우리 우주에 존재하는 물질들을 구성하는 기본 입자들과 그들 간의 상호작용을 기술하는 근본적인 입자물리 이론을 구축하기 위해 다양한 이론과 실험적 탐구가 이루어지고 있다. 더 작은 세상을 들여다볼수록 더 근본적인 구조를 탐색할 수 있고, 더 작은 세상은 더 높은 에너지를 의미한다. 다양한 입자물리 실험들 가운데 특히 입자가속기 실험은 외부로부터 오는 신호를 기다리는 것이 아니라 우리가 직접 고에너지 또는 고강도의 입자 충돌 사건을 만들어 내고, 입자 붕괴의 산물 데이터를 이용해 새로운 물리 현상을 탐색해 나간다는 점에서 차별성을 가지고 있다.

현재 가장 높은 에너지로 가동하고 있는 입자가속기 실험은 유럽 국제 입자물리 연구소(CERN)의 거대 강입자 충돌기(Large Hadron Collider, LHC) 실험이다. LHC 실험은 2010년에 가동을 시작한 이후, 2012년에 힉스 입자를 발견하였고[1, 2], 현재는 이전보다 더 높은 충돌 에너지로 가동하고 있다. LHC에서 힉스 입자를 발견함으로써 입자물리학의 표준모형이 완성되었고, 현재까지의 실험 결과는 대체로 표준모형의 예측에서 크게 벗어나지 않는다. 하지만 우주에 널리 분포된 암흑물질의 존재, 중성미자의 질량, 물질과 반물질의 비대칭성, 약전자기 대칭성 붕괴 에너지 규모의 근원에 대한 설명, 강력의 CP 대칭성 문제 등은 표준모형이 기본 입자들과 그들의 상호작용에 관한 궁극적 모형이 되지 못함을 입증하고 있다. LHC 실험을 뒤따라 미래 원형 입자가속기(Future Circular Collider, FCC)[3-5], 원형 전자–양전자 가속기(Circular Electron Positron Collider)[6, 7], 국제 선형 입자가속기(International Linear Collider) [8-12], 뮤온 입자가속기 (Muon Collider)[13] 등 다양한 미래 입자가속기 실험들이 국제 협력 아래 실행 논의가 이루어지고 있다. 이들 입자가속기 실험의 목표는 입자 충돌과 붕괴 데이터로부터 새로운 물리 현상을 발견하거나 힉스 입자를 비롯한 표준모형 입자들의 성질을 보다 정밀하게 측정함으로써 표준모형을 뛰어넘는 새로운 입자물리 모형을 구축하는 것이다.

LHC와 LHC 가동 전 미국 페르미 국립 가속기 연구소(Fermi National Accelerator Laboratory)에서 이루어진 테바트론(Tevatron) 실험, 그리고 LHC의 뒤를 이을 FCC 프로젝트 중 하나인 FCC-hh[5] 등은 양성자에 양성자 또는 반양성자를 충돌시키는 강입자 충돌(hadron collider) 실험이다. 양성자는 쿼크와 글루온 등 강력으로 상호작용하는 입자들로 이루어져 있고, 높은 에너지에서는 강력의 효과가 약해져서 쿼크와 글루온들이 자유롭게 풀려난다. 따라서 LHC와 같은 고에너지 강입자 충돌기 실험은 근본적으로 쿼크와 글루온 충돌 실험이다. 강입자는 전자와 같은 렙톤보다 훨씬 무거우므로 강입자 충돌기 실험은 렙톤 충돌기 실험보다 더욱 높은 에너지의 충돌 사건을 만들어 낼 수 있다는 장점이 있다. 또한 qq¯, qg, gg와 같은 다양한 입자 충돌로부터 서로 다른 전하 및 스핀 상태의 입자들을 생성할 수 있다.

고에너지에서 양성자로부터 해방된 쿼크와 글루온, 즉 쪽입자(parton)들은 얼마만큼의 에너지를 가질까? 충돌하는 양성자의 에너지는 실험 세팅으로 조절할 수 있지만 쪽입자의 에너지는 임의로 조절할 수 없다. 쪽입자의 에너지는 쪽입자 분포 함수(parton distribution function)를 따르는데, 이는 확률밀도 함수에 불과하므로 개별 입자 충돌 사건에서 쪽입자의 에너지값 자체는 알 수 없다. 결국 강입자 충돌기 실험에서 각 입자 충돌 사건의 질량 중심계는 고정되지 않는다. 이는 강입자 충돌 실험에서 관측 데이터를 이용해 입자의 충돌과 생성, 붕괴 과정을 재구성하는 데 큰 걸림돌이 된다.

