비교하여 위상을 추출하여 3차원 측정을 한다.

Figure 1. Schematic diagram of transmission deflectometry.

광학 부품이 측정 광경로상에 위치한 경우 카메라에 형성되는 이미지는 Eq. (1)과 같다.

I(x,y)=A(x,y)+B(x,y)cos2πxλ+ϕ(x,y)

Equation (1) 줄무늬가 x축 방향으로 형성된 경우로, A(x,y)B(x,y)는 각각 배경세기 항과 줄무늬의 명암비이고, λ는 줄무늬의 주기, ϕ(x,y)는 시료에 의한 변형 위상이다. 시료의 면이 평면인 경우 ϕ(x,y)=0이다. ϕ(x,y)는 편향법 이론에 의해 Eq. (2)와 같이 주어진다.

ϕ(x,y)=2πlλdx

Equation (2)에서 l은 시료-스크린 간의 거리, d는 시료에 의한 광경로 차다. 그러므로 편향법에서는 광경로차 기울기가 위상으로 표현되고, 이 값을 추출하는 것이 3차원 측정의 목적이다.

Hilbert 변환은 Eq. (3)과 같다.

HT(g(t))=1π g(t)tτ dτ

Hilbert 변환은 위상을 δ만큼 이동하고 진폭을 변경하지 않고 DC 성분을 필터링하는 것과 같다. Equation (1)을 Hilbert 변환을 하면 Eq. (4)와 같다.

Ih(x,y)=HT(I(x,y))=Ah(x,y)+Bh(x,y)cos[2πxλ+ϕ(x,y)+δ]

Equation (4)에서 δ는 원래의 줄무늬 문양과 힐베르트 변환된 줄무늬 문양 사이의 위상 편이 값을 나타낸다. Ah(x,y),Bh(x,y)는 각각 힐베르트 변환된 줄무늬 문양의 배경 세기와 줄무늬 문양의 명암비이며, Ah(x,y)A(x,y)는 다를 수 있다.

Hilbert–Huang 알고리즘 역시 1장의 측정 이미지 영상을 이용하여 위상을 추출하는 방법이다. 일반적으로 Hilbert–Huang 알고리즘에서는 emprical 모드 분해 알고리즘을 통해 배경 잡음을 제거한 후, Hibert 변환을 통해 위상을 추출한다. 그러나 줄무늬 방법에서는 줄무늬를 조사하는 빛의 불균일성에 의해 배경 잡음이 생기고, 이는 emprical 모드 분해 알고리즘을 이용해서 제거하기 어렵고, Hilbert–Huang 방법으로 제거하고 남은 배경 잡음이 추출한 위상의 정확도를 저해한다.

2. Lissajous Ellipse 피팅

Lissajous Ellipse 피팅은 측정한 영상(I(x,y))과 Hilbert 변환한 영상(Ih(x,y))을 이용하여 Lissajous 도형을 만들고, Lissajous 도형을 타원 방정식과 비교하여 위상을 추출하는 방법이다. 수식을 간단하기 위하여 측정된 영상과 Hilbert 변환한 영상을 Eq. (5)와 같이 표현한다.

I=A+Bcos(ϕ)Ih=Ah+Bhcos(ϕ+δ)=Ah+Bhcos(ϕ)cos(δ)Bhsin(ϕ)sin(δ)

Equation (5)는 Eq. (6)과 같이 쓸 수 있다.

cos(ϕ)=IAB,sin(ϕ)=AhBhsin(δ)Acos(δ)Bsin(δ)+cos(δ)IBsin(δ)IhBhsin(δ)

그리고 삼각함수 법칙에 따라 Eq. (6)을 Eq. (7)과 같이 쓸 수 있다.

cos2(ϕ)+sin2(ϕ)=IAB2+AhBhsin(δ)Acos(δ)Bsin(δ)+cos(δ)IBsin(δ)IhBhsin(δ)2=1

Equation (7)은 Eq. (8)과 같이 타원 방정식으로 표현할 수 있다.

