npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2024; 74: 487-493

Published online May 31, 2024 https://doi.org/10.3938/NPSM.74.487

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Mathematical Analysis of Light Bending in Sugar Solution

설탕물에서 빛이 휘어지는 현상의 수학적 분석

Dongseung Kang1, Bongwoo Lee2*

1Department of Mathematics Education, Dankook University, Yongin 16890, Korea
2Department of Science Education, Dankook University, Yongin 16890, Korea

Correspondence to:*peak@dankook.ac.kr

Received: March 6, 2024; Revised: April 7, 2024; Accepted: April 17, 2024

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

The purpose of this study is to mathematically analyze the phenomenon of light bending in dense sugar solution and compare the results with experimental and simulation results. The mathematical analysis used Fermat’s principle to state that the path of light follows the shortest time path between two points. Since the speed of light is inversely proportional to the refractive index, and the refractive index in sugar solution is related only to depth, Euler’s equation can be converted into a simple integral equation. As a result of the analysis, the light path for Model 1, where the speed of light decreases in proportion to depth, is circular, and the light path for Model 2, where the refractive index increases in proportion to depth, is logarithmic. When the experimental conditions were applied, the difference between the two models was only 0.054%, which was very consistent with the light path obtained through the experiment. The difference between the mathematical results and the simulation results obtained by continuously applying Snell’s law by dividing the depth of the sugar water into equal intervals was very small at 0.052%. Additionally, the process and results presented in this study were discussed from a physics education perspective.

Keywords: Refraction, Fermat&rsquo,s principle, Mathematics, Sugar solution, Simulation

본 연구의 목적은 짙은 설탕물 속에서 빛이 휘어져 진행하는 현상을 수학적으로 해석하고, 그 결과를 실험과 시뮬레이션 결과와 비교하는 것이다. 수학적인 해석은 페르마의 원리를 이용하여 빛의 경로가 두 점 사이의 최단 시간 경로를 따른다는 것을 이용하였다. 빛의 속도가 굴절률에 반비례하며, 설탕물에서의 굴절률은 깊이에만 관계하므로 오일러 방정식이 간단한 적분식으로 바뀌게 된다. 해석 결과, 깊이에 따라 빛의 속도가 일정하게 감소하는 모형 1에 대해서 빛의 경로는 원이 되며, 굴절률이 일정하게 증가하는 모형 2에 대한 빛의 이동 경로는 로그로 나타났다. 실험 상황을 입력하였을 때, 두 모형의 차이는 불과 0.054%였으며, 실험을 통해 구한 빛의 경로와 매우 일치하였다. 또한 수학적인 결과와 설탕물의 깊이를 등간격으로 나누어 연속적으로 스넬 법칙을 적용한 시뮬레이션 결과와의 차이는 0.052%로 매우 작았다. 추가적으로 본 연구에서 제시한 과정을 물리교육에의 활용할 수 있는 방안에 대해 논의하였다.

Keywords: 굴절, 페르마의 원리, 수학, 설탕물, 시뮬레이션

물리학은 자연의 기본 법칙과 원리를 탐구하며, 우주의 가장 근본적인 구성 요소와 그들의 상호작용을 연구하는 학문이다. 학생들은 물리 학습을 통해 자연을 이해할 수 있기를 기대하지만, 그 과정은 쉽지 않아 많은 학생들이 물리를 기피하고 있다. 2024학년도 대학수학능력시험에서 물리학 I을 선택한 학생은 63,162명, 물리학 II를 선택한 학생은 3,803명으로 과학탐구를 선택한 응시자 대비 각각 29.6%, 1.78%이었다.

국제비교연구(예: 수학․과학 성취도 국제비교 연구)에서 과학에 대한 자신감, 흥미, 가치 인식 등과 같은 과학에 대한 정의적 인식이 국제적 평가에서 최저 수준인데[1], 이처럼 과학에 대한 기피 현상이 큰 상황 속에서 과학 영역 중 물리에 대한 기피가 가장 크다는 사실은 큰 문제가 아닐 수 없다. 최근 인공지능이나 4차 산업혁명과 연계하여 물리가 미래 학문으로의 가치가 높다는 인식에 물리선택 비율이 소폭 상승하기는 했지만, 아직도 생명과학이나 지구과학을 선택한 학생의 절반도 되지 않는다.