W 보손의 경우를 생각해 보자. W 보손은 쿼크와 반쿼크의 충돌을 통해 단독으로 생성될 수 있다. 하지만, W 보손은 불안정한 상태이고, 생성 직후 붕괴한다. W 보손은 쿼크와 반쿼크 또는 전하를 띈 렙톤과 중성미자의 짝으로 붕괴할 수 있다.

따라서 우리는 W 보손을 직접 관측하는 것이 아니라 W 보손의 붕괴 산물로부터 W 보손의 성질을 재구성해야 한다. 쿼크와 반쿼크의 에너지와 운동량은 제트(jet) 재구성을 통해 알아낼 수 있다. 그러면 생성된 W 보손의 에너지와 운동량도 자동으로 알 수 있다. 전하를 띈 렙톤의 에너지와 운동량 정보도 관측할 수 있다. 그런데 중성미자는 전하를 띄지 않고 매우 약하게 상호작용을 하므로 관측기에 아무런 신호를 남기지 않은 채 빠져나간다. 따라서 W 보손이 렙톤으로 붕괴할 때는 W 보손의 에너지와 운동량을 알 수 없다. 만약 초기에 충돌한 쿼크와 반쿼크의 에너지를 알고 있다면 에너지와 운동량 보존법칙에 따라 W 보손의 정보를 재구성할 수 있다. 하지만 전술한 대로 충돌하는 쿼크와 반쿼크의 에너지는 오직 확률적으로만 알 수 있고, 렙톤 붕괴 데이터로부터 W 보손을 개별적(event-by-event)으로 재구성하는 것은 불가능하다. 이는 비단 W 보손의 경우에만 해당하는 것은 아니다. 우리 우주를 구성하는 물질들 중 하나로 기대되는 암흑물질은 일반적으로 전하를 띄지 않고 상호작용의 크기도 매우 작을 것으로 생각된다. 만약 강입자 충돌 실험에서 새로운 종류의 입자가 생성되고 그 붕괴 산물에 암흑물질이 포함된다면 렙톤으로 붕괴하는 W 보손과 마찬가지 이유로 새로운 입자의 정보 재구성은 불가능하다.

앞서 살펴본 대로 강입자 충돌기 실험에서 입자 붕괴의 최종 상태에 중성미자나 암흑물질 같은 보이지 않는 입자가 포함되면 입자 충돌 사건의 재구성은 불가능하지만, 입자의 질량을 측정하는 것은 가능할 수도 있다. 가장 정밀한 W 보손 질량 측정은 렙톤 붕괴 데이터를 이용해 이루어졌다[14,15]. 이는 수직 질량(transverse mass) [16,17]과 그것을 확장하고 개량한 다양한 운동학 변수의 개발에 힘입은 것이다.¹ 따라서 강입자 충돌기 실험에서 보이지 않는 입자를 포함하는 입자 붕괴 데이터를 다루기 위해서는 수직 질량을 이해하는 것이 필수적이다. 본 논문에서는 다양한 방법으로 수직 질량을 유도하는 과정을 보이고, 그 특성과 확장 및 개선 방법을 기존 문헌보다 알기 쉽게 정리함으로써 강입자 충돌기 실험을 대상으로 연구하고자 하는 학생이나 연구자들이 수직 질량과 그와 관련한 운동학 변수들을 이해하는 데에 도움을 주고자 한다.

수직 질량을 유도하기 위해 아래와 같은 간단한 입자 붕괴 과정을 생각해 보자.

여기에서 Y는 f와 f¯ 입자의 충돌을 통해 생성된 무겁고 불안정한 입자이고 v와 χ는 그 붕괴 산물이다. v는 관측기에서 에너지와 운동량을 측정할 수 있는 입자 또는 그러한 입자들의 집합이고, χ는 중성미자나 암흑물질처럼 관측기에 아무런 신호도 남기지 않은 채 빠져나가는 입자이다. Eq. (1)에서 W 보손의 렙톤 붕괴의 경우, v는 전하를 띈 렙톤, χ는 중성미자에 대응한다.

