npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2024; 74: 535-544

Published online June 28, 2024 https://doi.org/10.3938/NPSM.74.535

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

A Simple Optical Method for the Precise Determination of Helical Pitch of Cholesteric Liquid Crystal

콜레스테릭 액정의 피치를 정밀하게 결정하는 간단한 광학적 방법

Gun Yeup Kim, Chong Hoon Kwak*

Department of Physics, Yeungnam University, Gyeongsan 38541, Korea

Correspondence to:*chkwak@ynu.ac.kr

Received: March 14, 2024; Revised: April 12, 2024; Accepted: April 24, 2024

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

We fabricated cholesteric liquid crystal (CLC) cells with doping several chiral concentrations in host nematic liquid crystal and measured transmittance spectra for various incident angles. It is found that as increasing incidence angle θair, the central Bragg wavelength λB(θair) gradually shifted toward shorter wavelength, while the corresponding bandwidth Δλ of the transmittance is broaden, showing good agreement with the theoretical predictions. We estimate the pitches of the fabricated CLC cells from λB(θair) in Bragg reflection or stopband region of transmittance spectra. We also compared the estimated pitches from central Bragg wavelength by theoretical expression for transmittance spectra at monochromic wavelength and showed good agreement.

Keywords: Cholesteric liquid crystal, Coupled wave theory, Chirality, Pitch

콜레스테릭 액정의 피치를 결정할 수 있는 간단한 광학적 방법을 제안하고, 결합 파동 이론에 기초하여 파장, 피치 및 입사각에 대한 해석적 투과율 식을 유도하였다. 네마틱 액정에 농도를 달리한 카이랄 도펀트를 혼합하여 콜레스테릭 액정셀을 제작하였고, 다양한 입사각에 대한 투과율 스펙트럼을 측정하였다. 입사각 θair가 증가함에 따라 브래그 중심 파장 λB(θair)는 점차 짧은 파장으로 이동하며, 밴드폭 Δλ는 넓어짐을 확인하였으며 이론적인 예측과 잘 일치함을 알 수 있었다. 투과율 스펙트럼의 브래그 반사 영역 또는 금지 영역의 λB(θair)에서 결정한 콜레스테릭 액정의 피치들과, 단일 파장에서 입사각에 따른 투과율 스펙트럼을 유도한 해석적 투과율 식으로 시늉내기하여 결정한 피치들을 서로 비교하였으며 잘 일치함을 알 수 있었다.

Keywords: 콜레스테릭 액정, 결합 파동 이론, 카이랄성, 피치

액정 분자들의 평균적인 배열을 나타내는 척도인 방향자 (director)가 나선축 (helical axis)을 기준으로 층상 구조로 회전하는 형태를 가진 콜레스테릭 액정 (cholesteric liquid crystal, CLC)은[1], 호스트인 비카이랄 네마틱 액정 (achiral nematic liquid)에 게스트인 카이랄 도펀트 (chiral dopant)를 첨가하여 제작한다. CLC 나선형 구조의 핵심적인 요소로 나선축을 기준으로 회전하는 방향과 방향자가 한 바퀴 회전하는 동안 나선 축의 거리인 피치가 중요한 역할을 한다. 회전 방향은 나선축을 기준으로 방향자의 회전이 시계 방향 (right handedness, 우선성, dextrorotatory, +부호) 또는 반시계 방향 (left handedness, 좌선성, levorotatory, -부호)을 나타내며, 피치 p는 첨가된 카이랄 도펀트의 농도 c와 카이랄 도펀트의 나선 회전력 (helical twisting power, HTP) β 사이의 관계식 β=100/pc 을 통해 결정된다. CLC는 그 특유의 나선형 구조로 인해 다양한 센서로서 응용이 가능한데, 수소 결합된 콜레스테릭 액정 (hydrogen bonded cholesteric liquid crystal)을 기반으로 미량의 화학물질의 변화를 검출할 수 있는 pH 센서 (pH Sensors)[2], 아미노산 센서 (amino acid sensor)[3], 아민 센서 (amine sensor)[4]가 있으며, 흡습성 카르복실산 콜레스테릭 액정 (hygroscopic carboxylic salt cholesteric liquid crystal)을 사용하여 대기중의 습도 변화를 검출할 수 있는 습도 센서 (humidity sensors)[5]나 알코올 센서 (alcohol sensors)[6, 7], 서로 다른 두 종류의 카이랄 도펀트를 주입한 열반응 콜레스테릭 다중체 (thermal-responsive cholesteric polymer)를 이용한 온도 센서 (temperature sensors)[8], 외력에 의한 콜레스테릭 액정 필름의 변형을 측정하는 변형 센서 (strain sensors)[9] 등이 있다. 이런 센서들의 공통점은 외부 요인으로 인해 변화된 콜레스테릭 액정의 피치를 검출하는 관계로 센서들의 정밀도를 높이기 위해서는 피치를 정확하게 측정할 필요가 있다. 일반적으로 피치를 측정하는 방법으로는 크게 3가지 방법으로 구분할 수 있다. 첫 번째로는 두 장의 유리 기판 사이에 일정한 공간자 (spacer)를 한쪽에만 배치하여 쐐기처럼 만든 후 그 사이에 콜레스테릭 액정을 주입하여 만든 카노 쐐기 (Cano wedge)에서 유리 기판 간격의 점진적인 변화로 인해 기판에서 관찰되는 그랑장 조직 (Grandjean texture)으로 피치를 결정하는 카노 쐐기 방법 (Cano wedge method)[1, 10]이 있으며, 두 번째로는 편광 현미경으로 콜레스테릭 액정에서 관찰된 지문 조직 (fingerprint texture)으로 피치를 구하는 방법[1]이 있다. 세 번째로는 나선형 구조의 콜레스테릭 액정에서 나선축에 수직으로 빛을 입사하여 회절된 1차 빔을 통해 피치를 결정하는 방법[11]이 있다. 카노 쐐기 방법은 간단하고 정밀하게 피치를 결정할 수 있다는 장점이 있지만 사용되는 공간자의 크기를 정밀하게 측정해야 하는 단점이 있으며, 지문 조직으로 피치를 구하는 방법은 편광 현미경을 통한 관찰로 피치를 결정할 수 있다는 장점이 있지만 현미경 대물렌즈의 분해 능력 제약으로 인해 피치가 작을 때 측정하기 어렵다는 단점이 있다. 또한 콜레스테릭 액정의 나선축과 수직 방향으로 빛을 입사하는 방법은 콜레스테릭 액정을 기존의 회절 격자와 원리적으로 동일하게 고려하는 관계로 실험적으로 복잡하지 않다는 장점이 있지만 제작 과정이 다소 복잡하다는 단점이 있다.