여러 연구에서는 이러한 결과가 나타난 이유로 학생들이 물리를 어렵고 재미없는 과목으로 인식하고 있기 때문이라고 지적하고 있다[2, 3]. 학생들이 물리를 어려워하는 이유는 무엇일까? 이에 대한 연구는 오래전부터 많이 이루어져 왔다[4-8]. 물리에 대한 어려움을 연구한 결과에서 공통적으로 나타나는 것은 물리가 수학과 관련되어 있기 때문에 학생들이 물리를 어렵다고 생각한다는 것이다[2, 9-12]. 중학교 교육과정까지는 과학교과서에 수학 내용이 제시된 부분이 물리가 다른 영역보다 두드러지게 많지는 않지만[13], 고등학교 이상의 물리는 수학과 밀접하게 관련되어 있다는 것을 부인할 수 없을 것이다.

영국의 물리학자 디랙(P. Dirac)은 물리학을 연구하는 방법의 하나가 수학적인 추론을 이용하는 것이라고 말했으며[14], 아인슈타인(A. Einstein)은 1933년 옥스퍼드 대학에서 진행된 허버트 스펜서 강의(Herbert Spenser lectrue)에서 “우리의 성공적인 이론 중 많은 수가 실제로 간단한 수학적 표현을 하고 있기 때문에 수학적으로 간단한 것을 찾아 진정한 이론을 찾을 수 있다”고 하면서 진정한 창의적인 원리는 수학에 있다고 주장했다[15]. 물리학에서 가장 유명한 책인 뉴턴의 「프린키피아」의 원제는 「자연철학의 수학적 원리(Philosophiae naturalis principia mathematica)」로 제목 자체에도 수학이 들어있으며, 유클리드의 기하학원론의 영향을 받아 정의(Definition), 공리(Axion), 법칙(Law), 보조정리(Lemma), 딸린 법칙(Corollory) 등을 사용하여 수학적 증명의 방법으로 물리 법칙을 증명하였다[16]. 수학을 잘하는 학생이 물리 성취도가 높다는 연구 결과[17, 18]는 물리와 수학이 매우 밀접하게 관련되어 있다는 것을 보여준다.

많은 학생들이 물리가 수학과 관련되어 있어 어렵다고 인식하지만, 반대로 어떤 학생들은 물리가 수학과 관련이 깊어서 간단한 수식이나 수학적인 논리 흐름으로 물리현상을 풀어낼 수 있다는 점 때문에 물리를 재미있다고 생각하기도 한다[2]. 수학을 사용하면 말로 설명하기 복잡한 현상을 간단하게 표현할 수 있으므로 물리의 어려움을 수학 탓으로 미루는 것보다 물리의 아름다움을 수학으로 더욱 빛나게 할 수 있을지를 연구하는 것이 더 의미있을 지도 모른다.

그런 차원에서 자연에서 일어나는 여러 현상을 물리적, 수학적으로 해석해보는 활동은 학생들에게 매우 유익할 것이다. 신기한 현상으로 잘 알려진 실험 중 하나로 농도가 짙은 설탕물 속에서의 빛의 진행이 있다. 단일한 매질 속에서 빛은 직진하지만 짙은 설탕물은 높이에 따라 굴절률이 달라서 빛이 휘어져 진행하는 것을 볼 수 있다. 본 연구에서는 설탕물 속에서 빛의 휘어지는 현상을 수학적으로 해석해보고자 한다. 그리고 그 결과를 실험 결과와 스넬 법칙에 의한 시뮬레이션 결과와 비교할 것이다. 연구 문제는 다음과 같다.

첫째, 짙은 설탕물 속에서의 빛의 진행 경로를 수학적으로 어떻게 표현할 수 있는가?

둘째, 수학적으로 구한 빛의 경로는 실험 결과, 시뮬레이션 결과와 어느 정도 일치하는가?

본 연구에서는 비균일한 매질의 특수한 예로 짙은 설탕물 속에서의 빛의 진행 경로를 분석하는 것을 목적으로 한다. 특히 수학적인 방법을 이용하여 빛의 경로를 나타내는 식을 구하려고 한다. 수학적 해석의 출발은 페르마의 원리로부터 시작한다. 페르마의 원리는 한 점에서 출발한 빛이 다른 점으로 진행할 때, 광선의 경로는 두 점 사이를 지나는 시간이 가장 짧은 경로임을 설명하는 원리이다. 두 점 사이를 빛이 이동하는데 걸리는 시간에 대한 함수를 구하고 이 시간이 최소가 되는 조건을 찾는다.