초기에 충돌한 f와 f¯의 에너지와 운동량을 알고 있다고 가정해 보자. 그러면 에너지와 운동량 보존 법칙에 따라 무거운 입자 Y의 에너지와 운동량은 f와 f¯의 에너지와 운동량의 합으로 주어질 것이다. 이는 붕괴 최종 상태 입자들 즉, v와 χ가 나눠 가지게 된다. 따라서 v와 χ의 에너지–운동량 합을 이용해 로런츠 불변 질량(invariant mass)을 구축하면 그것은 Y 입자의 질량에 해당한다.

한편으로 충돌한 입자 f와 f¯의 에너지와 운동량을 알고 있다면 Y 입자가 정지해 있는 질량 중심계로 로런츠 변환을 할 수 있다. 이 질량 중심계에서는 아래의 관계가 성립한다.

따라서 우리가 질량 중심계를 재구성할 수 있다면 보이지 않는 입자의 운동량을 측정하지 못하더라도 보이는 입자의 운동량을 이용해 얻을 수 있다. 충돌하는 입자의 에너지와 운동량이 고정된 렙톤 충돌 실험에서는 이러한 방식으로 보이지 않는 입자의 정보를 유추할 수 있다. 하지만 LHC와 같은 강입자 충돌 실험에서는 서론에서 설명한 것과 같이 질량 중심계를 재구성하는 것이 불가능하다.

입자의 운동량 성분을 충돌하는 입자 빔에 수직(transverse) 방향과 평행(longitudinal)한 방향으로 분해해 보자.

여기에서 입자의 에너지 E와 e는 다음과 같다.²

그러면 불변 질량은 아래와 같이 쓸 수 있다.

한편으로 입자 빔에 수직 방향으로는 운동량 성분의 합이 0이므로

이고, 위 관계식은 모든 입자 충돌 사건에 대해 항상 유효하다. 따라서 보이지 않는 입자의 수직 방향 운동량 성분은 보이는 입자의 운동량으로부터 얻을 수 있고, 이를 손실 수직 에너지(missing transverse energy)라고 부른다.

결국 유일한 미지수(unknown)는 입자 빔에 평행 방향 성분 kL이며 이는 입자 충돌 사건별로 다른 값을 가진다.

어떻게 Eq. (7)의 불변 질량, 즉 입자 충돌로 생성된 Y 입자의 질량을 측정할 수 있을까? 우리는 입자 빔에 수직 방향으로는 모든 정보를 가지고 있지만, 평행한 방향으로는 부분적인 정보(보이는 입자의 운동량 성분)만 가지고 있다. 평행 방향의 물리량 pL과 kL을 무시하고, 오직 수직 평면에 있는 물리량들만 고려해 보자. 그러면 Eq. (6)의 에너지 성분은 수직 에너지로 대체된다.

여기에서 kT=-pT이다. 결과적으로 불변 질량 (7)은 아래의 수직 질량으로 대체된다.

수직 질량과 불변 질량 사이의 관계를 살펴보기 위해 에너지와 운동량 성분을 수직 에너지와 신속도(rapidity)를 이용해 다시 써보자.

여기에서 yv와 yχ는 각각 v와 χ의 선속도이고, yχ가 미지수에 해당한다. 그러면 불변 질량은 아래와 주어진다.

위 식과 Eq. (11)을 비교해 보면 두 선속도가 같을 때 불변 질량은 수직 질량과 같아짐을 알 수 있다.

또한 쌍곡코사인함수는 항상 0보다 크거나 같으므로 아래의 관계가 성립한다.

따라서 수직 질량 값은 불변 질량 값과 다를 수 있지만 MT=MY가 성립하는 입자 붕괴 사건이 존재하고, 입자 붕괴 데이터를 충분히 모은다면 MT 분포의 끝점 위치가 바로 Y 입자의 질량에 해당할 것이다. 불변 질량이 공명 봉우리 형태로 분포한다면, 수직 질량은 Mv+Mχ부터 MY 값에 이르는 분포를 가지게 된다. MT 분포를 통해 우리는 Y 입자의 붕괴 사건을 재구성하지 못하더라도 질량을 측정할 수 있다.

혹자는 수직 질량 (11)이 임시변통의 방법에 불과하다고 여길 수 있다. 하지만 수직 질량은 수학적인 방법, 특히 대수적인 방법으로도 유도할 수 있다. 아래에서 수직 질량을 유도하는 두 가지 방법을 살펴보겠다.

