일상생활에서 여러 가지 유형의 진동을 쉽게 볼 수 있다. 진동(oscillation)이란 일반적으로 물체가 같은 위치에 같은 시간 간격으로 되돌아오는 운동으로 물리학에서는 주기운동(periodic motion) 또는 조화운동(harmonic motion)이라 한다. 이러한 주기운동을 기본적으로 이해하기 위하여 물리교육에서는 용수철의 한 끝에 매달린 물체의 진동인 단진동자(simple harmonic oscillator)나 가볍고 가는 끈의 한 끝에 매달린 물체의 진동인 단진자(simple pendulum)의 단순한 주기운동을 다룬다. 그리고 이를 토대로 현, 공기, 전류 등의 진동과 같은 거시적인 주기운동과 분자, 원자, 전자 등의 진동인 미시적인 주기운동을 이해하게 한다. 또한, 진동 상태가 공간으로 퍼져 나가는 파동을 이해하는데 기초가 된다.

우리나라의 물리교육에서 단진동자와 단진자에 대한 내용은 고등학교에서는 선택중심교육과정의 교과 물리학 II에서 다루어지고[1], 대학에서는 이공계 학생들을 위한 기초교양과정인 일반물리학 교과에서 다루어지고 있다. 이들 교과에서 단진동자나 단진자의 주기운동에 대한 이해는 이들의 주기운동을 진폭, 주기, 진동수 등의 진동의 특성을 나타내는 상수들로서 주기함수를 구성하는 과정을 통해서 이루어진다.

단진동자나 단진자의 주기함수는 이들의 힘 방정식인 미분방정식으로 적분과정을 통하여 구해진다[2-5]. 그러나 고등학교 과정이나 대학의 교양과정에서 미분과 적분은 다루어지지만, 미분방정식은 다루어지지 않는다. 이러한 까닭으로 고등학교 물리 교과서인 물리 II나 대학의 일반물리학 교재에서[6-11], 단진동자인 경우 계의 에너지보존으로부터 주기를 구하고, 이로부터 진동수를 구하고 있다. 그리고 단진동자의 운동을 원주 위에 투영시킨 물체의 그림자의 운동을 분석하여 단진동자의 주기함수를 구하는 과정을 서술하는 것이 공통적이다. 그러나 단진동자인 경우 계의 에너지의 보존으로부터 단진자의 주기를 구하지 않고 단진동운동에서 구해진 단진동의 주기에 연계하여 구하고 있는 것 또한 공통적이다. 그 이유는 힘 방정식의 형태가 유사하고[6,8,12], 단진동자의 가속도와 단진자의 각가속도의 형태가 유사하다[7]는 것으로 설명하고 있다. 그러나 이러한 설명은 미분방정식을 다루어보지 않은 학습자들을 이해시키기가 쉽지 않을 뿐만 아니라 이는, 물리학적인 논리가 아니라 수학적인 논리다. 그 이유는 단진동자의 복원력과 단진자의 복원력은 물리적으로 엄연히 다른 현상이기 때문이다. 또한 이러한 경우 단진동자의 주기에 대한 선행지식이 없으면 단진자의 주기를 구할 수 없다는 의미가 된다. 특히 고등학교의 교사들이나 학생들의 이러한 과정에 대한 이해 부족은 이에 대한 오개념들을 발생시킬 뿐만 아니라 교사들과 학생들에게 어려움을 야기하고 있다[9].

이 연구를 준비하는 과정에서 단진자의 힘에 대한 미분방정식의 해를 구하지 않고 단진자의 에너지의 보존으로부터 단진자의 주기를 구하는 과정을 기술한 물리학 교재를 발견할 수 없었다. 따라서 이 연구에서는 국내외 교재의 단진자 주기의 설명 방법을 살펴보고 단진동자의 주기를 구하는 과정과 비교함이 없이 단진자의 주기를 구할 수 있는 방법을 제안하고자 한다.