본 논문에서는 콜레스테릭 액정에 입사각에 따라 측정한 투과율 스펙트럼으로부터 피치를 결정하는 방법을 제안하고, 결합 파동 이론으로부터 해석식을 유도하였다. 다양한 농도의 카이랄 도펀트가 첨가된 콜레스테릭 액정셀을 제작하여, 입사각에 대한 브래그 중심 파장의 변화 및 피치를 구하고 유도한 이론과 비교하여 좋은 결과를 얻었다.

1. 콜레스테릭 액정의 결합 파동 방정식 유도

z축 방향으로 주기성을 가진 콜레스테릭 액정에서 한 주기에 해당하는 피치 길이가 p일 때, 나선축 (spiral axis)을 기준으로 콜레스테릭 액정 매질내의 유전율 텐서는 다음과 같이 3×3 행렬로 나타낼 수 있다.

ε(z)εo=ε¯+12Δεcos2qz±12Δεsin2qz0±12Δεsin2qzε¯12Δεcos2qz000ε

여기서 εo는 진공에서 유전율, q=2π/p는 격자파 벡터의 크기, ε¯=(ε+ε)/2는 평균 유전율, Δε=ε-ε는 비등방 유전율이며 εε는 각각 유전율 텐서에서 주치 (principal value)의 유전율이다. 행렬 안에 포함된 ±부호에서 +부호는 우선성 콜레스테릭 액정 (Right-handed CLC, RH-CLC)을, -부호는 좌선성 콜레스테릭 액정 (Left-handed CLC, LH-CLC)을 의미한다. 결합 파동 방정식을 유도하기 위해 Eq. (1)은 Eqs. (2)와 같이 변환하는 것이 편리하다.

ε(z)εo=ε¯100010001+Δε2000000001+Δε41i0i10000e2iqz+Δε41i0i10000e2iqz
ε(z)εo=ε¯100010001+Δε2000000001+Δε41i0i10000e2iqz+Δε41i0i10000e2iqz

Equation (2a)와 Eq. (2b)는 각각 RH-CLC 및 LH-CLC의 유전율 텐서를 나타낸다. Equation (2a)에서 격자파 벡터 크기 q를 -q로 치환하면 Eq. (2b)와 같은 형태가 되며, 그 반대도 성립한다. CLC 매질 안에서 z축으로 진행하는 광파의 파동 방정식은

2Ez2ε(z)c22Et2=0

로 주어지며, E(r,t)=E(r)e-iωt는 전기장 벡터이고 ω는 각주파수, c는 진공에서의 광속이다.