1. 제약된 최소화 방법

앞서 살펴본 것처럼 보이지 않는 입자 운동량의 수직 방향 성분 kT는 보이는 입자의 운동량 pT로부터 얻을 수 있지만, 평행 방향 성분 kL은 알 수 없고 입자 충돌 사건별로 다른 값을 가진다. 따라서 각 입자 충돌 사건에서 불변 질량 MY의 값을 얻는 것은 불가능하다. 이러한 상황에서 우리가 취할 수 있는 전략은 다음과 같다. kL 값을 알 수 없으므로 물리적으로 가능한 모든 kL 값에 대해 불변 질량을 계산하고, 그 가운데 가장 작은 값을 고른다. 그것은 실제 MY 값보다 항상 작거나 같을 것이다. 다시 말해 각 입자 붕괴 데이터에 대해 아래와 같은 제약된 최소화 문제를 풀면

그 목적함수 값이 MY의 하한(lower bound)값이 된다.

제약된 최소화 문제 (16)은 소거법이나 라그랑주 승수법[19, 20]으로 풀 수 있다. 여기에서는 전자의 방법을 따르겠다. 제약 조건식을 이용해 kT를 소거하면 Eq. (16)의 목적함수는 아래와 같이 주어진다.

이것을 kL에 대해 미분하면

여기에서 우리는 ∂e/∂kL=kL/e을 이용하였다. 위 결과로부터 최소점에서 kL은 아래의 관계를 만족함을 알 수 있다.

입자의 선속도는

이므로 Eq. (20)은 최소점에서 두 입자의 선속도가 같음을 의미한다.

Equation (7)에 위 결과를 대입하면 목적함수의 최소값이 수직 질량과 같음을 알 수 있다.

따라서 수직 질량은 임시변통의 방법이 아니라 실제 불변 질량 값 MY의 물리적으로 가능한 최소값 즉, 하한값을 제공한다. 다시 말해 kL의 실제값이 주어지지 않는 한 MY에 관한 최적의 물리량이라고 할 수 있다.

2. 대수 특이점 방법

대수 특이점(algebraic singularity) 방법은 최종 상태 입자들의 에너지와 운동량 Pj의 물리적으로 가능한 모든 값의 집합 즉, 입자들의 위상 공간이 아핀 다양체(affine variety)에 해당한다는 고찰로부터 개발된 것이다[21].

여기에서 gi는 운동량 보존과 같은 물리적 제약 조건식들이다. 보이지 않는 입자의 존재는 최종 상태 입자들의 전체 위상 공간을 보이는 입자들만을 포함하는 부분 공간으로 투영한 것으로 해석할 수 있다. 만약 전체 위상 공간에 접혀있는 구조가 있다면 투영된 부분 공간에서는 겹침수(multiplicity)가 급변하는 형태로 보인다. 이렇게 매끄럽지 않은 변화는 특이점으로 나타난다. 여기에서 특이점이란 국소 접면 공간(tangent space)이 정의될 수 없거나 특이점이 아닌 점의 접면 공간과 다른 차원을 가지는 곳을 의미한다.

어떻게 대수 특이점을 찾을 수 있을까? 물리적 제약 조건식 gi의 야코비언(Jacobian) 행렬을 건설한다.

여기에서 kj는 보이지 않는 입자의 에너지와 운동량 성분들이다. 그러면 특이점에서 야코비언 행렬이 축소된 계층(reduced rank)을 가진다.

이것을 다른 문헌에서는 특이점 조건(singularity condition)이라고 부른다[22-25]. 야코비언 행렬의 축소된 계층 조건을 통해 알아낸 부분 공간의 대수 특이점들을 이용해 최적화된 운동학 변수를 건설할 수 있다.

앞서 우리는 수직 질량이 불변 질량에 관한 최적의 물리량이라고 결론내렸다. 대수 특이점 방법에서도 같은 결론을 끌어낼 수 있을까? 이를 확인하기 위해 입자 붕괴 과정 (2)의 경우에 해당하는 야코비언 행렬의 축소된 계층 조건을 구해보자. 물리적 제약 조건식들은 아래와 같다.