이 조건을 찾는 과정에서 오일러 방정식을 풀어야 한다. 그런데 이를 위해서는 위치에 따른 빛의 속도에 대한 정보가 필요하다. 빛의 속도는 굴절률에 반비례하며, 굴절률은 당도에 비례한다[19]. 고농도의 설탕물은 설탕이 이온 상태로 물과 섞여 있는 것이 아니라 설탕 분자가 물과 혼합된 상태이므로 중력의 영향을 받아 시간이 지나면 설탕 분자가 아래쪽으로 이동하게 된다. 결국, 설탕물은 위쪽과 아래쪽의 농도가 다른 상태가 되며, 빛의 속도는 깊이에만 관련 있는 값이 된다.

굴절률(속도)이 깊이에만 영향을 받지만 어떤 경향을 나타내는지는 정확하게 알려지지 않았다. 일부 연구(예:[20])에서 깊이에 따른 설탕물의 굴절률을 측정하여 측정값을 잘 설명하는 함수를 제시하였지만, 굴절률은 설탕물이 담긴 용기의 모양에도 영향을 받을 뿐만 아니라 시간이 지남에 따라서도 변하기 때문에 특정한 함수로 정할 수는 없다. 본 연구에서는 깊이에 따른 굴절률(또는 속도)에 대한 여러 가지 모형을 세웠는데, 그중에서 유의미한 식의 모양을 제시하는 두 가지 모형을 선정하였다. 첫 번째는 깊이에 따라 빛의 속도가 일정하게 감소하는 모형이고, 두 번째는 깊이에 따라 굴절률이 일정하게 증가하는 모형이다. 두 가지 모형은 유사하지만, 수학적인 표현이 다르다. 결과적으로 빛의 경로를 나타내는 식이 다르게 나타날 것이기 때문에 각각 수행한 결과를 제시하였다.

수학적으로 구한 경로와 실제 빛의 진행 경로가 비슷한 경로를 나타내는지를 확인하기 위해 실험을 수행했다. Figure 1과 같이 빛 관찰 수조 속에 짙은 농도의 설탕물을 넣고, 위쪽에 물을 채워 넣고 조심스럽게 섞어 위쪽과 아래쪽의 굴절률이 다르게 만들었다. 설탕물의 표면의 흔들림이 멈출 때까지 십여 분의 시간을 기다린 이후에 레이저를 쏘아 빛이 휘어져 진행하는 것을 관찰하였다. 짧은 시간 동안 빛의 진행 경로가 일정하게 유지하는 것을 확인한 이후에 빛의 휘어지는 모습을 사진으로 촬영했다. 수학적으로 구한 경로와 빛의 경로의 일치 정도를 확인하기 위해 두 지점을 정하였는데, 아래쪽을 원점(0, 0)으로 하고, 다른 한 점은 (23.5cm, 3.4cm)으로 정하였다. 당도계를 이용하여 측정한 결과, (0, 0) 위치의 당도는 32.3%이고, (23.5cm, 3.4cm) 위치의 당도는 19.6%였다. Brix %와 굴절률 비교표를 통해 구한 굴절률은 각각 1.385, 1.363이었다. 본 연구에서는 모형 1을 이용하여 수학적인 방법으로 구한 식에 굴절률과 위치를 입력하여 구한 경로와 실험에서 빛의 경로를 그림으로 비교하였다. 수학적인 방법은 위쪽에서 아래쪽으로 빛이 이동하는 경로를 구한 것이었다. 일반적으로 빛의 이동 경로는 반대 방향으로 진행시켜도 동일한 경로를 나타내기 때문에 실험은 아래쪽에서 위쪽으로 빛이 진행하도록 수행시켜 두 경로를 비교하였다. 또한 좌우가 대칭 형태로 나타나므로 절반의 경로만 비교했다.

Figure 1. (Color online) Experimental conditions for bending light in sugar solution.

설탕물에서의 빛의 진행은 연속적인 굴절 과정으로도 해석할 수 있다. 따라서 Fig. 2와 같이 설탕물을 깊이에 따라 여러 층으로 구분하고 각 층의 경계에서 스넬 법칙을 연속적으로 적용하여 다음과 같은 식으로 빛의 진행 경로를 구할 수 있다.