격자파 벡터 크기의 부호를 서로 치환하면 (q-q), RH-CLC와 LH-CLC의 유전율 텐서가 같으므로 본 논문에서는 RH-CLC 즉, 우선성 콜레스테릭 액정에 대해서만 다루기로 한다. RH-CLC 회절격자 경계면 (z=0)의 법선에 대해 진공에서 입사각 θair로 비스듬히 입사하는 전기장 (obliquely incident electric field)의 CLC 매질 내의 파수 벡터는 kclc=kn¯(sinθclc,0,cosθclc)로 주어진다. 여기서 k(=2π/λ)는 진공에서의 파수, λ는 진공에서 파장, n¯는 CLC 매질의 평균 굴절률로 n¯=(ne2+no2)/2=(ε+ε)/2=ε¯이며, neno는 각각 CLC 매질에서 이상 및 정상 굴절률이다. 한편, CLC 매질 내의 입사각 θclc는 스넬의 법칙에 따라 nairsinθair=n¯sinθclc의 관계식으로 주어진다. CLC 격자 내에서 전기장 벡터를 입사 광파와 회절 광파들의 무한한 평면파들의 중첩이라고 가정하자. 이때 평면파들의 각각의 진폭을 Sm(z)라 하면, 전체 전기장 벡터는

E(r,t)= j=x,y,zm=S m,j(z)ej^exp[i(σmrωt)]

로 표현할 수 있다. 여기서, ej^(j=x,y,z)는 3차원 직교 좌표계의 단위 벡터, Sm,j(z)m차 회절 파동 벡터 Sm(z)ej^(j=x,y,z) 성분을 나타내며 σm=kclc-mqe^zm차 회절파 벡터이다. 입사파의 파수 벡터 kclc와 회절파의 파수 벡터 σm의 벡터 관계로부터 회절 차수가 m>0인 경우 Sm(>0),j는 후방 회절파 (backward diffracted waves)가 되며, 회절 차수가 m<0인 경우 Sm(<0),j는 전방 회절파 (forward diffracted waves)가 된다. 그리고 m=0은 입사파 또는 입사파와 같은 방향의 투과파를 나타낸다. 나선형 구조인 콜레스테릭 매질에서 전기장 벡터를 모두 데카르트 직교 좌표계의 기저 벡터 ej^(j=x,y,z)로 기술하기보다 다음과 같이 두 개의 원형 존스 기저 벡터 (circular Jones basis vectors) e^±와 한 개의 데카르트 기저 벡터 e^z로 표현하면 파동의 회절을 보다 편리하게 기술할 수 있다.

e^±=12(e^xie^y)=121i0,  e^z=001.

따라서 m차 회절 파동 벡터 Sm(z)=j=x,y,zSm,j(z)e^j

Sm(z)=Sm+(z)e^++Sm(z)e^+Sm,z(z)e^z

와 같이 표현할 수 있다. 여기서 원형 성분 (circular components)은 Sm±=(Sm,x±iSm,y)/2로 주어지며, 광파의 진행 방향에 따라 편광 상태는 우향 원편광 (Right Circularly Polarized wave; RCP) 또는 좌향 원편광 (Left Circularly Polarized wave; LCP)이 된다. 역으로 원형 성분에서 데카르트 직교 성분들은 Sm,x=(Sm++Sm-)/2Sm,y=-i(Sm+-Sm-)/2로 변환 가능하다. Equation (6)과 Eq. (4)를 Eq. (3)에 대입하여 exp[i(σm·r-ωt)] 항과 같은 계수들을 모아서 정리하면, Eqs. (7)과 같은 결합 파동 방정식을 얻는다.

d2Sm+dz2+2iσm,zdSm+dz+(k2ε¯σmσm)Sm++k2Δε2Sm+2=0,
d2Smdz2+2iσm,zdSmdz+(k2ε¯σmσm)Sm+k2Δε2Sm2+=0,
d2Sm,zdz2+2iσm,zdSm,zdz+(k2ε¯σmσm)Sm,zk2Δε2Sm,z=0

여기서 m(=0, ±1, ±2, ⋯)은 회절 차수, σm,z=kclccosθclc-mq, kclc=ωn¯/c=2πn¯/λ는 CLC 매질 내의 파수이다. 선형 흡수를 고려하지 않을 경우, n¯2=ε¯이므로 k2ε¯-σm·σm=mq(2kclccosθclc-mq)가 된다. 특히 Eq. (7a)와 Eq. (7b)는 서로 결합되어 있는 반면, Eq. (7c)의 Sm,z는 독립적인 방정식임을 주의하자. 파동 벡터의 진폭 Sm(z)이 천천히 변하는 진폭 근사 (slowly-varying amplitude approximation, SVAA)를 가정하면, Eqs. (7)에서 최고 고차항인 2차 미분항은 d2Sm/dz2kclcdSm/dz이 되므로, Eqs. (7)은

CmdSm+dziϑmSm+=iκSm+2
CmdSmdziϑmSm=iκSm2+
CmdSm,zdz+i(κϑm)Sm,z=0

로 쓸 수 있다. 여기서 Cm=cosθclc-mq/kclcm(0)차 회절파의 경사 인자 (obliquity factor), ϑm=mq[cosθclc-mq/(2kclc)]는 위상 부정합 (phase mismatch 또는 dephasing measure), κ=kclcδ/2는 결합 상수 (coupling coefficient), δ=(ε-ε)/(ε+ε)는 회절 격자의 축적된 이방성 (scaled anisotropy)이다. 위상 부정합 ϑm은 입사광과 m(0)차 회절광 사이의 위상이 어긋나는 비율의 척도이며, ϑm이 클수록 매질을 진행하면서 더 큰 상쇄 간섭을 일으킨다. 위상 부정합이 ϑm=0인 경우, 즉 브래그 회절 조건 (Bragg diffraction condition)을 만족하는 경우 2kclccosθclc=mq가 되므로 공기 중에서 입사광과 CLC 매질의 굴절광에 대한 스넬 법칙 (Snell’s law) nairsinθair=n¯sinθclc을 사용하면, 다음과 같은 m(0)차 회절광의 브래그 중심 파장 (central Bragg wavelength) λB(θair)관계식을 얻을 수 있다[12].