본 연구에서는 우선 국외 대학 교재의 단진자 관련 내용을 분석하여 가능한 단진자 주기의 설명방식을 확인하고자 하였다. 이를 위해 현재 대학에서 많이 사용되고 있는 일반물리학 교재 4권[5,7,10,12]과 고전역학 교재 3권[13-15], 총 7권의 대학 교재에 나타나는 단진자 관련 설명을 분석하였다. 분석 결과 미분방정식의 풀이, 단진동자와의 비교라는 2개의 설명방식이 있음을 확인할 수 있었다.¹ 이때, 미분방정식의 풀이에 사용된 미분방정식은 회전 운동방정식이나 선형 운동방정식으로부터 도출되었으며, 단진동자와의 비교에서는 미분방정식을 사용하지 않고 단진자의 주기를 유도하였다. 고전역학 교재는 모두 단진자의 주기를 설명하기 위해 미분방정식의 풀이를 사용하였으며[13-15], 일반물리 교재에서는 단진자의 주기를 설명하기 위해 미분방정식의 풀이를 사용한 경우[5,7]와 단진동자와의 비교를 사용한 경우[10,12]가 각각 두 사례씩 나타났다. 이를 통해 국외 대학교재에서는 주로 미분방정식을 사용해 단진자를 설명하고 있으며, 미분방정식을 이해하기 어려운 학생들을 대상으로한 교양 일반물리 교재에서는 미분방정식을 사용하지 않고 단진자의 주기를 유도하기 위해서 단진동자와 단진자를 비교하는 방법이 주로 사용되고 있음을 확인할 수 있었다.

1. 미분방정식의 풀이

미분방정식의 풀이에서는 진폭이 매주 작다는 근사가 적용되었으며 미분방정식의 해로부터 단진자의 주기를 유도하였다. 미분방정식은 회전 운동방정식을 사용해 도출된 경우와 선형 운동방정식을 사용해 도출된 두 경우로 나누어 볼 수 있었다.

1) 회전 운동방정식의 사용

3종의 대학 고전역학 교재 중 2종[13,14], 4종의 일반물리학 교재 중 1종[7]에서 회전 운동방정식을 사용해 단진자의 주기를 유도하였다. 유도과정을 요약하면 다음과 같다.

Figure 1과 같이 질량 m인 물체가 길이 l인 무게가 없는 줄에 매달려 있다. O를 지나며, 진자가 움직이는 평면에 수직인 축을 z축으로 놓고 물체의 회전 운동을 기술하면 각변위 θ에 대해 다음과 같은 회전 운동 방정식을 얻을 수 있다.

Figure 1. (Color online) The Simple Pendulum[13] (redrawn by author).

이때, 단진자의 관성 모멘트(I_z)와 단진자에 작용하는 토크(N_z)는 다음과 같다(단, g는 중력가속도이다.).

진자가 매우 작은 각(θ≪π/2)으로 진동하므로 sinθ≈θ로 근사하고, Eq. (1)에 Eq. (2), (3)을 대입하면 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.

κ와 β가 진폭과 위상에 의해 결정되는 임의의 값일 때, Eq. (4)의 해는 다음과 같다.

이때, 각진동수 ω=g/l이며, T=2π/ω을 통해 다음과 같이 단진자의 주기를 얻을 수 있다.

2) 선형 운동방정식의 사용

3종의 대학 고전역학 교재 중 1종[15], 4종의 일반물리학 교재 중 1종[5]에서 선형 운동방정식을 사용해 단진자의 주기를 유도하였다. 유도과정을 요약하면 다음과 같다.

Figure 2의 단진자의 힘 방정식 F+mgsinθ=0은 다음 Eq. (7)과 같은 미분방정식으로 나타낼 수 있다(이때, s는 호를 따라 진동하는 물체의 진동 중심으로부터의 변위이며, F는 물체에 작용하는 알짜힘이다.).

Figure 2. (Color online) The forces acting on the simple pendulum.

단진자의 미분방정식 Eq. (7)은 삼각함수를 포함하기 때문에 해를 구하기가 매우 어렵다. 이러한 단진자의 미분방정식의 해를 비교적 쉽게 구하기 위하여 각 θ가 라디안 단위로 충분히 작을 경우로 제한한다. 이러한 제한조건에서 sinθ≈θ 그리고 θ≈s/l로 근사시킬 수 있다. 이러한 근사를 바탕으로 Eq. (8)과 같이 대수항으로 구성된 단진자의 미분방정식으로 변환시킬 수 있다.

단진자의 운동을 나타내는 미분방정식 Eq. (8)의 특수해는 s(t)=Acoswt=Acos2πft인 주기함수로 구할 수 있다. 여기서 A=sA=lθA, w=g/l, f=(1/2π)g/l로서 각각 진폭, 각속도, 진동수이다(이때, s_A와 θA는 각각 A에 위치해 있을 때의 변위와 각변위 즉, 초기 변위와 초기 각변위를 의미한다.). 단진자의 주기 T는 진동수 f로부터 다음 Eq. (9)와 같이 얻을 수 있다.

