2차원 전자계 기반의 양자점 은 1991년도에 Meirav et al.[1]에 의해서 금속 전극에 인가하는 전압의 변화에 따라 주기적인 진동을 가지는 전기적 전도도를 최초로 확인한 이후, 양자점은 전하 방해 (charge frustration)[2], 파노 효과[3] 등과 같은 저차원 시스템에서 일어나는 물리현상을 연구하는데 활용되어왔다. 2차원 전자계를 활용하는 반도체 공정으로 제작된 양자점은 표면에 위치한 금속전극에 전압을 가하는 것으로, 표면 아래의 전자계에 공핍 영역을 형성시켜 전자를 속박할 수 있다. 이렇게 형성된 전기적 퍼텐셜의 형태는 조화 진동자로 근사할 수 있다[4]. 양자점의 형태를 변형시키면, 양자점의 내부의 에너지 상태의 분포는 달라진다. 1997년 G. Hackenbroich은 양자점을 속박하는 퍼텐셜의 구조를 변형시킬 경우, 고유 에너지들이 내부 파동함수를 유지하며, 교차하는 것을 이론 적으로 밝혀냈으며[5], Rasseen 은 양자점의 넓이를 유지시키며 그 형태를 변형시킬 경우 갈라지는 란다우 띠의 배열이 고자기장의 fock-darwin 에너지 스펨트럼과 비슷한 형태를 가진다고 하였다[6].

본 연구에서는 에서는 양자수송현상 시뮬레이션 도구 KWANT[7]를 활용하여, 사각형 형태의 양자점 내의 에너지 분포가 너비와 높이의 비율의 변화에 따라 변화하는 에너지 상태와 그 파동함수의 모습변화를 확인하였다. 재정렬시 대부분의 고유에너지들이 교차하였지만, 교차를 피하는 경우를 발견하였으며, 이때 에너지 상태의 파동함수가 원형의 파동함수를 걸쳐서 비연속적으로 변하는 것을 확인할 수 있었다. 계산결과를 통해 반도체 기반의 양자점 소자를 제어하여, 양자점의 변형을 시킬 수 있으며, 원형 파동함수에 대한 연구도 기대할 수 있는 것을 확인하였다. 본 실험 결과는 양자점 형태의 변형에 따른 에너지 분포 변화 연구에 유용하게 활용될 수 있을 것을 기대한다.

2차원에서의 입자의 운동을 설명하는 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

사각형 양자점의 파동함수와 에너지 분포는 2차원 infinite square well model로 설명할 수 있다. 면의 길이 Lx,Ly 직사각현 형태의 box의 potential wall은 다음과 같으며,

양자점 내에 형성되는 파동함수와 고유 에너지는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

m은 GaAs의 유효질량 m*=0.067me이며, nx,ny는 양의 정수 값으로 각각 x,y 방향의 양자수를 의미한다. 정사각형 모양의 양자점 내에서는 대칭적인 파동함수를 확인할 수 있다 (Fig. 1 참조). 변형을 위하여, 양자점의 변의 비율을 변형계수 β로 정의하여, L_y를 Ly=Lβ (0<β<1) 로 나타낸 뒤, 면적을 다음과 같이 일정하게 정의하면, LxLy=L2β=π2, 고유 에너지는 다음과 같이 간단한 형태로 표현할 수 있다.

Figure 1. (Color online) Wave functions of 2D well (β=1) with quantum number (nx,ny)=(0,0),(2,1),(2,2),(1,3).

계산은 시뮬레이션 도구 KWANT 를 활용하여 진행하였다. 반도체 기반의 양자점 소자의 경우 기판 표면에 나노 공정으로 제작한 금속 전극에 전압을 조절하는 것으로 공핍 영역을 유도하여, 양자점을 형성시킨다. 이러한 과정을 묘사하기 위해, pinned-potential boundary condition을 활용하였다[8]. 사각형 형태의 양자점의 특성을 확인하기 위해 두가지 전극 형태를 계산에 활용하였다. 첫번째 모델은 Fig. 2(a)와 같이 박스모양을 가지며, 전극에 가해지는 전압을 일정하게 유지시킨 뒤, 전극 모델의 너비와 폭의 비율 β*을 변형시키는 것으로 양자점의 변형을 유도하였다. 계산결과 β*는 β와 근사한 것으로 확인하여, 편의를 위하여 β로 표기하였다.

Figure 2. (Color online) Schematic figure of box-shaped electrodes (β=1) (a) and trident-shaped electrodes (b), and its calculated potential distribution of box-shaped electrodes (c) and trident-shaped electrodes (d).

