오늘날 우리가 배우는 과학의 근원을 찾아볼 때 가장 많이 언급되는 과학자는 뉴턴(Issac Newton)이다. 근대 과학의 아버지라고 불리는 뉴턴은 F=ma라는 식을 포함한 뉴턴의 운동 법칙 3가지를 통해 고전 역학의 틀을 마련하였다. 뉴턴이 살았던 17세기는 아직도 아리스토텔레스(Aristotle)의 과학이 영향력을 발휘하던 때였다. 아리스토텔레스의 과학에서는 천상계는 정적이고 완전무결한 세계이고, 지상계는 동적이고 불완전한 세계로 두 세계에 작용하는 과학 법칙이 다르다고 주장했다. 뉴턴의 역학은 이러한 아리스토텔레스의 자연관을 극복하여 천상계와 지상계가 같은 법칙으로 작용한다는 것을 보였다.

과학사에서 뉴턴이 차지하는 비중이 매우 크기 때문에 오래전부터 뉴턴에 대한 연구는 활발하게 진행되었다. 뉴턴 프로젝트(The Newton Project, www.newtonproject.ox.ac.uk/)를 통해 뉴턴이 만든 모든 저작물들을 디지털 자료로 복원하여 일반인들에게 공개하고 있으며, 학술검색 전용 사이트인 ‘구글 학술검색(scholar.google.com)에 ‘Newton’으로 검색하면 무려 2백 6십만여 개의 책과 논문 등이 제시되어 있을 정도이다(2023년 4월 7일 기준).

뉴턴과 관련된 연구 중에서 가장 많은 주제는 <자연철학의 수학적 원리> 또는 <프린키피아>로 불리는 고전 역학에 대한 것이다. 뉴턴이 <프린키피아>를 집필하게 되는 데는 천문학자 핼리(Halley)와의 인연이 관련되어 있는데, 이때 작성한 논문이 이다. 뉴턴은 이 논문에서 타원 궤도를 운동하는 행성에 작용하는 구심력이 태양과 행성 간의 거리의 제곱에 반비례한다는 케플러 법칙을 증명하였는데, 이 논문에 대한 여러 연구들이 진행되었고(예:[1-5]) 국내에서도 이 논문의 내용을 분석하고 체제, 특징 등을 논의하는 연구가 진행되었다[6]. 이밖에 국내에서 이루어진 뉴턴의 고전 역학 관련 연구를 살펴보면 주로 교육과 연계되어 이루어졌는데, 뉴턴의 1법칙인 관성 개념과 실험에 대한 교과서 분석 연구[7], 뉴턴의 역학에 대해 학생과 교사의 이해에 대한 연구[8-10] 등이 대표적이다.

뉴턴은 광학 분야에서도 놀라운 업적을 남겼는데[11], 가장 뛰어난 업적 중 하나는 바로 태양과 같은 백색광이 여러 색의 스펙트럼이 합쳐져 구성된 것이라는 것을 증명한 것이다. 이를 통해 빛의 본질에 대한 이해가 가능해졌다. 또한 뉴턴은 볼록 렌즈에 의한 수렴 과정을 오목거울로 대체한 반사 망원경을 개발하여 색수차 문제를 극복하여 천체 관측에 새 지평을 열었고, 자신의 광학 이론을 집대성한 광학 분야의 고전인 <광학(Opticks)>을 집필했다.

뉴턴은 빛이 ‘미립자(corpuscles)’로 구성되어 있다는 입자이론에 바탕을 두고 광학 현상을 설명하여 그 당시 파동이론을 제기한 훅(Robert Hooke)이나 하위헌스(Christiaan Huygens)와는 다른 길을 걸었다.

뉴턴은 공기 중에서 물속으로 빛이 진행할 때와 같이 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 미립자인 빛이 진행하면 매질의 대기 밀도(atmospheric density, 굴절률과 관련된 값)에 비례하는 힘에 의해서 빛이 가속된다고 생각하여 빛의 속도가 굴절률에 비례한다고 가정하였다[12]. 이는 뉴턴의 생각이 현대의 광학 이론과 다른 점이었는데, 그 당시의 측정 기술로는 매질 속에서의 빛의 속도를 측정할 수 없었기 때문에 뉴턴의 권위에 의해 빛의 입자이론이 많은 사람들에게 받아들여졌고, 파동이론이 자리잡는데 어려움을 주었다[13].

이후 영(Thomas Young)의 간섭 실험이나 아라고(François Arago)의 반점 실험 등에 의해 빛의 파동이론이 우세하게 되었고, 1850년 피조(Hippolyte Fizeau)에 의해 물속에서의 빛의 속도가 공기에서의 빛의 속도보다 작다는 사실이 밝혀져 빛의 파동이론이 입자이론을 대체하게 되었다.