λB(θair)=2λB(0)m1nairsinθairn¯2

여기서 λB(0)=pn¯는 수직 입사 (θair=0)인 경우 브래그 중심 파장이다. 실험 부분에서 따로 언급을 하겠지만, Eq. (9)는 입사각 θair에 따른 투과율 스펙트럼의 브래그 중심 파장 변화를 통해 CLC 매질의 피치를 결정할 수 있는 유용한 관계식이다.

2. 2광파 결합 파동 방정식 (two-wave coupled wave equation)

앞 절에서 유도한 일반적인 결합 파동 방정식의 해석적 해를 얻기 전에 독립적인 미분 방정식인 Eq. (8c)의 해를 구할 수 있다. Equation (8c)에서 m차 회절파의 z 성분 Sm,z(z)

Sm,z(z)=Sm,z(0)expiκϑm Cm z

와 같이 주어진다. 여기서, Sm,z(0)는 입사면 z=0에서의 상수 진폭이다. 광파의 세기는 Im,z|Sm,z(z)|2=|Sm,z(0)|2로 일정하며, 선형 흡수를 무시하면 매질 통과 전후로 세기의 변화는 없다. 따라서 앞으로 논의할 내용에서 Eq. (8c)는 무시하기로 한다. Kogelnik의 부피 홀로그램 (volume hologram)에 대한 2광파 결합 파동 이론 (two-wave coupled wave theory)을 채택하여 이론을 전개한다[13].

Figure 1과 같이 매질을 진행하는 2광파는 직접 투과한 광파 (directly transmitted wave)와 후방으로 회절한 광파 (backward diffracted wave)의 결합인 반사형 회절격자 (reflection gratings)와, 직접 투과한 광파와 전방으로 회절한 광파 (forward diffracted wave)의 결합인 투과형 회절격자 (transmission gratings)로 구분할 수 있다. 직접 투과한 광파는 홀로그램을 읽어 내는 광파인 동시에 여러 회절파를 생성하는 근원파 (source wave) S0±이다. Equation (8a)와 Eq. (8b)를 참고하면, 반사형 회절격자는 파수 벡터가 σ0=kclc,(m=0)인 직접 투과된 광파 S0+와 파수 벡터 σ+2=kin-2qe^z,(m=+2)인 후방 회절 된 파 S2-로 나타낼 수 있는 반면에 투과형 회절격자는 파수 벡터가 σ0=kclc,(m=0)인 직접 투과한 광파 S0-와 파수 벡터 σ-2=kin+2qe^z,(m=-2)인 전방 회절한 파 S-2+의 결합으로 나타낼 수 있다. m=0,±2를 제외한 다른 회절 차수들은 근원파 S0±와 결합되지 않을 뿐만 아니라 다른 회절 파동으로부터 파생된 회절 파동이므로 본 논문에서는 무시한다.

Figure 1. Schematic diagram of CLC grating.

1) 반사형 회절 격자

Equation (8a)과 Eq. (8b)로부터 반사형 회절격자에 대한 두 광파의 결합 파동 방정식은

C0dS0+dz=iκS2
C2dS2dziϑ2S2=iκS0+

가 된다. 여기서, m=0 및 m=+2인 경사 인자는 C0=cosθclcC2=cosθclc-2q/kclc, 위상 부정합은 ϑ2=2q(cosθclc-q/kclc), 결합 상수는 κ=kinδ/2이다. 브래그 회절 영역 근처에서 위상 부정합은 ϑ20이므로 0차 및 +2차 경사 인자의 부호는 각각 C0>0C2<0이며, 이 경우 Eq. (9)는 λB(θair)=λB(0)1-nairsinθairn¯2가 된다. Equation (6)과 RH-CLC 매질임을 고려하면 직접 투과된 광 S0+(z)의 편광 상태는 우향 원편광 (Right Circularly Polarized wave; RCP), 즉, S0+e^+이며 후방으로 회절된 광파 S2-(z) 또한 우향 원편광 상태, 즉 S2-e^-가 된다. 반사형 결합 파동 방정식 Eqs. (11)을 풀기 위해 S2-(z)를 소거하면 다음과 같은 S0+(z)에 대한 2계 미분 방정식을 얻는다.

d2S0+dz2iϑ2C2dS0+dz+κ2C0C2S0+=0.

경계조건 S0+(z=0)=const.S2-(z=l)=0을 적용하여 계산하면 다음의 해를 얻을 수 있다.