Ix0cos(θ)+Ihy0sin(θ)2(ax)2+Ihy0cos(θ)Ix0sin(θ)2(ay)2=1

ax,ay는 타원의 장축과 단축의 반지름이고, θ는 타원의 장축과 x축 사이의 각도이며, x0,y0는 (0,0) 좌표와 타원의 중심 간의 거리이다. 타원의 기울어진 각도 θ와 위상 ϕ는 Eq. (9)와 같다.

sin(ϕ)=Ix0cos(θ)+Ihy0sin(θ)(ax)cos(ϕ)=Ihy0cos(θ)Ix0sin(θ)(ay)

Equation (9)를 이용하여 위상 ϕ는 Eq. (10)과 같이 구할 수 있다.

ϕ=tan1ayaxIx0cos(θ)+Ihy0sin(θ)Ihy0cos(θ)Ix0sin(θ)

그러므로 측정된 영상과 Hilbert 변환된 영상을 이용하여 Lissajous 도형을 구성하고, 구성된 도형을 타원체 방정식과 비교하여, ax, ay, x0, y0, θ를 구하면 위상을 구할 수 있다. 추출된 ϕ(x,y)π<ϕ(x,y)π인 wrapped 위상으로 실제 위상은 위상펼침을 통해 얻을 수 있다[23,24]. 위상펼침으로 얻은 위상과 Eq. (2)를 사용하여 시료의 국소 기울기를 얻을 수 있다. 시료의 국소 기울기 데이터를 이용하여 Eq. (11)과 같이 최소 자승법을 이용하여 시료의 3차원 형상을 얻을 수 있다.

dxij=h i+1,jh ij/h ;i=1,2,.... N1,  j=1,2,...... Ndyij=h i,j+1h ij/h ;i=1,2,.... N,  j=1,2,..... N1

Equation (11)에서 dxij,dyij는 위치 (i,j)에서의 기울기, h는 데이터간의 거리, N은 데이터 수이고, hij는 시료의 높이이다.

3. 전산기 시늉

Figure 2와 3은 Hilbert 변환과 Lissajous 피팅을 이용한 3차원 측정 전산기 시늉 결과이다. 시료는 비구면 렌즈를 가정하였다. 배경 잡음은 A(x,y)=0.2+0.5×exp(0.1×(x2+y2)) 로 하였다.

Figure 2. Simulation result. (a) (b) 3-dimensional gray level of sample and profile of dotted line, (c) (d) fringe pattern of reference plane and sample, (e) (f) Lissajous diagram of reference fringe pattern and deformed fringe pattern.

Figure 2(a)는 사용한 시료의 3차원 그레이레벨 영상이다. 영상의 크기는 512 × 512 픽셀이다. Figure 2(b)는 (a)의 점선의 높이 프로파일 데이터이다. Figure 2(c), (d)는 평평한 기준면과 시료에 대한 줄무늬 데이터이다. Figure 2(d)에서 시료의 3차원 구조에 의해 줄무늬가 변형되었음을 알 수 있다.