뉴턴은 1661년에 캠브리지에 있는 트리니티 칼리지에 입학했다. 그 당시 영국의 대학에서는 다른 영역과 마찬가지로 아리스토텔레스의 광학 이론을 가르쳤다. 그런데 뉴턴은 아리스토텔레스의 이론을 거부하고 알하젠(Ibn Alhazen)과 같은 과학자들이 저술한 중세 아랍의 광학 이론이나 데카르트(René Descartes), 케플러( Johannes Kepler) 등이 만든 새로운 광학 이론들에 관심을 가졌다[14].

뉴턴이 광학을 공부하고 연구한 내용을 정리한 내용 중에는 <반사와 굴절에 대한 그림 발명(The invention of figures for reflection and refraction)>이 있다. 이 중에서 ‘반사’에 대한 내용은 3개의 그림과 식으로 구성되어 있는데, 선행 연구에서 이 식에 대한 증명과 포물선, 쌍곡선, 타원에서 초점과 반사의 특징을 물리적인 해석과 수학적인 증명으로 제시하고, 이 결과를 바탕으로 중등학교 영재 학생들의 교수학습자료로서의 활용 방안을 제시하였다[15].

본 연구는 ‘굴절’과 관련하여 뉴턴이 제시한 6개의 그림과 식을 분석하는 것을 목적으로 한다. 뉴턴의 <굴절에 대한 그림 발명>에 제시된 그림과 식이 물리적으로 어떤 의미가 있는지를 분석하였는데, 뉴턴이 제시한 <굴절에 대한 그림 발명>의 내용을 증명하고 뉴턴의 그림과 식으로부터 출발하여 대학교에서 배우는 광학 내용인 무수차 곡면, 정확한 광선 추적, 단일 굴절면에서의 가우스 공식 등과 연관지어 설명하였다. 이를 바탕으로 대학생 수준의 광학 교육에의 활용 가능성을 탐색하고자 한다. 주요 연구 문제는 다음과 같다.

첫째, 뉴턴의 <굴절에 대한 그림 발명>의 식을 현대의 광학 이론을 이용하여 어떻게 증명할 수 있는가?

둘째, 뉴턴의 <굴절에 대한 그림 발명>을 대학교 광학 교육과 관련지어 어떻게 활용할 수 있는가?

본 연구는 뉴턴이 작성한 <굴절에 대한 그림 발명>에 제시된 6개의 그림과 식을 증명하고 그 의미를 해석하는 것이다. 뉴턴이 남긴 굴절에 대한 그림과 식은 뉴턴이 쓴 이라는 노트에 정리된 내용이다. 1664년에 작성된 것으로 알려져 있으니 이때는 뉴턴이 대학교를 마치고 석사과정을 시작하는 과도기라고 볼 수 있다. 뉴턴이 ‘발명(invention)’이라고 이름 붙이기는 했지만, 이전에 알려진 내용을 정리한 것인지 아니면 연구를 통해 독자적으로 새롭게 만들어낸 것인지는 분명하지 않다. 다만 1/2쪽 정도의 분량에 정리한 6개의 그림과 식은 굴절과 관련된 내용이 함축적으로 담겨 있어 광학과 관련된 내용으로 매우 의미가 있다.

은 뉴턴의 계부가 남긴 빈 노트에 뉴턴이 공부하고 연구한 내용을 정리한 후 이름을 붙인 것인데, 주로 수학과 관련된 내용이 대부분이다. 3개의 영역(part)으로 구분되어 있는데, 그 중 첫 번째 영역에 광학과 관련된 내용이 여러 페이지에 등장한다. 본 연구에서 관심을 두고 있는 <굴절에 대한 그림 발명>은 그중 일부로 Fig. 1과 같이 왼쪽에 그림을 제시하고 오른쪽에 그 그림에 대한 식을 각각 1줄로 간단히 나타내었다.

Figure 1. Newton’s <The invention of figures for refraction>.

본 연구에서는 이 그림으로부터 식이 어떻게 유도되었는지를 논리적으로 증명하였다. 6개의 그림을 2개씩 3묶음으로 구분하였는데 각 묶음은 광축에 평행하게 입사된 광선의 굴절(첫 번째와 두 번째 그림), 임의의 방향으로 진행하는 광선의 굴절(세 번째와 네 번째 그림), 광축에서 출발하여 진행한 광선의 굴절(다섯 번째와 여섯 번째 그림)에 대한 상황을 나타낸다.

뉴턴이 발명한 그림(식)의 의미에 대한 해석으로 첫 번째 묶음에서는 광축에 평행한 광선이 굴절 후 한 점에 모이는 상황이므로 무수차 곡면과 관련지어 분석하였다. 물체 쪽과 상 쪽 매질의 굴절률에 따라 이런 조건을 만족하는 곡면이 어떤 원뿔 곡선인지를 찾아내는 과정을 제시하였다.