S0+(z)=eiΔkRz/2sRcosh[sR(lz)]+iΔkR2sinh[sR(lz)]sRcosh(sRl)+iΔkR2sinh(sRl)S0+(0)
S2(z)=iC0C2eiΔkRz/2κRsinh[sR(lz)]sRcosh(sRl)+iΔkR2sinh(sRl)S0+(0)

여기서, z=l은 매질의 두께이며, Eqs. (13)의 주요 매개변수들은 다음과 같이 주어진다.

sR=κR2ΔkR 22,κR=κ|C0C2|,ΔkR2=ϑ22C2,C0=cosθclc,C2=cosθclc2q/kclc,ϑ2=2q(cosθclcq/kclc).

매개변수의 아래 첨자 R은 반사형 회절 격자를 뜻하며, 모두 θair 또는 θclc 종속성을 가지고 있다. 반사형 회절 격자의 입사광 S0+와 회절광 S2-는 모두 우향 원편광 (RCP wave)이며, 투과율 (transmittance)과 반사율 (reflectance)을 다음과 같이 각각 TRCP=|S0+(l)|2/|S0+(0)|2/|S0+(0)|2로 정의하면 다음과 같은 투과율과 반사율 식을 얻을 수 있다.

TRCP=|S0+(l)|2|S0+(0)|2=sR2sR2cosh2(sRl)+(ΔkR/2)2sinh2(sRl),
RRCP=|C2||C0||S2(0)|2|S0+(0)|2=κR2sinh2(sRl)sR2cosh2(sR2l)+(ΔkR/2)2sinh2(sRl).

Equations (15)는 (선형) 흡수를 무시한 경우이므로 에너지 보존 TRCP+RRCP=1가 성립함을 알 수 있다.

2) 투과형 회절 격자

Equation (8a)와 Eq. (8b)로부터 투과형 회절격자에 대한 두 광파의 결합 파동 방정식은

C0dS0dz=iκS2+,
C2dS2+dziϑ2S2+=iκS0

가 된다. 여기서, m=0 및 m=-2인 경사 인자는 C0=cosθclcC-2=cosθclc+2q/kclc, 위상 부정합은 ϑ-2=-2q(cosθin+q/kin), 결합 상수는 κ=kinδ/2이다. Equation (6)과 RH-CLC 매질임을 고려하면, 반사형 회절 격자와 달리 직접 투과하는 광 S0-(z)의 편광 상태는 좌향 원편광 (Left Circularly Polarized wave; LCP), 즉, S0-e^-인 반면, 전방으로 회절된 파 S-2+(z)는 우향 원편광 (RCP) 상태, 즉 S-2+e^+임을 주목할 필요가 있다. 이는 RH-CLC 매질에 좌향 원편광의 투과광 S0-(z)가 입사하면 대부분 투과하지만 극히 일부가 우향 원편광 S-2+(z)로 편광 변환 (polarization conversion)하여 회절됨을 의미한다. 반사형 결합 파동 방정식 Eqs. (11)을 푸는 과정과 동일하게 Eqs. (16)에서 S-2+(z)를 소거하면 S0-(z)에 대한 2계 미분 방정식을 얻을 수 있다.

d2S0dz2iϑ2C2dS0dz+κ2C0C2S0=0.

경계조건 S0-(z=0)=const.S-2+(z=0)=0을 적용해 계산하면 다음의 해를 얻을 수 있으며,

S0(z)=eiΔkTz/2cos(sTz)+iΔkT2sTsin(sTz)S0(0)
S2+(z)=iC0C2κTsTeiΔkTz/2sin(sTz)S0(0)

여기서 Eqs. (18)의 주요 매개변수들은 다음과 같이 주어진다.

sT=κT2iΔkT (θ)22,κT=κC0C2,ΔkT2=ϑ22C2,C0=cosθclc,C2=cosθclc+2q/kclc,ϑ2=2q(cosθclc+q/kclc).

매개변수의 아래 첨자 T는 투과형 회절 격자를 뜻하며, 반사형 회절 격자의 매개변수들과 마찬가지로 모두 θair 또는 θclc 종속성을 가지고 있다. 투과형 회절 격자의 입사광 S0-은 좌향 원편광 (LCP wave)이지만 회절광 S-2+는 우향 원편광 (RCP wave)이므로 투과율과 회절 효율 (diffraction efficiency) 관점에서 투과율 TLCP=|S0-(l)|2/|S0-(0)|2로, (편광 변환) 회절 효율 /|S0-(0)|2로 정의하면,

TLCP=|S0(l)|2|S0(0)|2=cos2(sTl)+(ΔkT /2)2κT2+(ΔkT /2)2sin2(sTl)
ηRCP=|C2||C0||S2+(l)|2|S0(0)|2=κT2κT2+(ΔkT /2)2sin2(sTl)

가 된다. Equations (20)은 (선형) 흡수를 무시한 경우이므로 에너지 보존 TLCP+ηRCP=1가 성립함을 알 수 있다. 실제 실험에서 사용하는 매질의 이상 및 정상 굴절률 ne=1.65, no=1.45와 피치 p=510 nm 및 매질의 두께 l=20 μm를 대입하여 Eqs. (20)의 투과율 스펙트럼과 회절효율의 크기를 비교하면 가시광선 영역에서 투과율의 크기는 TLCP0.9981, 회절 효율의 크기는 ηRCP0.0010이 되어 RH-CLC 회절격자에서 LCP 입사파는 거의 100% 투과한다는 것을 확인할 수 있다.

