npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2022; 72: 923-929

Published online December 31, 2022 https://doi.org/10.3938/NPSM.72.923

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

A Study on the Phase Difference of Electrical Circuits from the Perspective of Two-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillation

Se-Hun Kim*

Faculty of Science Education, Jeju National University, Jeju 63243, Korea

Correspondence to:*E-mail: spinjj@jejunu.ac.kr

Received: September 28, 2022; Revised: October 24, 2022; Accepted: November 2, 2022

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

We studied the effect of voltage drop and phase delay caused by passive elements, such as resistors, inductors, and capacitances, after the application of an external driving voltage to an RLC electric circuit. A two-dimensional isotropic harmonic oscillator of mechanics was analyzed to investigate the effect of delay on the magnitude and phase of the system voltage compared with the external driving force. The phase difference showed dependence on the driving frequency. The angle ψ between the major axis of the ellipse and the x-axis in the two-dimensional XY plane graph was obtained. We investigated the Lissajar patterns in the oscilloscope. In addition, it can be divided into linear, circular, and elliptical polarizations based on the frequency, phase, and amplitude from the viewpoint of light polarization. The Jones matrix was investigated by the corresponding harmonic oscillator analysis of mechanics and Jones vector in the polarization of light.

Keywords: 2D isotropic harmonic oscillation, LCR electric circuit, Elliptical polarization, Jones vector, Intercurricular

우리는 전기회로에 외부 구동 전압을 가한 후 저항, 인덕터, 전기용량의 수동소자에 의한 전압 강하와 위상지연 효과에 관하여 연구하였다. 외부구동력과 비교하여 계의 전압의 크기와 위상의 지연 효과를 알아보기 위하여 역학의 2차원 등방성 조화진동자를 도입하여 해석하였다. 구동주파수에 따라 위상차가 나타났으며 2차원 XY 평면 그래프에서 타원의 장축과 x축이 이루는 각도 ψ를 구하였으며 리사주 그래프 패턴을 조사하였다. 이와 더불어 빛의 편광에서 주파수, 위상, 진폭에 따라 선편광, 원편광, 타원편광으로 구분할 수 있다. 따라서 역학의 조화진동자 해석과 빛의 편광에서 도입된 Jones 벡터와 대응시켜 Jones 행렬과 연관성 여부를 조사하였다.

Keywords: 2차원 등방성 조화진동, LCR 전기회로, 타원편광, 존스벡터, 교과간

앞으로 미래교육은 디지털, 메타버스, 인공지능의 패러다임 시대에 시시각각 변하는 여러가지 환경에 적극적으로 대응할 수 있는 방향 전환의 적응력과 창의력을 배양할 수 있는 교육이 필요하다. 정보와 과학교육의 융합이 필요하며 과학실험과 탐구활동에 적절히 활용할 수 있는 교수학습이 요구된다[1-3]. 2015 개정 과학 교육과정에서 교수학습 방향을 살펴보면 ‘과학적 문제해결력’, ‘과학적 탐구능력’, ‘과학적 사고력’ 등과 같은 과학적 핵심역량을 균형있게 기를 수 있도록 지도한다고 기술되어 있다[4-7]. 다음의 세 개 교과목을 예를들어 역학, 전자기학, 광학의 교과 내용의 공통성과 유사성을 통찰해 봄으로써 사고의 세계를 연결하고 확장함으로서 인지 능력 배양과 종합적 사고 능력의 향상을 도모할 수 있을 것이다. 대학의 물리학 교육에서 역학의 용수철 조화 진동 운동, 전자기학의 교류 RLC 전기회로 진동, 전자기파로서 빛의 편광 등 대학의 물리학 교과간 내용 요소의 중첩되는 개념을 공유함으로서 상호 이해력을 증진하는 방안을 모색하고자 한다[8-16]. 학생들이 교과수업을 배우는 과정동안 역학, 전자기학, 광학 진동계의 단원에서 각 주제의 유사성과 연관성에 대한 종합적 사고력을 배양하게 된다면 물리개념에 대하여 이해를 쉽게 할 수 있을 것이다. 다음은 대학 물리학 교과과정 중 역학, 전자기학, 광학 교과목의 진동에 대한 공통된 개념에 대하여 정리하였다.