2. 단진동자와의 비교

4종의 일반물리학 교재 중 2종[10,12]에서 단동진자와의 비교를 통해 단진자의 주기를 유도하였으며, 이때 단진동자의 주기는 원운동과의 비교를 통해 유도되었다. 이는 대학의 교양과정에서 미분방정식을 다루지 않기 때문인 것으로 판단된다. 이것은 3종의 고전역학 교재[13-15]에서는 단진동자와 비교하는 방식의 설명이 나타나지 않은 것을 통해 확인할 수 있다. 단진동자와의 비교를 통해 단진자의 주기를 유도하는 과정을 1) 단진동자의 주기 유도, 2) 단진동자와 단진자의 비교의 두 단계로 나누어 요약하면 다음과 같다.

1) 단진동자의 주기 유도

Figure 3에서와 같이 x_A의 진폭으로 진동하는 단진동자는 x_A의 반지름으로 등속원운동하는 물체의 운동을 x축에 투영한 그림자의 운동과 비교하여 설명할 수 있다. 이때, 등속원운동하는 물체의 속력(v₀)은 x=0일 때의 단진동자의 속력과 같다. 등속원운동하는 물체의 주기는 다음과 같은 식을 사용해 얻을 수 있다.

Figure 3. (Color online) The energies and periodic motion of the simple harmonic oscillator.

단진동자의 에너지의 보존 (1/2)mv02=(1/2)kxA2으로부터 등속 원운동하는 물체의 속력을 다음과 같이 구할 수 있다.

Figure 3의 등속원운동과 단진동자의 주기는 같으므로, Eq. (10), (11)로부터 다음과 같이 단진동자의 주기를 얻을 수 있다.

2) 단진동자와 단진자의 비교

단진자에 작용하는 알짜힘은 F=−mgsinθ이다(Fig. 2). θ가 아주 작은 경우 sinθ≈θ 그리고 θ≈s/l로 근사시킬 수 있다. 따라서 단진자에는 다음과 같이 단진자의 변위(s)에 비례하는 힘이 작용함을 알 수 있다.

단진자의 주기는 용수철 진동자의 주기에 대한 Eq. (12)에 용수철 상수 k를 mg/l로 대체하여 다음과 같이 구할 수 있다.

이렇게 단진자의 주기를 단진동자의 주기와 비교하여 계산하는 까닭은 진동자과 단진자의 힘 방정식의 형태가 유사하기 때문이다. 그러나 이는 미분방정식을 배운 적이 없는 학습자들이 이해하기에는 어렵다. 또한, 진동자의 진동주기에 대한 정보가 없으면 단진자의 진동주기를 구할 수 없게 된다. 실제 용수철의 진동운동과 단진자의 진동운동은 독립적으로 일어나는 물리현상이며, 또한 용수철의 힘상수 k와 mg/l는 물리적인 의미가 엄연히 다르다. 따라서 용수철의 진동주기 관계식에서 용수철의 힘 상수 k 대신에 mg/l를 대체하여 단진자의 진동주기를 구한다는 그 자체를 이해하기 어려우며 물리학적으로는 논리적이지 않다. 이들은 서로 비교할 대상이지만, 서로 대체할 수 있는 관계가 아니다. 단진자의 진동주기는 단진자의 진동운동을 근거로 구해져야 한다는 것이 타당한 것이며, 단진자의 진동을 이해하게 되는 것이 된다. 그러나 이러한 과정에 대한 이해 부족은 단진자에서 중력에 의한 복원력을 용수철의 복원력으로 간주하는 오류를 발생시킬 수 있다[9].

1. 2015 교육과정 내 단진자

2015 개정 교육과정에 따르면 단진자는 고등학교 물리학 II에서 다룬다. 이와 관련된 성취기준, 학습요소, 교수학습 방법 및 유의사항은 다음과 같다.

• 성취기준: [12물리II01–10] 포물선 운동과 단진자 운동에서 역학적 에너지가 보존됨을 설명할 수 있다.

• 학습 요소: 힘의 합성과 분해, 알짜힘, 물체의 평형, 등가속도 운동, 포물선 운동, 구심력, 등속 원운동, 천체의 운동, 가속 좌표계, 등가 원리, 중력 렌즈 효과, 블랙홀, 일-운동 에너지, 단진자 운동, 역학적 에너지 보존, 열의 일당량

• 교수·학습 방법 및 유의 사항}: 단진자의 주기를 측정하는 실험을 통하여 정량적으로 예측한 것이 현상적으로 일치하는 지를 검증하게 할 수 있다.