두 번째 묶음은 일반적인 굴절 상황이므로 뉴턴의 굴절식이 정확한 광선추적과 어떤 연관성을 갖는지 분석했다. 또한, 세 번째 묶음은 광축에서 출발한 광선이 광축으로 모이는 경우이므로 물체와 상의 관계로 해석할 수 있다. 단일 굴절면에서 물체와 상의 관계는 근축 광선의 경우에 가우스 공식으로 알려져 있는데, 본 연구에서는 뉴턴의 식이 근축 광선 조건을 제시했을 때 가우스 공식으로 환원됨을 밝혔다.

본 연구에서는 뉴턴이 <굴절에 대한 그림 발명>에서 제시한 식들이 어떻게 유도되었는지를 설명하고자 한다. 또한 이 식들이 나타내는 의미에 대해서 분석하고자 한다.

뉴턴은 자신이 제시한 식에서 사용한 기호의 의미를 먼저 서술하였는데, 이는 Table 1과 같다. 그는 같은 기호를 여러 표현으로 사용하기도 했다. 예를 들어 a는 굴절이 일어나는 위치를 표시하는 데도 사용하였고, bg의 길이를 나타내는 곳에도 사용하였다. 본 연구에서는 구분을 하기 위해 bg의 길이는 a′으로 나타내었고, 나머지는 뉴턴이 사용한 기호를 그대로 사용하였다.

Table 1 Meaning of signs used by Newton.

Signs	Meaning of signs
b	focus of refracting surface
ca	incident ray
ag	refracted ray
bg¯	distance between foci
qa	normal at b
qr, qh	perpendicular line drawn from q to the incident ray and refracted ray
bg¯=a′,bq¯=v,ab¯=x,ag¯=y

1. 뉴턴이 발명한 1–2번째 그림과 식의 증명과 의미 분석

뉴턴이 제시한 첫 번째 그림과 식은 Fig. 2와 같다(빛이 진행한 경로를 굵은 점선으로 나타내었다.). 입사광선 ha가 점 a에서 굴절하여 점 b로 향하는 상황을 나타낸다. 이때 직선 ead는 굴절이 일어나는 지점인 점 a에서의 접선이고, aq는 법선이므로, 입사각은 ∠gaq, 굴절각은 ∠faq이다.

Figure 2. 1st figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

굴절률 n₁인 매질에서 n₂인 매질로 빛이 진행할 때 입사각 i, 굴절각 r로 굴절한다고 하면, 스넬의 법칙(n1sini=n2sinr)에 따라

n1n2=sinrsini=qr¯qh¯

이다. 또한 △asb와 △qrb는 닮음이므로 ab¯:as¯=bq¯:qr¯이다. ab¯=x, bq¯=v이므로 x:as¯=v:qr¯이다. 따라서

vx=qr¯as¯=qr¯qh¯

이다. 이 식을 뉴턴이 제시한 식 dx=ev와 비교하면

vx=qr¯as¯=qr¯qh¯=de

가 된다. 따라서 n1n2=de가 되어, 굴절률 d인 매질에서 굴절률 e(d>e)인 매질로 진행하며 굴절하는 상황을 나타내며, 광축에 평행한 광선이 굴절하여 점 b로 향하는 상황을 나타낸다.

뉴턴이 제시한 두 번째 그림과 식은 Fig. 3과 같다. 입사광선 ag가 점 a에서 굴절하여 점 b로 향하는 상황을 나타내는데, 첫 번째 그림과 유사하지만 곡면의 모양이 다르다는 차이가 있다. 이때 직선 ead는 굴절이 일어나는 지점인 점 a에서의 접선이고, aq는 법선이므로, 입사각은 ∠gaq, 굴절각은 ∠baq이다. 그림에서 입사각보다 굴절각이 작으므로 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 진행하면서 굴절하는 상황이다.

Figure 3. 2nd figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

스넬의 법칙에 의해 n1n2=sinrsini=qr¯qh¯이고, △asb와 △bqr이 닮음이므로 ab¯:as¯=bq¯:qr¯이다. 첫 번째 그림(식)에서와 같은 방법을 사용하면, dx=ev로 첫 번째 그림에서 제시한 식과 동일한 식을 얻을 수 있다. 그런데 Fig. 3과 같이 뉴턴은 d:e=qh:qr, ex=dv라고 적었는데, 이는 잘못 적은 것으로 보인다.

기호 규약에서 제시했듯이 뉴턴은 점 b를 초점이라고 제시했다. 뉴턴은 <굴절에 대한 그림 발명>의 첫 번째 그림의 굴절면이 원뿔곡선임을 가정한 것이라고 생각할 수 있다. 즉, 어떤 매질에서 광축에 평행하게 진행하는 광선이 굴절률이 작은 매질로 굴절하면서 진행할 때, 특정한 지점으로 빛이 향한다는 것을 의미한다. 그렇다면 이런 조건을 만족하는 원뿔곡선은 무엇일까?