1. 용수철 힘에 의하여 조화운동하는 나무도막과 천정의 줄에 매달려 진동하는 추의 조화운동은 마찰 성분에 의하여 미급감쇠하게 된다. 진동계에서 마찰력에 의한 저항 성분이 있거나 열에너지 형태로 손실 형태로 점점 감쇠 조화운동을 하게 된다. 외부구동력 F(ω)=F0cos(ωt)를 계에 가하게 함으로써 계의 고유진동수와 외부 구동주파수가 일치될 때 공명 현상을 이해할 수 있다. 2차원 용수철의 운동계에서 입자의 운동은 XY 좌표계에서 직선운동, 원운동, 타원 운동으로 구분될 수 있다[8,12,14-16].

2. 전기저항, 인덕턴스, 전기용량 소자로 구성된 RLC 교류회로에서 각 소자의 저항에 의한 전압강하가 생기며 전체 회로의 공급전압과 소자에 의한 강하된 전압의 비를 오실로스코프 XY 그래프로 관측하게 되면 각각 측정된 전압과 위상차에 의하여 직선, 원, 타원으로 볼 수 있게 된다[11-13,17].

3. 전자기파 또는 빛의 진행방향에 대하여 수직으로 진동하는 횡파로서 매질을 통과하게 되면 선편광, 원편광, 타원편광으로 구분되어 진행하게 된다. 이러한 빛의 편광상태 또는 편광 특성을 평가하기 위하여 Jones vector 또는 Jones matrix를 사용한다. 이것은 전기회로의 각각 RLC 소자들을 편광기 또는 편광물질의 개념으로 이해할 수 있는 다른 각도 관점으로 볼 수 있는 안목도 배양할 수 있다[9,10].

본 연구에서는 2차원 용수철 진동계에 대한 역학적 해석과 이를 RLC 전기회로 실험에서 오실로스코프로 XY 그래프로 관측한 후 리사주 곡선이 나타나는 패턴이 어떻게 광학 교과목의 편광 개념으로 해석되는지 관련 연관성을 함께 조사하였다. 여기서 핵심개념에 대하여 교과간 중첩되는 내용 요소를 찾아보고 이론과 실험을 결합하여 교과 교육과정의 공통된 개념에 대하여 상호 관련성을 찾아보고자 하였다.

1. 2차원공간에서 조화진동자의 운동 : 역학적해석

2차원 좌표계에서 원점을 향하여 복원력을 가지는 입자의 운동을 생각해 보자 (Fig. 1). 질량 m의 입자가 용수철 상수 k에 속박되어 힘 F=kx의 함수로 운동한다. 이것은 수학 미분방정식

Figure 1. (Color online) Harmonic oscillation model by two-dimensional isotropic spring force.
md2rdt2=kr

으로 표현될 수 있다. 단일 평면에서 운동하는 입자의 경우, Eq. (1)의 미분방정식의 일반해는 x,y 두 개의 독립 변수 성분으로 동등한 방정식으로 다음과 나타낼 수 있다.

mx¨=kx,my¨=ky

Equation (2)를 풀면 일반해는 다음과 같이 각각 놓을 수 있다.

x=Acos(ωt+α),y=Bcos(ωt+β)

x축과 y축의 용수철 상수는 등방적으로 같으며, 각진동수 ω=(k/m)1/2이 된다.

시간 t를 소거하기 위하여 위상상수 β=α+Δ로 치환한 후 코사인 제2법칙을 적용하면 다음과 같다.

y=B[cos(ωt+α)cosΔsin(ωt+α)sinΔ]

Equation (3)과 (4)를 시간 t의 매개변수로 결합하여 시간을 소거하게 되면 입자의 운동궤적에 대하여 다음의 방정식으로 표현할 수 있다.

yB=xAcosΔ1x2A2sinΔ x2A2xycosΔAB+y2B2=(sinΔ)2

이때, x축과 y축의 용수철 상수는 등방적으로 같으며 각진동수는 ω=k/m 이 된다.