학습요소에서는 ‘단진자 운동’만을 언급하여 단진자 운동의 어떤 특징을 다루어야 하는지에 대한 설명이 포함되어 있지 않지만, 성취기준과 교수·학습 방법 및 유의사항에서 단진자 운동의 어떤 특징을 다루어야 하는지에 대한 정보를 확인할 수 있다. 성취기준에서는 단진자 운동에서의 역학적 에너지 보존을 언급하고 있으며, 교수·학습 방법 및 유의사항에서는 단진자의 주기를 언급하고 있다. 학습요소에 등속원운동은 포함되어 있지만 ‘단진동자’는 포함되어 있지 않으며, 2015 개정 교육과정의 통합과학과 물리학 I의 성취기준, 학습 요소, 교수·학습 방법 및 유의 사항에서도 단진동자를 다룰 것을 명시적으로 언급하고 있지는 않다.

2. 물리학 II 교재의 단진자 설명

2015 개정 교육과정에 기반 물리학 II 교과서는 총 5종이다. 물리학 II의 단진자 관련 설명을 정리한 것은 Table 1과 같다. 5종 중 3종의 교과서[16-18]에서 단진동자와의 비교를 통해 단진자의 주기를 유도하였으며 이때, 단진동자의 주기는 원운동과의 비교를 통해 유도하였다. 이는 앞서 논의하였던 국외 대학 교재의 단진자 설명 중 2번째 설명방식인 ‘단진동자와의 비교’와 같은 방식의 설명이다. 이러한 설명방식이 국외 대학 교재 중 미분방정식을 다루지 않는 교양과정의 일반물리학 교재에서 많이 쓰인 점을 고려할 때, 미분방정식을 학습하지 않은 우리나라의 고등학생을 대상으로 하는 물리학 II 교재에서 이러한 방식을 사용하는 것은 일면 그럴듯한 부분이 있다. 하지만 이렇게 유도된 단진동자의 주기가 단진자의 주기 이외에 다른 설명에 활용되지 않았다는 점과 2015 교육과정에서 단진동자가 학습 요소에 포함되지 않는 것을 고려할 때, 이러한 설명방식은 학습자에게 추가적인 부담을 안길 수 있다.

Table 1 Explanations about the period of the simple pendulum in Physics II Textbooks (n= 5).

Explanation	No. of textbooks
Comparison with simple harmonic oscillator. (The period of a simple harmonic oscillator is derived through comparison with the circular motion.)	3
Directly providing formulas without derivation.	1
Only proportional expressions through experiments are provided.	1

나머지 2종의 물리학 II 교과서는 단진자의 유도과정을 생략하였는데, 이 중 1종의 교과서는 단진자의 주기를 유도과정 없이 수식으로 바로 제공하였으며[19], 실험을 통해 주기가 진자의 길이의 제곱근에 비례함만을 다루는 경우도 있었다[20]. 이러한 경우들은 교육과정에 충실하게 단진동자를 다루지 않으면서 단진자의 주기에 대한 정보를 다룬다는 장점이 있지만, 유도과정 없이 수식을 제공함으로 단순 암기할 수 밖에 없는 상황에 학생을 놓이게 하거나, 중력 등 다른 요소가 빠진 불완전한 수식을 제공한다는 점에서 한계를 가진다.

위와 같은 이유로 본 연구에서는 교육과정에 맞추어 학습자의 학습 부담과 오개념을 줄이기 위한 방안의 하나로, 단진동자와의 비교 없이 단진자와 원운동의 비교를 통해 단진자의 주기를 구하는 과정을 제안하고자 한다. 구체적인 유도과정은 다음과 같다.

Figure 4에서와 같이 θA의 각진폭으로 진동하는 단진자는 xA=lθA의 반지름으로 등속원운동하는 물체의 운동을 x축에 투영한 그림자의 운동과 비교하여 설명할 수 있다. 단진자의 전체 에너지 E를 다음 Eq. (15)와 같이 나타낼 수 있다(이때, v와 y는 각각 임의의 순간의 속력과 최저점에서부터의 높이를 의미한다.)

Figure 4. (Color online) The energies and periodic motion of the simple pendulum.

여기에서 y=l(1−cosθ)이며, mgy_A는 단진자가 A위치에 있을 때의 중력 위치에너지 PE_A이다.