Figure 2. (Color online) Simulation model of light bending in sugar solution.

n1sinθ1=n2sinθ2θ2=sin-1n1n2sinθ1
x1=Δytanθ1,x2=x1+Δytanθ2

본 연구에서는 Python과 Excel을 이용한 시뮬레이션을 통해 빛의 진행 경로를 구하였고, 이를 수학적으로 구한 경로와 비교하였다.

1. 설탕물 속에서 빛의 진행 경로에 대한 수학적 해석

Figure 3과 같이 O점에서 출발해서 (x1, y1)에 이르는 최단 시간을 따르는 경로 y=f(x)를 구하고자 한다.

Figure 3. Setting for mathematical analysis.

빛의 진행속도는 v=dsdt이고, ds=dx2+dy2이다. 빛의 속도는 깊이에만 관계하므로 v=v(y)이다. 따라서 dt=dsv=1vdx2+dy2=1v(y)1+dxdy2dy=1v(y)1+x2dy 이고, O점에서 (x1, y1)에 이르는 시간은 T=dt=t0x11v(y)1+x2dy이다.

여기서 f(y,:x,:x)=1v(y)1+(x)2라 하자. T가 극값을 갖게 하는 함수 f

fx-ddyfx=0

를 만족시킨다. 즉, 이 오일러 방정식을 만족하는 경로가 빛의 이동 경로가 된다.

여기서 x=dxdy, f(y,:x,:x)=1v(y)1+(x)2이므로 fx=0이다. 따라서 함수 f가 만족시키는 미분 방정식인 오일러 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

0=ddyfx,fx=const
fx=xv(y)1+x2=const

매질 내에서의 빛의 속도는 v(y)=cn(y) (c= 진공 중 빛의 속도, 약 3.0×108m/s)이므로

n(y)xc1+x2=const

이고, k=n(y)x1+x2인 상수 k를 정의하면, x=dxdy=kn(y)2-k2로부터

dx=kn(y)2-k2dy

와 같이 빛의 경로를 나타내는 식을 구할 수 있다. 또는 k=n(y)x1+x2=cxv(y)1+x2를 이용하면,

dx=kcv(y)2-k2dy

로 나타낼 수 있다.

굴절률에 대한 정보 n(y) 또는 속력에 대한 정보 v(y)를 알면 적분을 통해 빛의 경로 y=f(x)를 구할 수 있다.

1) 모형 1: 깊이에 비례하여 속도가 감소하는 경우

설탕이 아래쪽에 짙게 형성되기 때문에 설탕물의 굴절률은 깊이에 따라서 증가한다. 이때 굴절률이 증가하는 정도는 빛의 속도가 일정하게 감소하는 경우로 가정하자. 즉, 다음과 같이 굴절률 n(y), 속력 v(y)에 대한 모형을 설정할 수 있다.

n(y)=1a-by,v(y)=cn(y)=c(a-by)=v0-my

(a, b, m은 임의의 수)


오일러 방정식으로 부터 구한 식 dx=kcv(y)2-k2dy 로부터 x=dy=kc(v0-my)2-k2dy=1mck2-(v0-my)2+C이고, x(0)=0로부터 C=-1mck2-v02이다. 이 식을 정리하면 (x,:y)의 경로는

x+1m ck2v022+yv0m2=cmk2

이다. 즉, 속도가 깊이에 비례하여 감소하는 형태로 굴절률이 정해지는 설탕물 속에서 빛이 진행하는 경로는 원의 경로를 나타낸다. 여기서 ky(x1)=y1으로부터 구할 수 있다.

2) 모형 2: 깊이에 비례하여 굴절률이 증가하는 경우

굴절률이 깊이에 비례하여 일정하게 증가하는 경우를 생각해보자. 이때 다음과 같이 굴절률 n(y)에 대한 모형을 설정할 수 있다.

n(y)=n0+my(m: 임의의 상수)

오일러 방정식으로 부터 구한 식 dx=kn(y)2-k2dy로부터

x =dy=k(n0+my)2-k2dy=kmln(n0+my)2-k2+(n0+my)+C

을 구할 수 있다. 즉, 굴절률이 선형으로 증가하는 경우에 설탕물 속에서 빛이 진행하는 경로는 로그 그래프의 형태를 나타낸다. 이때 상수 C'은 y(0)=0로부터 C=-kmlnn02-k2+n0이고, ky(x1)=y1으로부터 구할 수 있다.