위상차가 Δ=π/2이 되면 Eq. (6)은 장축과 단축이 좌표계 x, y 축과 일치되는 타원의 함수(방정식)가 된다.

x2A2+y2B2=1 (, AB)

위상차가 Δ=0 또는 π 가 되면 입자의 운동 경로방정식은 직선으로 된다.

y=±BAx

일반적인 경우, 입자의 운동은 타원 궤도의 장축이 좌표계의 x축과 기울어진 각도 ψ로 다음과 같인 표현된다[8,14,15].

tan2ψ=2ABcosΔA2B2

2. 빛의 편광 (직선, 원, 타원) 현상과 Jones 벡터의 이해 : 광학적 해석

빛은 진행하는 방향에 수직으로 진동하는 평면 조화파이다. 빛의 편광 특성은 다음의 Table 1과 같이 크게 세 가지로 분류되며 Jones vector로 표시될 수 있다.

Table 1 Representation of plane harmonic waves and Jones vectors that depend on the polarization state of light.

Polarization typePlane harmonic wavesJones vector
Linear polarizationE= E 0e(krωt)
H= H 0e(krωt)
10 01
Circular polarizationE=E0[i^cos(kzωt)+j^sin(kzωt)]\ \quad=E0[i^ei(kzωt)+j^ei(kzωt±π/2)]\ \quad=E0(i^±ij^)[ei(kzωt)] & 1i 1i
Elliptical polarizationE=i^E0cos(kzωt)+j^ E0sin(kzωt)2i 12i
AeiδpBeiδs or eiδpABeiΔ (phase difference, Δ=δpδs) (10)


δpδs는 TM 과 TE 편광에서의 위상이며 그들의 차이, 위상차는 Δ=δpδs 이다.

Equation (10)과 같이 기술되는 Jones vector는 일반적으로 타원 편광을 나타내며 좌표계의 x축과 이루는 각도 ψ (Fig. 2)는 다음과 같다[9,10].

Figure 2. (Color online) In a two-dimensional isotropic oscillator, the angle ψ between the long axis of the ellipse and the x-axis of the coordinate system.
ψ=12tan12ABcosΔA2B2

Figure 3과 같이 전기소자 저항, 인덕터, 정전용량을 직렬로 연결하여 RLC로 구성된 전기회로에 교류 사인파 열을 공급할 수 있는 함수발생기를 연결한다. 각각의 전기소자 저항 R=100Ω, 축전기 C = 10 nF, 인덕터 L = 1000 mH 를 직렬로 블레드보드에 연결한 후, 디지털 함수발생기 (Protek 9320)를 사용하여 사인파형(sinusoidal wave) 열 교류전원을 발생시켰다. 함수발생기의 교류 전압은 2 Volt (peak to peak) 이며, 주파수는 10 kH–1 MHz 영역에서 연속된 사인파 열을 공급하였다. 함수발생기와 RLC 회로의 전압신호를 관측하기 위하여 프로브 전압 센서를 함수발생기와 오실로스코프 (HP 54600B)의 CH1 단자에 연결하고 RLC 회로의 전압신호는 CH2에 연결하여 관측하였다. 이때 오실로스코프의 샘플링 속도는 100 MHz 이며 모니터의 전압 해상도는 Volts/div = 500 mV/ 1/V 범위로 설정하여 시간에 따라 변하는 사인파 형의 진폭, 주기, 위상 등을 분석하였다. 리사주 곡선 분석을 위하여 오실로스코프의 CH1은 x축으로 설정하고 CH2은 Y축으로 설정하였다.

Figure 3. (Color online) (a) Experimental RLC series circuit and (b) Schematic diagram for the RLC circuit experiment.