각 θ가 라디안 단위로 작으면, cosθ=1−12θ2으로 근사시킬 수 있다.² 또한 y=12lθ2으로 근사시킬 수 있다. 이때 y_A는 yA=12lθA2가 된다. 단, θA는 단진자가 A위치에 있을 때의 각변위이다. 이때, 계의 전체 에너지 E는 다음 Eq. (16)과 같이 나타낼 수 있다.

Equation (16)으로부터 임의의 각 θ에서 진자의 속도 v는 다음과 같이 각 θ의 함수로서 나타낼 수 있다.

이것은 단진자의 속도 v가 단진자의 질량 m에 무관하며 진자의 길이 l의 제곱근에 의존한다는 것을 의미한다. Equation (17)을 이용하면 θ=0에서 단진자의 속도 v₀를 다음과 같이 얻을 수 있다.

로 얻을 수 있다. 등속원운동과 단진자의 주기는 같으므로, Eq. (12), (18)를 사용해 다음과 같이 단진자의 주기를 얻을 수 있다.

단진자의 주기는 근본적으로 단진자의 변위각 θ의 sinθ에 비례하여 단조화운동이 아니다. 그러나 단진자의 변위각 θ가 약 0.2라디안(약 10°) 범위로 작을 경우, 단진자의 변위각 θ가 변위각 θ의 sinθ의 값과 같다는 근사에서 단조화운동으로 다루어지고 있다. 또한 이를 이용하여 시간을 측정하거나 중력가속도를 측정하는 등 물리교육에서 뿐만 아니라 일상생활에서 매우 긴요하게 활용되어 왔다.

고등학교의 물리 교재와 대학의 일반물리학 교재에서는 등속 원운동하는 물체의 수평축인 x축에 투영된 물체의 그림자의 위치를 나타내는 주기함수를 설명한다. 단진동자인 경우 물체의 운동이 등속 원운동하는 물체의 그림자의 운동과 유사하고, 에너지의 보존법칙으로부터 쉽게 진폭, 주기, 진동수 등을 구할 수 있어 단진동의 주기함수를 구성하고 그 의미를 이해할 수 있다. 그러나 단진자인 경우는 그 위치에너지가 삼각함수 cosθ항을 포함하고 있어 그렇지 못하다. 이러한 이유로 단진자의 주기를 구하는 데 단진동의 주기를 우선적으로 학습해야 하며, 그리고 단진자와 단진동의 힘 방정식들을 비교해야 하는 어려움이 있어왔다. 단진동자와의 비교를 통해 단진자의 주기를 유도하는 과정은 미분방정식을 사용하지 않는다는 점에서 의미 있으며, 많은 대학 교재에서도 사용되고 있는 방법이다. 하지만 국내의 물리 II 교과서의 분석 결과와 2015 개정 교육과정에 비추어 볼 때, 유도된 단진동자의 주기를 단진자의 유도에만 사용한다는 점, 교육과정의 학습 요소에 단진동자가 포함되지 않는다는 점 등에서 개선의 필요성이 있음을 확인할 수 있었다.

이 연구에서는 단진자와 원운동을 직접 비교하기 위해 단진자의 변위각 θ가 라디안 단위로 충분히 작을 때 cosθ=1−(1/2)θ2라는 근사를 사용하였으며, 이러한 근사는 단진자의 변위각 θ가 라디안 단위로 충분히 작을 때 단진자의 변위각 θ의 sinθ를 θ로 근사시키는 것과 같이 진자운동이 단조화운동이 되기 위한 필수적인 근사이다. 이를 통해 본 연구에서는 기존의 고등학교의 물리 교재와 대학의 일반물리학 교재에서 단진자의 주기를 구하는 과정과 달리, 단진동의 힘 방정식과 비교하지 않고 단진자의 주기를 구할 수 있는 방법을 제안하였다.

이 논문은 2022년도 제주대학교 교원성과지원사업에 의하여 연구되었습니다.

¹각진동수(ω)까지만 유도하고 주기로 변환하지 않은 경우도 일부 있었지만, 교재의 앞부분에서 설명한 간단한 변환식(T=2π/ω)을 사용해 변환할 수 있으므로 이 사례들도 주기를 유도한 것으로 판단하여 연구 결과에 포함하였다.

²이는 cos 반각공식sin2θ2=1−cosθ2과 sinθ≈θ의 근사를 사용해 얻을 수 있다.