3) RH-CLC 회절 격자의 투과율 스펙트럼

(2.1)절과 (2.2)절에서 RH-CLC 홀로그램의 투과형 회절 격자와 반사형 회절 격자에 의한 투과율과 반사율을 유도하였다. 투과율과 반사율 스펙트럼을 측정할 때 주로 분광 광도계 (spectrophotometer)의 광원처럼 편광되지 않은 광원 (unpolarized wave)을 사용하여 측정한다. 따라서 편광되지 않은 입사 광원은 우향 원편광 광원 S0+(0)과 좌향 원편광 광원 S0-(0)이 선형 결합되어 임의의 모든 방향으로 분포한다고 가정할 수 있으므로 투과율은

Tunpol=|S0+(l)|2+|S0(l)|2|S0+(0)|2+|S0(0)|2=TRCP|S0+(0)|2+TLCP|S0(0)|2|S0+(0)|2+|S0(0)|2

와 같이 쓸 수 있다. 편광되지 않은 입사광을 시간 주기에 대해 평균하면 통계적으로 같은 세기 |S0+(0)|2=|S0-(0)|2를 가지며, 이상적인 RH-CLC인 경우 TLCP1이므로 Eq. (21)과 Eq. (15a)를 사용하면 편광되지 않은 광원의 투과율은

Tunpol=1+TRCP2=2sR2+κR2sinh2sRl2(sR2cosh2sRl+(ΔkR/2)2sinh2sRl)

가 되며, 선형 흡수를 무시하는 경우 에너지 보존 법칙에 따라 Tunpol+Runpol=1을 만족한다. Figure 2는 Eq. (22)를 사용하여 편광되지 않은 입사광의 이론적 투과율 스펙트럼을 공기에서 입사 각도 (a) θair=0, (b) θair=20, (c) θair=40, (d) θair=60에 따라 그린 그래프로 평균 굴절률 n¯=1.58, 두께 l=20 μm, 피치 p=420 nm 값을 사용하였다. 각도별로 중심파장은 λB(0)=665 nm, λB(20)=649 nm, λB(40)=606 nm, λB(60)=555 nm, 밴드폭은 Δλ(0)=63 nm, Δλ(20)=65 nm, Δλ(40)=69 nm, Δλ(60)=76 nm 로 이론적으로 예측한 바와 같이 입사 각도가 증가할수록 중심파장 (central wavelength) λB은 단파장으로 이동하는 동시에 밴드 폭 (bandwidth) Δλ도 넓어짐을 알 수 있다.

Figure 2. Theoretical transmittance spectra of RH-CLC cell with various oblique incidence angles from air on RH-CLC cell, (a) θair=0, (b) 20, (c) 40 and (d) 60. As increasing incidence angle, the central Bragg wavelength λB gradually shifted toward shorter wavelength, while the corresponding bandwidth Δλ of the transmittance is broaden.

Figure 3은 입사 각도에 따른 편광되지 않은 입사광의 이론적 투과율을 일정한 파장 (λ=633 nm) 에 대하여 Eq. (22)를 사용하여 그린 그래프이다. 동일한 평균 굴절율 n¯=1.58 및 두께 l = 20 μm 를 적용하여 그린 투과율 그래프에서 각각의 피치 (a) p = 520 nm, (b) p = 540 nm, (c) p = 560 nm에 따라 이론 그래프의 변화를 보여준다. 입사각의 미세 변화에 따라 투과율의 진폭은 매우 민감하게 진동하며 입사각이 증가할수록 진폭도 매우 커짐을 알 수 있다. 또한 피치가 커질수록 상대적인 진동폭은 점차 줄어듦을 알 수 있다.

Figure 3. Theoretical transmittance as a function of incidence angle in air at a fixed wavelength of λ=633 nm for various pitches of, (a) p=520 nm, (b) p=540 nm and (c) p=560 nm.