Figure 4(a)은 함수발생기의 주파수 f = 10 kHz 에서 입력전압신호의 사인파형을 보여준다. 그리고 RLC 회로에서 전압강하 및 위상차이에 대한 출력전압신호를 각각 비교하였다. 오실로스코프의 시간해상도는 Time/div = 20 μs/ 으로 설정하고 입력신호, 출력신호의 관측된 파형 주기가 약 100 μs가 됨을 알 수 있다. 그리고 두 사인파형의 위상차는 약 -5.2 μs (Δ=αβ -0.326 rad) 정도 발생하였으며 함수발생기의 CH1 입력전압이 RLC 전압 위상이 CH2 출력전압 위상보다 앞서고 있다는 것을 보여준다. 주파수 10 kHz 에서 시간에 따른 전압의 파형을 보면 입력신호가 출력신호보다 앞서고 있음을 보여준다. 이것은 RLC 전기회로에서 전압강하에 의한 출력전압의 위상지연 발생이 임피던스 용량(L)리액턴스가 유도(C)리액턴스보다 더 우세하다는 것을 의미한다[12,13]. Figure 4(b) 입력신호의 주파수 f = 110 kHz에서 입력전압 대비 출력신호의 사인파형을 각각 비교하였다. 오실로스코프의 시간해상도는 Time/div = 5 μs으로서 관측된 파형의 입력신호, 출력신호 주기가 함수발생기의 주파수와 같이 약 9.09 μs가 됨을 알 수 있다.

Figure 4. (Color online) Sinusoidal wave trains of input and output signal, Lissajous curves, and oscilloscope measurements under the frequency dependence in the RLC circuit.

그리고 두 사인파형의 위상차는 약 0.47 μs (Δ=αβ 0.32484 rad) 정도 발생하였으며 함수발생기의 RLC 전압의 출력신호 CH2 전압이 함수발생기의 입력신호 CH1보다 더 앞서고 있다는 것을 보여준다. 마찬가지로 입력신호와 비교할 때 출력전압의 위상차를 고려해 볼때 RLC 전기회로에서 임피던스 용량(C)리액턴스가 유도(L)리액턴스보다 더 우세하다는 것을 의미한다[12,13].

주파수 930 kHz의 경우는 주기가 1.0752 μs 정도이며 관측된 입력신호가 출력신호가 앞서고 있으며 위상차(Δ=αβ)는 약 -0.1225 μs 이며 라디안으로 환산하면 0.71585 rad가 된다. 이미 서술한 고주파 930 kHz 주파수에서 RLC에 의한 전압강하가 Table 2의 (a)와 (b)의 저주파 특성보다 크게 발생하여 출력신호의 크기가 두드러지게 작게 되어 단축 반경의 크기기 1.34376 volt가 되었다. 여기서 입력신호가 출력신호 보다 앞선다는 것은 임피던스의 주파수 의존성이 용량리액턴스 보다 유도리액턴스 성분이 우세하다는 것을 의미한다.

Table 2 RLC experimental results are expressed as Jones vector and Jones matrix of elliptical polarization in optics.

FrequencyPhase difference, amplitude of major axis and minor axis, angle between x axis and major axisJones matrixJones vector
(a) 10kHzΔ=0.3267 (rad)
A=1.8437
B=1.6406
ψ = 41.4790 (deg)
100e0.3267i1.84371.55380.5265i
Left-handed circulation
(b) 110kHzΔ=0.3248 (rad)
A = 1.7812
B = 1.6562
ψ = 42.9564 (deg)
100e+0.3248i1.78121.5696+0.5285i
Right-handed circulation
(c) 930kHzΔ=0.7158 (rad)
A = 1.75
B = 1.34376
ψ = 35.2488 (deg)
100e0.7158i1.751.01390.8818i
Left-handed circulation


Figure 4 에서 입력신호 CH1, 출력신호 CH2를 오실로스코프의 XY 모드에서 관측하였을 경우 리사주 패턴을 보여주고 있다. 이미 전술한 바와 같이 입력신호에 비하여 출력신호가 뒤처져 있으므로 반시계 방향으로 회전하는 타원궤도를 나타낸다. 반면 Fig. 4(b)의 경우에서는 타원궤도가 시계 방향하고 있음을 보여준다.