Lissajous ellipse Fitting을 위해 Fig. 2(c), (d) 데이터를 이용하여 Matlab의 Hilbert 변환 함수를 이용하여 Hilbert변환을 하고, 원래 데이터와 Hilbert 변환된 함수를 이용하여 Lissajous 도형을 구성하였고, 그 결과는 Fig. 2(e), (f)와 같다. Figure 2(e)는 기준면에 대한 Lissajous 도형이고, (f)는 비구면 렌즈에 대한 Lissajous 도형이다. Figure 2(e), (f)를 이용하여 타원 방정식 피팅을 한 후 Eq. (10)을 이용하면 시료의 3차원 위상데이터를 얻을 수 있다. Figure 2(e)로부터 얻은 ax, ay, x0, y0, θ는 각각 1.0, 1.0, 2.0, 0.0, 0.0 라디안이고, Fig. 2(f)로부터 얻은 ax, ay, x0, y0, θ는 1.0, 1.0. 2.0, 0.0, 0.0 라디안이다. 추출된 ax, ay, x0, y0, θ 값과 줄무늬 데이터들을 이용하여 얻은 위상값은 Fig. 3과 같다. Figure 3(a), (b) 각각은 Eq. (10)을 이용하여 얻은 기준면과 시료에 대한 위상이다. 이 위상 값들은 ϕ(x,y)π<ϕ(x,y)π인 wrapped 위상으로 실제 위상은 위상펼침을 통해 얻을 수 있다. 위상 펼침은 Goldstein Unwrap 알고리즘을 이용하였다. 기준면과 시료에 대한 실제 위상을 구하고, 변화 정도는 시료에 대한 실제 위상 값과 기준면의 실제 위상값의 차이로부터 얻을 수 있으며, 그 값은 Fig. 3(c)와 같다. Figure 3(c)가 시료의 3차원 형상 회색조 영상이다. Figure 3(d)는 (c)의 점선의 높이 프로파일 데이터로, 시료의 높이 정보 (Fig. 2 (b))와 비교하면 측정이 매우 잘 되었음을 알 수 있다.

Figure 3. (a) (b) Wrapped phase of reference plane and sample, (c) (d) 3-dimensional gray level of sample and profile.

투과형 편향법 실험 장치는 Fig. 1과 같이 구성하였다. 스크린은 타라 LCD (TRL-140WTH) 모니터를 사용하였고, 사용한 줄무늬의 주기는 5.5 mm 이다. 시료는 BK-7 재질의 평면-볼록렌즈 (초점 거리 = 250 mm, 곡률반경 = 129.21 mm, 지름 = 50 mm) 사용하였다. Figure 4(a)는 LCD 스크린에 표시된 주기 5.5 mm 인 줄무늬 문양을 렌즈를 통해 측정한 왜곡 영상이다. 데이터 분석은 Fig. 4(a)의 점선 사각형 부분을 사용하였다. Figure 4(b)는 기준면, 즉 평평한 유리를 통해 측정한 줄무늬 데이터이고, (c)는 (a)의 점선 부분을 확대한 것이다.

Figure 4. Transmission deflectometry experiment result and Lissajous diagram. (b) (c) reference fringe pattern and deformed fringe pattern by sample, (d) (f) Lissajous diagram of reference fringe pattern and deformed fringe pattern.

Lissajous 피팅 방법을 사용하기 위해, Matlab의 Hilbert 변환을 이용하여 Fig. 4(b), (c)의 Hilbert 변환 값을 얻었다. 원래 데이터 (Fig. 4 (b), (c))를 x-축, Hilbert 변환된 값을 y-축으로 하여 Lissajous 도형을 구성하였고, 그 결과는 Fig. 4(d), (e)와 같다. Figure 4(d), (e) Lissajous 도형은 모든 데이터를 표시한 것이 아니고, Fig. 4(b), (c)의 점선 부분 픽셀들의 데이터를 나타낸 것이다. Lissajous 도형을 타원체 방정식을 이용하여 피팅 하면 Eq. (8)의 ax, ay, x0, y0, θ를 구할 수 있다. 기준면의 Lissajous 도형을 타원체 방정식을 이용하여 얻은 ax, ay, x0, y0, θ은 각각 78.75, 80.11, 102.8, 0.0, 0.0 라디안이고, 시료에 대한 값은 120.44, 140.16, 140.13, 0.99, 0.0 라디안이다. Figure 4(d), (e)의 Lissajous 도형과 추출된 ax, ay, x0, y0, θ 값과 Eq. (8)-(10)을 이용하여 위상을 얻을 수 있다. 계산된 위상은 Lissajous 도형을 구성할 때 사용된 데이터에 한하여 구할 수 있다. 즉 Fig. 4(d), (e)를 이용하여 구한 위상 데이터는 Fig. 4(b), (c) 점선 부분의 위상이다. 그러므로 측정된 데이터의 위상을 모두 얻기 위해서는 위의 작업을 반복 수행하여야 한다.