광축에 평행한 광선이 굴절하여 한 점에 모일 때 굴절면이 어떤 곡선인지에 대해서는 오래전부터 그 결과가 알려져 왔다. 그중에서 Maesumi[16]가 제시한 하위헌스의 원리를 이용한 과정을 통해 곡선을 찾아보고자 한다. Figure 4와 같이 광축에 수직인 파동이 입사하는 경우를 생각해 보자. 이때 S₁, S₂에서 동일 위상인 파면이 굴절하여 동일한 시간에 점 B에 도달하기 위한 굴절면을 찾으면 된다. 즉, S₁에서 O, B까지 이동하는데 걸리는 시간과 S₂에서 A, B로 이동하는데 걸리는 시간이 같음을 이용한다.

Figure 4. (Color online) Aberration free refracting surface 1.

왼쪽 매질에서 빛의 속도를 v₁, 오른쪽 매질에서 빛의 속도를 v₂라고 하면, S₁에서 B까지 이동하는데 걸리는 시간은 τ1=S1Ov1¯+OBv2¯이고, S₂에서 B까지 이동하는데 걸리는 시간은 τ2=S2Av1¯+ABv2¯이다. S2A¯=S2D¯−AD¯=S1O¯−AD¯이므로 S2A¯−S1O¯=−AD¯이다. 이때 τ1=τ2를 이용하면 다음과 같다.

(1)S1Ov1¯+OBv2¯=S2Av1¯+ABv2¯AB¯−OB¯v2=−S2A¯−S1O¯v1=ADv1¯

D, B의 자취를 각각 D(0, y), B(f, 0)라고 하고, 점 A(x, y)의 자취를 구해 보자.

AB¯=(x−f)2+y2, OB¯=f, AD¯=−x를 Eq. (1)에 대입하면,

(x−f)2+y2−fv2=−xv1, (x−f)2+y2v2=fv2−xv1

이다. 양변을 제곱하면,

(x−f)2+y2=f2−2v2v1fx+v2 v1 2x2

이다. 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 진행하며 굴절하는 상황이므로 v1<v2를 이용하여 x, y에 대해 정리하면,

x−v1v1+v2f2v1v1+v2f2−y2v2−v1v1+v2f2=1

이다. 즉, 광축에 평행한 광선이 굴절 후 한 점에 모이는 곡면은 쌍곡선으로 일반적인 쌍곡선의 기본형 x2α2−y2β2=1을 x방향으로 α만큼 평행이동한 것이다. 이때 α=v1v1+v2f, β=v2−v1v1+v2f이다.

이 쌍곡선의 두 초점 중 오른쪽 초점의 좌표는 α2+β2+α, 0이다.

α2+β2=v12(v1+v2)2f2+v2−v1v1+v2f2=v22(v1+v2)2f2을 이용하면,

α2+β2+α=v2v1+v2f+v1v1+v2f=f

이다. 즉, Fig. 5와 같이 광축에 평행한 광선이 쌍곡선으로 이루어진 굴절면에서 굴절하면 쌍곡선의 초점에 수렴한다. 따라서 뉴턴이 제시한 ‘초점’은 정확하게 원뿔곡선의 초점임을 알 수 있다.

Figure 5. (Color online) Refraction on a hyperbolic surface.

뉴턴의 두 번째 그림도 광축에 평행한 광선이 굴절 후 한 점에 모이는 상황으로 첫 번째 그림과 다른 점은 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 진행하면서 굴절한다는 점이다. 이와 같은 상황에 대해서 굴절면이 어떤 곡선을 나타내는지 알아보기 위해서 첫 번째 그림에 대해서 수행한 방법과 유사하게 Fig. 6에서 O에서 B까지 이동하는데 걸리는 시간 τ₁과 D에서 A를 거쳐 B까지 이동하는데 걸리는 시간 τ₂가 같다는 하위헌스의 원리를 이용해 보자.

Figure 6. (Color online) Aberration free refracting surface 2.

D(0, y), B(f, 0), A(x, y)로 좌표를 나타내면, τ1=fv2, τ2=xv1+(x−f)2+y2이다.

이 값을 τ1=τ2에 대입하고, v1>v2를 이용하여 정리하면

x−v2v1+v2f2v2v1+v2f2+y2v1−v2v1+v2f2=1

이다. 이 식은 x2α2+y2β2=1 (α=v2v1+v2f, β=v1−v2v1+v2f)인 타원을 나타내며, 오른쪽 초점의 x좌표는 α2+β2+v2v1+v2f=v1v1+v2f+v2v1+v2f=f이다. 즉, Fig. 7과 같이 광축에 평행한 광선이 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 진행할 때 굴절면이 타원이면 굴절된 광선은 타원의 초점을 향한다는 것을 알 수 있다.