초음파 세척기 내에 아세톤, 메틸알코올 및 초순수 순으로 교체하면서 반복하여 유리 기판을 각각 20분간 세척한 다음, 질소 가스로 유리 기판에 남아 있는 불순물을 제거한다. 열판 (hot-plate) 위에 세척한 유리 기판을 두고 섭씨 100도로 10분간 열처리를 한다. 수평 배향액을 유리 기판 위에 떨어뜨린 후 스핀 코터에 유리 기판을 부착하여 1,000 rpm에서 10초, 3,500 rpm에서 20초 간 차례대로 회전시킨 후, 섭씨 100도에서 5분, 섭씨 180도에서 40분간 열처리한다. 열처리가 된 유리 기판에 러빙 기계를 사용하여 일정한 방향으로 균일하게 100회씩 러빙 (rubbing)을 한다. 크기가 20 μm인 비드 (bead)와 UV 경화제를 혼합한 뒤 유리 기판 양 끝에 혼합된 물질을 일정한 폭으로 바르고, 유리 기판을 서로 마주보게 붙인 다음 10분간 UV 램프를 조사하여 빈 셀을 제작하였다. 6CHBT 네마틱 액정에 우선성 카이랄 도펀트 R1011의 무게 백분율이 각각 8.0 wt%, 6.6 wt%, 4.3 wt%로 혼합한 뒤 교반기에서 24시간동안 둔다. 24시간이 지나 잘 혼합된 매질을 제작한 빈 셀에 중력법으로 주입하여 RH-CLC 셀을 완성하였다. 제작한 RH-CLC 셀들의 투과율 스펙트럼은 Hitachi사의 U-3900 분광 광도계 (spectrophotometer)를 사용하여 측정하였고, 분광 광도계의 광원은 비 가간섭 광원 (incoherent source)이며 편광되지 않은 상태이다.

Figure 4(a)는 카이랄 도펀트의 무게 백분율이 c = 4.3 wt%일 때 RH-CLC 매질의 입사각 θair를 0도에서 60도까지 10도 간격으로 증가시키면서 측정한 투과율 스펙트럼 그래프이다. 분광광도계 안에 수동 회전 스테이지 (manual rotating stage)를 배치하고 제작한 RH-CLC 매질을 각도별로 회전시키면서 투과율 측정 실험을 진행하였다. 입사 각도가 증가할수록 Eq. (9)에서 예측한 바와 같이 브래그 중심 파장이 단파장쪽으로 이동함을 볼 수 있다. Figure 4(b)는 Fig. 4(a)에서 입사 각도별로 결정한 브래그 중심 파장 데이터와 m=2일 때 Eq. (9)로 시늉내기한 그래프이다. 피치 p, 첨가된 카이랄 도펀트의 농도 c 및 카이랄 도펀트의 나선 회전력 (helical twisting power, HTP) β 사이의 관계식 β=100/pc 을 통해, R1011 카이랄 도펀트의 나선 회전력 β=41.7–43.3 wt%μm-1[14]와 실제 카이랄 도펀트 농도 c = 4.3 wt%를 대입하면 제작한 RH-CLC의 피치는 p = 547.2 nm가 된다. Figure 4(b)에서 시늉내기로 얻은 입사 각도가 θair=0일 때 브래그 중심 파장 λB(0) = 879 nm와 RH-CLC 매질의 평균 굴절율 n¯=1.63으로부터 계산된 피치는 p = 539.3 nm가 되어 실제 실험적인 피치값과 거의 비슷한 값을 가짐을 알 수 있다.

Figure 4. (Color online) (a) Measured transmittance spectra of RH-CLC sample for various incident angles from air. The RH-CLC sample fabricated is composed of mixture of 4.3 wt% concentration of chiral dopant R1011 and host 6CHBT nematic liquid crystal. (b) Determined central Bragg wavelength against incident angle with a theoretical curve, in which the pitch is estimated as p=539.3 nm.

Figure 5(a)는 카이랄 도펀트의 무게 백분율 6.6 wt%인 RH-CLC 매질의 입사각 θair에 따른 투과율 스펙트럼 그래프이다. Figure 5(b)는 Fig. 5(a)에서 입사 각도별로 결정한 브래그 중심 파장 결과를 m=2일 때 Eq. (9)로 시늉내기한 그래프로, 제작한 RH-CLC의 피치는 p=356.5 nm이다. 시늉내기로 얻은 입사 각도가 θair=0일 때 브래그 중심 파장 λB(0)=546.1 nm와 CLC 매질의 평균 굴절율 n¯=1.60으로부터 계산된 피치는 p=341.3 nm가 되며, 실제 실험적인 피치값과 비슷함을 알 수 있다.

Figure 5. (Color online) (a) Measured transmittance spectra of RH-CLC sample for various incident angles from air. The RH-CLC sample fabricated is composed of mixture of 6.6 wt% concentration of chiral dopant R1011 and host 6CHBT nematic liquid crystal. (b) Determined central Bragg wavelength against incident angle with a theoretical curve, in which the pitch is estimated as p=341.3 nm.

Figure 6(a)는 카이랄 도펀트의 무게 백분율 8.0 wt%인 RH-CLC 매질의 입사 각도에 따른 투과율 스펙트럼 그래프이다. Figure 6(b)는 Fig. 6(a)에서 입사 각도별로 결정한 브래그 중심 파장 결과를 이론식으로 시늉내기한 그래프로, RH-CLC 매질의 피치는 p=294.1 nm이다. 시늉내기로 얻은 입사 각도가 0일 때 브래그 중심 파장 λB(0)=469.4 nm와 RH-CLC 매질의 평균 굴절율 n¯=1.61으로부터 계산된 피치는 p=291.6 nm이다. Figure 4에서 Fig. 6의 결과를 종합하면, 피치 p는 카이랄 도펀트의 농도 c 에 반비례 함을 알 수가 있는데, 이는 나선 회전력 β=100/pc의 관계식에서 p=100/βc이므로 잘 설명된다.