Lissajous 도형과 타운 방정식 피팅 법으로 얻은 위상 데이터는 Fig. 5(a), (b) 와 같다. 이 위상값은 wrapped 위상으로 실제 위상은 위상펼침을 해야 얻을 수 있다. 본 연구에서는 Goldstein 위상펼침 알고리즘을 이용하였다. 기준면과 시료의 위상차를 이용하여 시료에 의한 위상 변화를 얻을 수 있고, 그 결과는 Fig. 5(c)이다. Figure 5(c)로부터 Eq. (2)와 같이 시료 각 위치에서의 기울기를 Fig. 5(d)와 같이 얻을 수 있다. Figure 5(d)는 Fig. 5(c) 점선 부분의 프로파일이다. Figure 5(d)에서 기울기 값이 하나의 직선과 같이 주어지는데, 이는 사용한 렌즈가 하나의 곡률반경으로 주어진 구면렌즈이기 때문이다. Figure 5(d) 기울기 값과 Eq. (11)의 least square 방법을 이용하여 시료의 실제 높이를 Fig. 5(e)같이 구할 수 있다. Figure 5(e) 시료 높이를 회색조 값으로 표현한 것이고, Fig. 5(f)는 시료의 높이 정보로 Fig. 5(e)의 점선 부분의 프로파일이다. Figure 5(e), (f)로부터 구면렌즈 모양이 매우 잘 측정 되었음을 알 수 있다. Figure 5(e), (f) 데이터를 이용하면 렌즈의 곡률반경을 구할 수 있다. 곡률반경은 R=(1+(dy/dx)2)3/2/(d2y/dx2) 로부터 얻을 수 있다. x, y는 각각 데이터 간의 거리와 높이이다. 측정된 렌즈의 곡률반경은 128.8 ± 2.6 mm였고, 이 값은 렌즈의 곡률반경 값, R = 129.21 mm와 비교하여 매우 잘 측정되었음을 알 수 있다.

Figure 5. Wrapped and unwrapped phase and profiles of plan-convex lens. (a) (b) wrapped phase of reference and sample, (c) unwrapped phase of (b), (d) profile of dotted line in (c), (e) 3-dimensional gray level of sample, (f) profile of dotted line in (e).

Specular 한 표면을 갖는 광학 기기의 3차원 측정은 매우 중요하다. 광학 기기의 3차원 측정을 위하여 간섭법이 많이 사용된다. 간섭법은 측정 정밀도는 매우 우수하나, 고가이고 외부 환경에 매우 민감하며, 측정영역이 일반적으로 작은 단점이 있다. 시료에 줄무늬를 투영하여 줄무늬 변화를 측정하여 3차원 측정을 할 수 있는 간단한 방법이 있으나, 표면이 매우 매끄러운 광학 기기 표면에는 줄무늬를 형성할 수 없어 사용할 수 없다. 그러나 시료를 통해 측정된 줄무늬의 변화로 시료의 기울기를 측정하고, 이로부터 시료의 3차원 측정이 가능한 편향법이 많이 연구되고 있다. 그리고 측정 시간을 단축하기 위해 한 장의 영상 데이터만 이용하여 3차원 측정이 가능한 방법들이 제시되고 있다. 한 장의 데이터만 이용하기 위해서는 완벽한 배경잡음 제거가 요구된다. 본 연구에서는 한 장의 측정 데이터와 Hilbert 변환된 데이터를 이용하여 Lissajous 도형을 구성하고, 타원 방정식을 이용하여 위상을 추출하는 방법을 연구하였다. 이 방법은 배경잡음의 유무와는 관계없다. 실험 결과 Lissajous 도형과 타원 방정식을 이용하는 방법이 편향법에서 매우 유용하게 사용될 수 있고, 측정 데이터의 정확도도 믿을 수 있음을 실험과 전산기 시늉을 통해 확인하였다.

이 논문은 2022학년도 제주대학교 교원성과지원사업에 의하여 연구되었습니다.

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