Figure 7. (Color online) Refraction on a elliptic surface.

광축에 평행한 광선이 굴절 후 한 점에 모인다는 것은 구면수차가 없다는 것을 의미한다. 이와 같은 면을 무수차곡면이라고 한다. 오목거울의 거울 면을 포물선으로 하면 광축에 평행한 광선이 거울 면에서 반사 후 포물선의 초점을 향한다는 사실을 잘 알고 있다. 렌즈의 경우에는 Fig. 8과 같이 쌍곡선 곡면을 이용한 렌즈를 이용할 수 있다. 렌즈에서 굴절하는 정도는 굴절면의 휘어진 정도 즉, 쌍곡선의 모양과 관련이 있고, 또한 렌즈의 굴절률과 관련이 있다. 그렇다면 쌍곡선의 모양과 굴절률은 어떤 관계가 있을지 알아보자.

Figure 8. (Color online) Hyperboloid lens free of spherical aberration.

렌즈의 상대 굴절률은 각 매질에서의 빛의 속도의 비로 나타낼 수 있다. 즉, n=v2v1이다. 분모와 분자에 fv1+v2를 곱하면

n=v2v1+v2fv1v1+v2f=α2+β2α

이 된다. 이 값은 쌍곡선의 이심률 e와 같다. 즉, 광축에 평행한 광선이 쌍곡선으로 만들어진 렌즈를 통과하면 쌍곡선의 초점에 모이도록 할 수 있는데, 이때 쌍곡선의 이심률이 렌즈의 굴절률과 같은 값이어야 한다는 것을 알 수 있다.

또한 Fig. 9와 같이 타원 곡면을 이용한 렌즈로도 구면수차를 완전히 제거할 수 있다. 이때 렌즈 내에서 진행하는 빛이 굴절 없이 초점을 향하도록 하기 위해서 렌즈의 우측면은 초점을 중심으로 하는 구면으로 한다.

Figure 9. (Color online) Ellipsoid lens free of spherical aberration.

렌즈의 굴절률 n은 쌍곡면 렌즈에서와 같은 방법을 이용하면,

n=v1v2=v1v1+v2fv2v1+v2f=α2+β2α

이 되어 굴절률이 렌즈의 모양과 관련이 있다.

이와 같은 방법으로 포물선, 쌍곡선, 타원 등의 원뿔 곡선을 이용한 거울과 렌즈를 이용하면 구면수차를 제거할 수 있지만 실제로 이러한 렌즈를 사용하지는 않는다. 그 이유는 축상 구면수차만 제거될 뿐 다른 수차는 구면으로 만든 거울과 렌즈에서보다 훨씬 더 크게 나타나기 때문이다. 또한 렌즈의 굴절률은 파장에 따라 다른데, 렌즈의 모양이 굴절률에 따라 정해지기 때문에 색수차를 제거할 수 없는 문제도 있기 때문이다.

2. 뉴턴이 발명한 3–4번째 그림과 식의 증명과 의미 분석

뉴턴이 제시한 세 번째 그림은 Fig. 10과 같다. 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 빛이 진행하다가 굴절하는 상황을 나타낸 것으로 임의의 각도로 굴절면에 진행하는 상황이다.

Figure 10. 3rd figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

△abs와 △bqr은 닮음이므로,

(2)ab¯:as¯=bq¯:qr¯,qr¯=as¯⋅bq¯ab¯=v⋅as¯x

이고, △asg와 △qhg는 닮음이므로,

(3)ag¯:as¯=qg¯:qh¯,qh¯=qg¯⋅as¯ag¯=(ab¯+bg¯)⋅as¯y=(a′+v)⋅as¯y

다. 왼쪽 매질의 굴절률을 d, 오른쪽 매질의 굴절률을 e (d>e)라 하고 a점에서 스넬의 법칙을 적용하면 입사각=∠qah, 굴절각=∠qaf이므로,

(4)d⋅sin(입사각)=e⋅sin(굴절각)d⋅qh¯=e⋅qr¯

이다. Equation (2), (3)를 이용하면 Eq. (4)은 다음과 같이 뉴턴이 제시한 식으로 유도된다.

d⋅(a′+v)⋅as¯y=e⋅v⋅as¯xda′x+dvx=evy

뉴턴이 제시한 네 번째 그림(Fig. 11)은 세 번째 그림과 같이 굴절률이 큰 곳에서 작은 곳으로 빛이 진행하면서 굴절하는 상황에서 곡률의 중심이 오른쪽에 있는 경우이다. 세 번째 그림에 대한 식을 유도한 과정과 유사하게 삼각형의 닮음과 스넬의 법칙을 이용하면 뉴턴의 식을 유도할 수 있다.