두번째 모델은 전극의 형태를 유지하며, 가해지는 전압을 개별 적으로 제어하여 양자점의 변형 변수 β를 조절하는 모델이다. Figure 2(b)와 같이, 300 nm 폭의 공동을 중심으로 4개의 전극으로 구성되어 있다. 반도체 나노 공정을 통해 제작할 수 있는 형태이며, 양자점을 형성하는 퍼텐셜 장벽의 너비를 직접 확인하여 전압의 세기를 변형 변수 β로 교정하였다. 교정된 β는 혼란을 피하기 위해 βcali로 표기하였다.

Figure 3(a)는 Eq. (5)을 변형변수 β의 함수로 나타낸 그림이다. 양자점이 변형되면서 고유 에너지가 재배열되는 것을 색칠된 선분으로 표시하였으며, 같은 양자수를 가지는 고유 에너지는 같은 색상으로 표시하였다. β = 1 일 때, 양자수 (nx,ny)=(1,2),(1,3)의 고유 값이 중첩되어 있는 것을 확인할 수 있다. (1,3) 상태의 경우 β = 1, 1.295, 1.64 에서 다른 상태들과 교차하면서 (2,1) 상태 아래로 가라앉으며, (2,2) 상태의 경우, β = 1에서 최저점을 가지는 것을 확인할 수 있다. β가 증가함에 따라, (1,ny) 상태들이 (nx,1) 상태들 아래의 순서로 재배치되며, 변형이 클 경우 유사-1D system의 특성을 가지는 것을 확인할 수 있다.

Figure 3. (Color online) (a) N = 1–6 eigen energies (Eq. (5)) for rectangular quantum dot as a function of β. (b) Eigen energies for quantum dot formed by box shaped electrode function of β. Result is simulated using the simulation tool KWANT. Schematic figure of electrode is shown in Fig. 2(a).

Figure 3(b)는 박스 모양의 전극 (Fig. 2 (a))에 의해 유도된 양자점의 고유치를 시뮬레이션 도구 KWANT를 활용하여 계산한 결과이다. Figure 3(a)와 달리 같은 색상으로 표시된 고유치는 서로 다른 β에서 같은 순서(N)를 가진다. Figure 3(a)와 비교하여 유사한 분포를 가지는 것을 확인할 수 있으며, β = 1을 중심으로 대칭적인 분포를 확인할 수 있다. 여러 β에서 계산된 고유치의 파동함수를 확인하는 것으로 고유치의 양자수 (nx,ny)를 확인할 수 있다.

Figure 4는 박스 모양의 전극 (Fig. 2(a))에 의해 형성된 양자점이 가지는 고유치의 파동함수를 가장 낮은 고유값부터 6개 (N = 1–6) 를 여러 변형변수 β = 0.8, 1, 1.25, 15에 대하여 정리한 표이다. (2,1) 상태는 β = 0.8에서 두번째 순서(N = 2)를 가지지만, β = 0.8을 지나면서 세번째 순서로 재배치된다. (3,1),(1,3) 상태들은 서로 위치를 교환하며, (2,2) 상태는 β = 1에서 최저점을 가지는 것을 확인하 할 수 있다. 이러한 결과로 고유 값들이 양자점의 변형이 일어날 때 파동 함수와 함께 교차하는 것을 확인할 수 있다.

Figure 4. (Color online) Lowest eigen functions (N = 2–6) for rectangular quantum dot with various deformation factor β=0.8,1,1.25.

대칭적인 모양(β=1)의 양자점이 회전하는 파동(RM) (nR,nϕ)=(0,2),(2,1)을 (nx,ny) = (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) 상태들과 함께 가지는 것을 확인할 수 있는데, 이는 반도체 기반의 양자소자가 형성하는 둥근 형태의 퍼텐셜 구조때문에 생긴 것으로, 기하학적 구조에 민감하여 약간의 변형에도 사라지는 것을 확인할 수 있다. 또한 회전하는 파동의 형성이 고유 값이 가지는 파동함수를 불연속적으로 변하게 하여, 두 고유값이 서로 교차하지 않는 것처럼 보이는 (교차하였지만), 고유값의 분포를 가지는 것을 추측할 수 있다.

Figure 5는 삼지창 형태의 전극(Fig. 2(b))이 형성시킨 양자점의 고유 에너지들(N = 1–9)을 변형계수 β_C의 함수로 나타낸 그림과, 교차 시 고유 에너지 가지는 파동함수의 변화를 정리한 표이다. Figure 5(a)에 고유 에너지들의 교차가 일어나는 지점이 알파벳으로 표시 되어있다. βC=1 (퍼텐셜 분포가 대칭적이게 될 때), N = 2,3 고유 에너지들이 파동함수와 함께 교차하며, 이 과정에서 고유 에너지가 가지는 고유 상태가 유지되는 것을 확인할 수 있다 (Fig. 5(b)).