2. 실험 결과 및 시뮬레이션 결과와의 비교

수학적으로 구한 빛의 경로에서 미지수를 구하기 위해 실험을 통해 구한 굴절률 정보 n(y)와 위치정보 (x1,:y1)를 사용하였다. 깊이에 따라 속력이 일정하게 감소하는 모형 1과 굴절률이 일정하게 증가하는 모형 2에 대해 각각 위치를 그래프로 나타낸 결과를 Fig. 4, 5에 나타내었다. 데이터간 차이를 오차율(a-b/(aorb))로 분석하였더니 평균 오차율이 0.054%로 두 경로가 거의 일치함을 보였다. 모형 1은 원이고, 모형 2는 로그를 나타내었지만 두 식이 나타내는 값은 거의 일치하는 것을 알 수 있다.

Figure 4. (Color online) Path of light (model 1).

Figure 5. (Color online) Path of light (model 2).

페르마의 원리를 이용하여 구한 빛의 경로가 실제 실험 결과와 어느 정도 일치하는지 살펴보기 위해 모형 1로 구한 경로를 실험 사진과 겹쳐서 Fig. 6에 제시하였다. 그림에서 붉은색이 레이저가 진행한 경로이고, 파란색 점이 페르마의 원리를 이용하여 구한 식(원)을 나타낸 것이다. 두 경로가 거의 일치함을 확인할 수 있고, 이를 통해 페르마의 원리를 이용하여 구한 수학식이 실제 물리 세계를 잘 나타냄을 알 수 있다.

Figure 6. (Color online) Comparison of experimental results and mathematical equations.

설탕물을 깊이에 따라 일정한 간격으로 나누어 연속적으로 스넬 법칙을 적용한 시뮬레이션 결과를 Fig. 7에 제시하였다. 시뮬레이션을 통해 구한 빛의 경로와 페르마의 원리를 이용하여 구한 수학식의 경로의 평균 오차율은 0.052%로 거의 일치함을 보였다.

Figure 7. Path of light (simulation).

본 연구에서는 신기한 물리 현상으로 잘 알려진 짙은 설탕물 속에서 빛이 휘어져 진행하는 현상을 수학적으로 해석하고 실험, 시뮬레이션 결과와 비교하였다. 수학적 해석은 페르마의 원리를 이용하여 빛이 두 점 사이에 최단 시간 경로를 따른다는 것을 이용하였다. 빛의 속도는 굴절률에 관련되는데, 설탕물 속에서 굴절률은 깊이에만 관련되어 있다. 따라서 최소 시간을 나타내는 경로를 구하는데 사용되는 오일러 방정식이 적분으로 간단하게 바뀐다.

빛의 속도가 깊이에 비례하여 감소하는 모형 1에 대한 빛의 이동 경로는 원의 형태이고, 굴절률이 깊이에 비례하여 증가하는 모형 2에 대한 빛의 이동 경로는 로그 형태로 나타났다. 실험 조건을 대입하였을 때, 모형 1과 모형 2의 차이는 0.054%로 매우 작았다. 페르마의 원리로부터 구한 빛의 이동 경로는 실험을 통해 구한 빛의 경로와 매우 일치하였으며, 설탕물의 깊이를 등간격으로 나누어 연속적으로 스넬 법칙을 적용하여 빛의 경로를 구한 시뮬레이션의 결과와도 오차율 0.052%로 거의 일치하였다.

이상과 같이 본 연구에서는 페르마의 원리를 이용하여 설탕물 속에서의 빛의 진행 경로를 구하였다. 이 과정은 물리학에서 수학이 좋은 연구 도구임을 보여주는 예로 활용될 수 있을 것이다. 본 연구에서 페르마의 원리를 적용하여 결과적으로 오일러 방정식이 만들어지는 과정은 대학교 2학년 이상의 수준에서 배우는 내용이기 때문에 고등학생에게는 어려움이 있을 수 있다. 물론 고등학생도 수학 과제연구 활동으로 오일러 방정식을 다루곤 한다. 특히 중력장 하에서 가장 빠른 경로가 사이클로이드라는 것을 밝히는 활동을 학습하는 학생들이 많은데, 그 과정이 본 연구에서 페르마의 원리를 이용해 빛의 경로를 구하는 과정과 매우 유사하다. 오일러 방정식을 제시해준다면 굴절률이 깊이에만 관련되어 있기 때문에 비교적 쉽게 빛의 경로를 찾아낼 수 있을 것이다. 따라서 교사의 적절한 도움을 통해 고등학생의 심화학습으로 활용될 수 있을 것이다.