Figure 11. 4th figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

△abs와 △bqr의 닮음으로부터 qr¯=v⋅as¯x, △asg와 △qhg의 닮음으로부터 qh¯=qg¯⋅as¯ag¯=(v−a′)⋅as¯y을 구해, 입사각=∠qah, 굴절각=∠qar을 이용하여 스넬의 법칙 d⋅qh¯=e⋅qr¯에 대입하면, d⋅(v−a′)⋅as¯y=e⋅v⋅as¯x로부터 dvx−da′x=evy가 된다.

뉴턴의 굴절에 대한 3–4번째 그림(식)은 일반적인 굴절 상황을 나타낸 것이다. 고등학교나 일반물리학 수준에서 다루는 굴절은 입사각(굴절각)이 작아서 sinθ를 θ로 근사할 수 있는 근축광선 추적(paraxial ray tracing)인 것에 반해, 뉴턴의 식들을 구하는 과정은 근사(approximation)를 하지 않았기에 ‘정확한 광선 추적(exact ray tracing)’이라고 할 수 있다. 따라서 뉴턴이 제시한 식이 ‘정확한 광선 추적’과 일치하는지를 살펴보는 것은 의미가 있을 것이다. 3번째 그림(식)과 4번째 그림(식)이 굴절면의 곡률 중심의 위치가 다른 것을 제외하면 유사하기 때문에 3번째 그림(식)으로 ‘정확한 광선 추적’과 비교해보고자 한다.

상황을 단순화하기 위해 Fig. 12와 같이 굴절면이 구면이라고 가정한다. 이때 법선과 광축과 만나는 점 q는 곡률의 중심이 되므로 qa¯=r1이다. 입사각을 ϕ₀, 굴절각을 ϕ₁, 입사광선과 광축이 이루는 각을 u₀, 굴절광선이 광축이 이루는 각을 u₁, 원호와 광축이 만나는 점을 O라 하고 Og¯=t0, Ob¯=t1이라고 하자. 이때 광학계 물리량에 대한 부호 규약에 의해 u0<0, u1<0이다.

Figure 12. Exact ray tracing in the Newton’s third figure.

△aqg에 사인법칙을 적용하면

(5)sin(π−ϕ0)r1+t0=sin(−u0)r1,ϕ0=sin−1−r1+t0r1sinu0

이고, 스넬의 법칙에 의해,

(6)dsinϕ0=esinϕ1,ϕ1=sin−1(d/e⋅sinϕ0)

이다. △abg의 내각의 합이 180°임을 이용하면,

(−u0)+(π−(−u1))+(ϕ1−ϕ0)=π,u1=u0+ϕ0−ϕ1

이고, △aqb에 사인법칙을 적용하면,

(7)sin(π−ϕ1)r1+t1=sin(−u1)r1,t1=r1sinϕ1sin(−u1)−1

이다. 즉, 입사광선에 대한 위치(t₀)와 방향(u₀)을 알면, 굴절 이후에 광선의 위치(t₁)와 방향(u₁)을 알 수 있는데, 이 과정을 정확한 광선추적이라고 한다. 이 결과를 뉴턴이 만든 식(da′x+dvx=evy)에 적용해보자.

xsin(−u1)=ysin(−u0)=y1이라 하면, x=y1sin(−u1), y=y1sin(−u0)이다. Equation (5), (7)으로부터 sinu0=−r1r1+t0sinϕ0, sinu1=−r1r1+t1sinϕ1이므로, 뉴턴의 식은 다음과 같다.

(좌변)da′x+dvx=d(a′+v)x=d(r1+t0)y1sin(−u1)=d(r1+t0)y1r1 r1 +t1 sinϕ1=y1r1(r1+t0)(r1+t1)dsinϕ1
(우변)evy=e(r1+t1)y1sin(−u0)=e(r1+t1)y1r1 r1 +t0 sinϕ0=y1r1(r1+t0)(r1+t1)esinϕ0

Equation (6)로부터 dsinϕ1=esinϕ0이므로 da′x+dvx=evy이다. 즉, 뉴턴의 식은 ‘정확한 광선 추적’에 의해 옳음이 증명되었다.

3. 뉴턴이 발명한 5–6번째 그림과 식의 증명과 의미 분석

뉴턴이 제시한 다섯 번째 그림은 Fig. 13과 같다. 이것은 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 빛이 진행하면서 굴절하는 상황으로 광축상의 한 점(g)에서 출발한 광선이 굴절하여 다시 광축상의 한 점(b)에 도달하는 것을 나타낸 것이다. 이 그림에서 뉴턴이 제시한 식의 유도과정은 3–4번째 식을 구하는 과정과 유사하다.