Figure 5. (Color online) (a) Calculated eigen energies (N = 1–9) of quantum dot, formed by trident shaped electrodes (Fig. 2(b)), as a function of deformation factor β_C. Deformation factor β_C is converted from biased voltage. Eigenvalues of the same sequence are displayed with the same color. The regions where crossing of eigen energies occurs are marked in C, and avoided crossing are marked in A, B. (b) Figure showing the region around point C1 separately. (c) Table of wave functions of degenerated eigenvalues in the region of C1, C2, C3.

반면에, A 영역의 N = 8,9 고유 에너지들, B 영역의 N=5,6 고유 에너지들 사이에서는 회피를 피하려는 것 같은 모습을 확인할 수 있다. Figure 6은 Fig. 5에서 고유 에너지들의 교차가 일어나는 영역에서 재배치되는 고유 에너지를 그 파동함수와 함께 나타낸 그림이다. 라벨과 함께 표시된 점들은 교차 영역 주변에 위치한 고유 에너지들의 위치를 표시한 것이며, 고유 에너지들이 가지는 파동함수의 그림이 같은 라벨과 함께 주변에 위치해 있다.

Figure 6. (Color online) Calculated eigen energies and wave functions of quantum dot, as a function of deformation factor β_C. Quantum dot is formed by trident shaped electrode. Eigenvalues with the same sequence are displayed with the same color. Eigen energies and figures of their wave functions are labeled with same number.

βC=0.93에서, 고유 에너지들(N = 6)은 (1,3) 상태를 가지며(B1), β_C가 커짐에 따라 다른 고유 에너지와 교차(N=6→5→4) 한다. N=6→5 교차 과정에서 회전하는 파동 (nR,nϕ)=(0,2) or (2,1) 을 순간적으로 가지며, 회피 교차의 모습을 보여준다 (Fig. 6의 B1 → B2 → B6 → B9). 함께 교차하는 N = 6 고유에너지 (Fig. 6의 B4 → B5 → B3), A 영역에서의 N = 8,9 고유 에너지들의 교차 (Fig. 6, A1–A9)에서도 확인이 가능하다.

이러한 결과를 바탕으로 실제 공정가능한 나노 소자를 활용하여, 사각형 구조의 양자점을 형성할 수 있으며, 금속 전극에 가해지는 전압을 개별적으로 조절하는 것으로 양자점 형태의 변형을 일으켜 내부 고유 에너지의 분포를 변화시킬 수 있음을 확인할 수 있었다. 특히, Fig. 5(a)에서, N = 4,5 고유 에너지들이 변형계수 βC=0.87,1.15 에서 교차하는데, 이들 변형계수 역수관계를 가지는 것을 통해, 실제 실험에서도 전압의 세기를 변형계수로 활용할 수 있을 것을 알 수 있다. 더불어 고유에너지가 서로 교차를 피하는 경우, 양자점 내부에 원형의 파동함수가 형성되어 있는 것을 확인할 수 있었는데, 본 연구결과는 사각형 양자점에 대한 연구 뿐 아니라 공동의 외곽을 따라 파동이 형성되는 속삭임 화랑모드[9]의 연구에 활용할 수 있을 것이라 기대한다.

양자수송 시뮬레이션 도구 KWANT를 활용하여 양자점 형태에 변형을 가할 경우, 양자점 내부에 형성된 에너지 상태들이 재정렬되는 것과 함께 파동함수도 함께 변화하는 것을 확인할 수 있었다. 재정렬시 대부분의 고유에너지들이 교차하였지만, 교차를 피하는 경우를 발견하였다. 양자점의 변형 시 교차를 피하는 고유 에너지들의 파동함수를 확인한 결과, 교차에 가까워지는 순간 원형의 파동함수를 가지는 것을 확인할 수 있었다. 교차를 피하는 것은 이런 비연속적인 파동함수의 변화에 따른 것으로 원형의 파동함수의 형성은 반도체 기반의 양자점이 날카로운 면을 가지는데 한계가 있기 때문에 생겨난 것으로 추정한다. 계산결과를 통해 반도체 기반의 양자점 소자를 제어하여, 양자점의 변형을 시킬 수 있으며, 원형 파동함수에 대한 연구도 기대할 수 있는 것을 확인하였다.

본 연구는 2021학년도 부산대학교 BK21 FOUR 대학원혁신지원사업에 의한 연구입니다.