특히 본 활동은 모형의 사용을 학습하는 기회를 제공할 수 있다. 빛의 경로에 대한 일반화된 식을 구해도 그것을 실제 상황에 적용하기 위해서는 적절한 모형이 필요하다. 모형은 빛의 속도에 영향을 주는 요인인 설탕물의 농도(굴절률), 온도 등 여러 가지에 의해 결정될 것이다. 본 연구에서는 수평 방향으로는 설탕물의 굴절률이 일정하고, 수직 방향(깊이)에 따라 굴절률이 변하는 상황을 가정하고 깊이에 비례하여 속도가 감소하는 모형과 깊이에 비례하여 굴절률이 증가하는 두 가지 모형에 대한 결과를 제시했다. 이 두 모형은 깊이에 따라 굴절률이 증가하는 가장 단순한 모델로, 본 연구에서는 여러 모형을 이용해 시험해본 후에 해석적으로 계산이 가능한 경우만 선택해 제시한 것이다. 그런데 깊이에 따라 굴절률이 증가하는 형태의 함수는 무수히 많다. 따라서 학생들은 각자 자기만의 다양한 모형을 만들어보고 결과를 구해 실험 결과와 비교해볼 수 있을 것이다. 이를 통해서 모형을 생성하고 실제 현상과 비교하는 과정으로 모형을 확인하는 경험을 할 수 있을 것이다.

본 연구에서 수학적 해석, 실험, 시뮬레이션 등을 통해 구한 결과들이 유사하다는 것을 보여주었다. 물리학에서 결과를 얻는 방법으로는 여러 가지가 있는데, 이론연구자들은 주로 수학적인 해석을 하거나 시뮬레이션을 하고, 실험연구자들은 실험을 통해 결과를 얻곤 한다. 학생들은 설탕물에서 빛이 휘어져 진행하는 현상을 여러 가지 방법으로 해석할 수 있다는 사실을 체험하고 이들의 결과가 유사하게 나옴을 통해 결과를 얻는 여러 가지 방법들이 모두 가능함을 인식할 수 있을 것이다. 이러한 사실은 학생들의 과학 탐구에 대한 본성을 이해하는 데 도움이 될 수 있다.

설탕물에서의 빛이 휘어지는 현상은 잘 알려져 있기는 하지만 흔히 볼 수 있는 현상은 아니다. 고등학교에서는 단일한 매질 속에서 빛은 직진하며, 굴절률이 다른 매질의 경계면에서 스넬법칙에 의해 굴절하여 진행한다는 것을 학습한다. 일부 교과서에서는 짙은 설탕물이나 불균일하게 가열된 공기와 같이 비균일한 매질에서의 빛의 진행을 정성적으로 다루고 있다. 이러한 과정으로 나타나는 예가 바로 신기루이다. 신기루는 지표의 불균일한 가열로 지표 근처의 공기 온도가 높이에 따라 달라지고 이로 인해 빛이 휘어져 진행하여 나타나는 현상이다. 고등학교 교과서에서도 제시되어 있고, 과학 영재교육 프로그램으로도 자주 탐구되는 주제이다[21]. 본 연구에서 다룬 설탕물에서의 빛이 휘어지는 현상은 신기루의 원리와 동일하다. 따라서 학생들에게 교과서에 제시된 현상을 물리적으로 설명하는 심화학습으로 본 연구의 결과를 활용할 수 있을 것이다.

다만 본 연구에서는 모형을 검증하는 과정을 포함하지 못했다. 모형을 통해 구한 빛의 경로를 실험을 통해 구한 빛의 경로와 같이 나타내서 그 형태가 유사하다는 것을 밝혔지만, 중등학교 실험실 수준에서 사용할 수 있는 수조와 레이저를 이용하여 얻어낸 빛의 경로는 그 규모가 작아서 정밀한 비교를 할 수 없었다. 본 연구의 주된 목적이 설탕물 속에서의 빛의 경로를 구하는 수학적인 방법을 제시하고, 몇 가지 모형을 통해 실제 현상과 비교해보는 것이지만, 좀 더 크기가 큰 규모와 정밀성을 갖춘 실험을 통해 구한 결과와 모형에 대한 결과의 비교를 통해 모형의 검증이 진행된다면 더 의미가 큰 연구가 될 것으로 기대한다.

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