Figure 13. 5th figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

△abs와 △bqr의 닮음으로부터 qr¯=v⋅as¯x, △asg와 △qhg의 닮음으로부터 qh¯=qg¯⋅as¯ag¯=(a′−v)⋅as¯y을 구해, 입사각=∠qah, 굴절각=∠qar을 이용하여 스넬의 법칙 d⋅qh¯=e⋅qr¯에 대입하면, d⋅(a′−v)⋅as¯y=e⋅v⋅as¯x로부터 da′x−dvx=evy가 된다. 그런데 Fig. 13과 같이 뉴턴은 d와 e를 바꾼 식으로 잘못 나타내었다.

Figure 14에 제시한 뉴턴의 여섯 번째 그림은 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 빛이 진행하는 상황으로 다섯 번째 그림과 같이 광축 상의 한 점(g)에서 출발한 광선이 굴절한 후 광축 상의 한 점(b)로 진행하는 것을 나타낸 것이다. 뉴턴의 3–5번째 식을 유도한 과정과 유사하게 △abs와 △bqr의 닮음으로 구한 qr¯=v⋅as¯x와 △asg와 △qhg의 닮음으로 구한 qh¯=(a′−v)⋅as¯y을 스넬의 법칙에 대입하면 식 dax−avx=evy을 구할 수 있다.

Figure 14. 6th figure and formulas of <The invention of figures for refraction>.

뉴턴의 5–6번째 그림(식)은 광축에서 출발한 광선이 굴절하여 광축에 도달하는 상황으로 단일 굴절면의 물체와 상의 관계를 나타냈다고 볼 수 있다. 만약 이 식에 근축광선 조건을 적용하면 어떻게 될까?

Figure 15는 뉴턴이 발명한 5번째 그림을 다시 나타낸 것으로, 음영으로 표시한 부분은 굴절률 e이고 왼쪽 부분의 굴절률은 d (d<e)이다. 근축 광선으로 가정하면,

Figure 15. Gaussian formula for refraction.

y≈t0,x≈t1,a′≈x+y,x−v≈t1−v=R (R:곡률반경)

등으로 근사할 수 있다. 뉴턴의 식에서 a′을 x+y로 바꾸고, 양변에 exy를 더한 후 정리하는 다음의 과정을 거치면

da′x−dvx=evydx(a−v)=evydx(x+y−v)=evydx(x+y−v)+exy=evy+exydx2−avx+exy−evy=exy−dxy(dx+ey)(x−v)=(e−d)xydx+eyxy=e−dx−vdy+ex=e−dRdt0+et1=e−dR

를 얻을 수 있다. 이 식은 학부 수준의 광학에서 배우는 근축광선에서 단일굴절면의 물체와 상의 관계를 나타내는 ‘단일굴절면에 대한 가우스 공식’이다. 뉴턴이 발명한 식은 근축광선으로 가정한 것은 아니지만, 이 식에 근축광선 조건을 적용하면 ‘가우스 공식’으로 환원된다는 것을 알 수 있다.

본 연구에서는 뉴턴이 작성한 <굴절에 대한 그림 발명>에 제시된 6개의 식을 증명하고, 그림의 의미를 분석하였다. 분석 결과를 요약하고 이에 따른 시사점을 논의하면 다음과 같다.

첫째, 뉴턴의 굴절과 관련된 그림(식) 6개는 크게 나누면 3개로 구분될 수 있다. 첫 번째(1, 2번째 그림)는 광축에 평행한 광선이 굴절한 후 한 점에 모이는 경우로 굴절률이 큰 곳에서 작은 곳으로 굴절할 때는 굴절면이 쌍곡선이고, 굴절률이 작은 곳에서 큰 곳으로 굴절할 때는 타원임을 알아내었다. 광축에 평행한 광선이 굴절 후 한 점에 모인다는 것은 구면 수차가 없다는 것을 의미하는데, 본 연구에서는 무수차곡면 관점에서 뉴턴의 그림과 식을 분석하였다. 두 번째(3, 4번째 그림)는 임의의 각도로 진행하는 광선이 굴절하는 상황이다. 뉴턴이 제안한 그림은 근축 광선을 가정한 것이 아니기에 일반적인 굴절 상황을 나타낸 것이다. 따라서 이 그림과 식은 ‘정확한 광선추적’으로부터 증명될 수 있다. 세 번째(5, 6번째 그림)는 광축에서 출발한 광선이 굴절 후 광축을 통과하는 것을 나타낸 것이다. 이 그림은 근축광선을 이용한 단일굴절면의 가우스 공식을 설명하는 그림과 유사하다. 따라서 근축광선 조건을 적용하였더니 뉴턴의 식이 가우스 공식이 됨을 밝혔다.