Figure 6. (Color online) (a) Measured transmittance spectra of RH-CLC sample for various incident angles from air. The RH-CLC sample fabricated is composed of mixture of 8.0 wt% concentration of chiral dopant R1011 and host 6CHBT nematic liquid crystal. (b) Determined central Bragg wavelength against incident angle with a theoretical curve, in which the pitch is estimated as p=291.6 nm.

Figure 7은 주어진 파장과 카이랄 도펀트 농도에서, 투과율 Tunpol(θair)를 입사각 θair에 대해 그린 그림으로 이론과 실험 결과를 비교한 그래프이다. 실험 데이터는 Fig. 4에서 Fig. 6까지의 실험에서 추출한 값들이며, 이론식은 Eq. (22)에 샘플 두께 l=20 μm. 평균 굴절률 n¯=1.59를 적용한 뒤 시늉내기하여 각각의 조건에서 최적의 피치를 결정하였다. Figure 7(a)의 데이터는 λ=600 nm 파장에서 카이랄 도펀트 농도가 c = 4.3 wt% 첨가된 RH-CLC 매질의 Tunpol(θair)측정값이다. 시늉내기로 결정한 피치는 p = 544.7 nm 이며, Fig. 4에서 얻은 피치 값과 거의 일치함을 알 수 있다. Figure 7(b)는 λ = 500 nm 파장에서 c = 6.6 wt% 첨가된 RH-CLC 매질의 각도에 따른 투과율 측정값이다. 시늉내기로 결정한 피치는 p=346.7 nm로, Fig. 5에서 얻은 피치 값과 거의 일치함을 알 수 있다. Figure 7(c)는 λ=500 nm 파장에서 c = 8.0 wt% 첨가된 경우의 Tunpol(θair) 측정값으로, 시늉내기로 결정한 피치는 p=293.3 nm이고 Fig. 6에서 얻은 피치 값과 잘 일치함을 알 수 있다.

Figure 7. (Color online) Transmittance as a function of incident angle in air for a fixed wavelength λ and a concentration c of chiral dopant R1011. The constant wavelength λ and concentration c of R1011 are (a) λ=600 nm, c = 4.3 wt%, (b) λ=500 nm, c = 6.6 wt%, and (c) λ=500 nm, c = 8.0 wt%, respectively. The red dots represent experimental data, and the solid line is the theoretical curve of Eq. (22).

콜레스테릭 액정에 2광파 결합 파동 이론을 적용하여 파장, 피치 및 입사각에 대한 해석적 투과율 식을 유도하였으며, 피치를 결정할 수 있는 간단한 광학적 방법을 제안하였다. 우선성 (dextrorotatory) 카이랄 도펀트 (R1011)와 네마틱 액정 (6CHBT)을 혼합하여 피치가 서로 다른 3개의 콜레스테릭 액정셀을 제작하여 다양한 입사각에 대한 투과율 스펙트럼을 측정하였다. 입사각이 증가함에 따라 브래그 중심 파장은 점차 짧은 파장으로 이동하며, 밴드폭은 넓어짐을 확인하였으며 이론적인 예측과 잘 일치함을 알 수 있었다. 입사각에 따른 투과율 스펙트럼에서 브래그 중심 파장과 입사각 사이의 관계식을 적용하여 각 샘플의 피치를 결정하였으며, 유도한 해석적 투과율 식으로 고정된 파장에서 입사각에 따른 투과율 스펙트럼 결과를 시늉내기하여 각 샘플의 피치를 얻었다. 두 방법으로 구한 피치들을 비교하여 잘 일치함을 알 수 있었다. 끝으로 본 논문에서 제안한 방법의 장점과 단점을 정리해보자면, 장점으로 매질을 특수하게 따로 제작하여 피치를 결정할 필요 없이 분광 광도계 내에 배치한 매질의 입사각도별 투과율 스펙트럼 결과들로 손쉽게 CLC 매질의 피치를 결정할 수 있는 동시에, 피치와 첨가된 카이랄 도펀트 농도 및 카이랄 도펀트의 나선 회전력 사이의 관계식을 통해 계산된 피치를, 각도별 브래그 중심 파장 관계식 및 고정된 파장에서 입사각에 따른 투과율 스펙트럼 결과로부터 구한 피치들과 서로 3번 교차 검증할 수 있어 결정된 피치의 신뢰성이 높다는 장점이 있다. 다만, 기존의 두 방법과 달리 고정된 파장에서 입사각에 따른 투과율 스펙트럼 이론이 다소 복잡하므로, 시늉내기하여 피치를 결정할 때 유도한 식을 주의 깊게 사용할 필요가 있으며, 분광 광도계 내의 공간이 협소한 관계로 입사 각도가 클 경우 투과율 스펙트럼 결과를 얻기에 용이하지 않다는 단점이 있다.

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