RLC 소자의 전압 강하에 의하여 입력신호 대비 출력신호의 위상차가 0일 경우에 직선의 형태를 보여준다. 일반적으로 입력신호와 출력신호의 전압 진폭 크기가 다르고 서로의 위상차가 0 이 아닐 때 리사주 패턴은 타원을 보여준다. 앞서 말한 바와 같이 타원편광을 표현하는 Eq. (11) 에서 타원의 장축이 x축과 이루는 각도 ψ를 구할 수 있으며 Jones 벡터도 구할 수 있다 (Table 2)[9,10].

광학에서 빛이 매질의 경계면에서 완전 반사하는 경우를 생각해 보자.

선편광된 빛이 매질1에서 입사되어 매질2로의 (완전) 반사될 때 다음의 Jones 행렬을 구성할 수 있다. δpδs는 TM과 TE 모드에서 위상을 가리킨다.

AB=eiδp00eiδsAB=eiδp100ei(δpδs)AB=eδp100eiΔAB

즉 다음과 같이 완전반사의 경우 입사파가 선편광일 때 반사파는 타원편광되어 나오게 된다.

AB=eiδpABeiΔ

Table 2에 Jones 행렬과 반사의 Jones 벡터를 정리되어 보여준다. 입력 신호 주파수 (a) 10 kHz 와 (c) 930 kHz 일 경우, 출력 신호의 Jones 벡터는 좌편광 됨을 알 수 있다. 반면 입력 신호 주파수 (b) 110 kHz 일 경우, 출력 신호의 Jones 벡터는 우편광 되어 나타났다 (Fig. 5).

Figure 5. Elliptical polarization of the output signal after the linearly incident electrical signal passes through the RLC medium.

따라서, 전기회로에서 교류전원의 입력신호 대비 출력신호가 RLC 위상지연 효과에 의하여 좌편광 또는 우편광으로 대응되어 표현되는 것을 알 수 있다. 이것은 서로 다른 교과목들에서 교과간 교수 학습 활동에 적용함으로써 학생들이 이해할 것으로 여겨진다.

역학의 2차원 등방성 조화진동계에서 용수철 힘에 의하여 운동하는 입자의 운동이 XY 좌표계로 기술될 때 위상차에 의하여 직선, 원, 타원궤도로 표현될 수 있다. 본 연구에서는 RLC 전기회로 실험을 통하여 오실로스코프에서 리사주 곡선으로 관측하였다. XY 리사주 곡선은 입력신호 대비 출력신호의 RLC 전압 강하 및 위상 지연이 타원으로 나타났으며 이것은 광학 교과목 단원의 ‘편광’ 개념을 도입하여 해석하였다. 광학적 해석 방법으로 매질에서 선형 입사된 빛에 대하여 완전반사가 이루어질 경우 반사파가 타원편광으로 나타나게 되며 존스벡터와 매질의 특성을 존스 행렬로 나타낼 수 있음을 보였다. 이로써 역학, 전자기학, 광학의 교과간 학습에서 공통의 진동계 주제에 대한 물리학 핵심개념을 상호 연결하여 실험 해석할 수 있음을 보여주었다. 각 교과 및 단원에서 중첩된 물리 개념을 찾아 비교함으로서 종합적 사고를 배양하며 교과간 내용 요소들이 공유하고 있는 개념들을 융합적 관점에서 응용하는 교수학습도 필요하다고 본다[18-20]. 이것은 서로 다른 교과목들에서 공통된 개념 요소들을 통합 정리하여 과학교육 현장의 학생들에게 비교하고 설명함으로써 종합적 사고의 전이가 잘 이루어지는 교수 학습으로 적용될 수 있다. 본 연구의 결과를 바탕으로 과학교육 분야에서 어떻게 활용될 수 있는지는 교과목별, 교육과정별, 단원별 및 출판사별로 공통으로 사용된 주제 또는 개념들을 비교 조사해 본다[21]. 그리고 중첩되어 사용된 개념들을 교과간 유형별로 분석하고 정리함으로써 통합적인 관점에서 적용할 수 있으리라 본다.

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