둘째, 본 연구에서 제시한 뉴턴의 <굴절에 대한 그림 발명>의 그림과 식은 학부생 수준의 광학 교육에 활용될 수 있다. 1, 2번째 그림과 식은 무수차곡면과 연결되어 설명할 수 있다. 수차는 일반물리에서는 오목거울과 볼록렌즈에 의한 구면수차와 색수차 정도를 다루고, 전공 광학에서는 3차 수차에 해당하는 코마, 비점수차, 만곡수차, 왜곡수차까지 학습한다. 이 중에서 가장 기본이 되는 수차는 구면수차이다. 특히 오목거울에 의한 구면수차는 반사의 법칙만으로도 쉽게 수차가 발생한다는 것을 알 수 있기 때문에 포물면을 사용하면 구면수차를 없앨 수 있다는 정도까지 다룬다. 그런데 렌즈에서 발생하는 구면수차를 없애는 방법에 대해서는 자세히 다루지 않는다. 그 이유는 아마도 쌍곡면이나 타원면으로 만들어진 렌즈가 사용되지 않을 뿐만 아니라 왜 구면수차가 없어지는지 학생들에게 설명하기 어렵기 때문일 것이다. 그런데 본 연구에서 제시한 뉴턴이 제시한 식으로부터 무수차렌즈를 도입하는 과정은 대학생 수준에서도 충분히 이해할 수 있는 수준이기 때문에 대학생을 위한 교수학습자료로 활용할 수 있을 것이다. 그리고 2022 개정 과학과 교육과정의 ‘전자기와 양자’ 과목에는 ‘[12전자02-02] 렌즈와 거울을 이용한 광학 기기의 원리와 수차를 설명할 수 있다.’의 성취기준을 통해 수차를 학습하게 되어 교육과정이 고시된 이래로 처음으로 고등학교 과정에서 수차를 학습하게 되었다[17]. 물론 학생들의 수준을 고려하여 용어를 도입하지 않고 구면수차와 색수차를 정성적으로만 다루게 되어 있다. 따라서 일반 학생들을 대상으로 하는 수업에서는 본 연구에서 제시한 무수차렌즈를 직접 도입하기는 어렵지만, 수차에 대한 정성적인 개념은 학습한 상태이기 때문에 심화 과정에 있는 학생이나 영재를 대상으로는 충분히 활용할 수 있을 것이다.

또한 뉴턴의 3, 4번째 그림과 식으로부터 ‘정확한 광선 추적’을 학습하는 과정이나 뉴턴의 5, 6번째 그림과 식으로부터 ‘단일 굴절면에 대한 가우스 공식’을 학습하는 과정도 대학생 수준에서 충분히 학습할 수 있는 내용이므로 대학 광학 교육에의 활용이 가능할 것이다. 물론 뉴턴이 제시한 <굴절에 대한 그림 발명>은 단지 6개의 그림과 식으로만 구성되어 있어 대학에서 학습하는 광학 내용의 일부분만 관련되어 있는 한계가 있지만, 이것만으로도 긍정적인 교육 효과를 얻을 수 있을 것으로 기대한다.

셋째, 뉴턴의 <굴절에 대한 그림 발명>은 과학사 측면에서도 매우 중요하고, 이를 활용한 교수학습은 학생들의 학습 동기 유발에 긍정적인 영향을 미칠 수 있다. 기하광학의 내용은 다른 물리학에 비해 학생들이 비교적 쉽게 학습할 수 있는 장점이 있지만, 이론 자체가 매우 오래전에 완성된 것이고 도전적으로 학습할만한 내용이 많지 않아 학생들이 학습 동기를 높이는데 어려움이 있다. 과학사를 이용한 교수학습은 과학에 대한 이해는 물론 과학의 본성을 이해하는데 긍정적인 영향을 미치므로[18] 과학 교수학습에서도 중요하게 다루고 있다. 뉴턴이 남긴 자료를 이용하여 학습을 한다는 것 자체만으로도 학생들의 동기 유발에 긍정적인 영향을 미칠 수 있기 때문에 뉴턴의 자료에 대한 분석을 바탕으로 중등 또는 고등 교육에 활용할 수 있는 교수학습자료를 개발하는 것은 긍정적인 효과를 얻을 수 있을 것이다.

뉴턴에 대한 연구는 다양한 분야에 대해서 이루어지고 있는데, 특히 <프린키피아>로 대표되는 역학과 관련된 업적에 대해 집중적으로 다루어지고 있다. 잘 알려진 바와 같이 뉴턴은 광학 분야에서도 선구적인 역할을 하였다. 그러나 뉴턴이 집필한 <광학(Opticks)>이 번역된 것도 얼마 되지 않았을 정도로 국내에서는 뉴턴의 광학 업적과 관련된 연구가 거의 이루어지지 못했다. <프린키피아>는 기하학을 이용한 증명이 주를 이루고 있는데, 광학 특히 기하광학도 기하학과 유사한 점이 많아 뉴턴이 광학과 관련된 많은 내용을 제시했다. 본 연구가 뉴턴의 광학에 대한 분석 연구의 시발점이 되기를 기대한다.