수직 방향으로는 두 개의 성분이 있으므로 총 네 개의 제약 조건식이 있다. PTmiss=-pT는 손실 수직 운동량이다. 위 제약 조건식들을 그대로 이용하는 것보다 제약 조건식들의 그뢰브너 기저(Gröbner basis)를 구하고, 그로부터 야코비언 행렬을 얻으면 자동으로 삼각화된 모양을 얻을 수 있다. 운동량의 수직 방향 성분을 kT=(kx,ky)로 분해하고, kx≻ky≻kL≻e의 lexicographic 순서로 그뢰브너 기저를 구하면

여기서 Pxmiss와 Pymiss는 PTmiss의 성분들이다. 위 그뢰브너 기저의 야코비언 행렬은 아래와 같이 주어진다.

일반적으로 pL은 0이 아니므로 축소된 계층 조건은 마지막 대각 성분 J44가 0이 될 것을 요구한다.

위 식에서 우리는 PTmiss=kT로 두고 불변 질량 (7)을 대입하였다. pL, E, e는 일반적으로 0이 아니므로 결국 우리는 지난 절에서 제약된 최소화 방법을 이용해 얻은 것과 똑같은 결과를 얻는다.

즉, 우리는 대수 특이점 방법을 이용해 수직 질량을 유도할 수 있고, 이는 역시 수직 질량이 MY에 관한 최적의 물리량임을 입증한다.

수직 질량은 강입자 충돌기 실험에서 보이지 않는 입자로 붕괴하는 입자의 질량을 측정하는 데 유용하다. 한편으로 수직 질량은 다양한 방식으로 확장할 수 있다. 이 절에서는 수직 질량을 확장 또는 개량하여 더욱 복잡한 사건 토폴로지(event topology)에 적용할 수 있는 운동학 변수들을 몇 가지 살펴본다.³

• s^min: 사건 토폴로지 (2)에서는 W→ℓν처럼 보이지 않는 입자가 하나인 경우를 고려했다. 만약 보이지 않는 입자가 두 개 이상 존재한다면 어떨까?

  (32)f+f¯→​v1(p1)+⋯+vm(pm) ​+χ1(k1)+⋯+χn(kn).

  여전히 우리는 Eq. (16)과 같은 제약된 최소화를 고려할 수 있고, 이 경우에 목적함수의 최소값은 입자 충돌 사건의 질량 중심 에너지 또는 생성된 무거운 입자의 질량에 대한 하한값이 된다[28, 29]. 여기에서 목적함수는

  (33)s^=(p+k1+⋯+kn)2

  이고, p=p1+⋯+pm는 보이는 입자 계의 총 운동량이다. 제약 조건은

  (34)∑i=1nkiT=PTmiss=-pT

  이다. 라그랑주 승수법 등을 이용해 제약된 최소화를 수행하면 아래의 결과를 얻는다.

  (35)s^min=E2-pL2+|PTmiss|2+Minv2.

  여기에서 Minv=∑i=1nMχi이다. s^min 분포는 수직 질량과 달리 끝점이 아니라 봉우리 위치로부터 질량 중심 에너지 또는 입자의 질량 값을 알아낼 수 있다.

• MT2: 입자가 쌍으로 생성되고, 각각 보이지 않는 입자로 붕괴하는 경우를 고려해보자.

  (36)f+f¯→Y1+Y2 →v1(p1)χ1(k1)+v2(p2)χ2(k2).

  흥미로운 많은 입자 붕괴 과정들이 위 사건 토폴로지에 해당한다. 표준모형에서는 전하를 띈 렙톤 두 개로 붕괴하는 톱쿼크 쌍(tt¯→bℓ+ν+b¯ℓ-ν¯), W 보손 쌍(WW→ℓ+ν+ℓ-ν¯) 등이 있고, R 반전성(R parity)을 보존하는 초대칭 모형에서도 다양한 입자 붕괴 과정이 위 사건 토폴로지로 기술된다. 반전 대칭성을 통해 안정성을 획득하는 암흑물질을 포함하는 새로운 물리 모형에서도 같은 종류의 신호를 얻을 수 있다. 문제를 간단히 하기 위해 MY1=MY2=MY, Mχ1=Mχ2=Mχ라고 가정하자. 위 사건 토폴로지에서 우리가 원하는 것은 가장 무거운 입자의 질량 하한값이다. 따라서 수직 질량을 유도하는 데 사용한 제약된 최소화 방법 전략을 따라 운동학 변수 MT2를 아래와 같이 정의한다[30, 31].

  (37)MT2=​mink1T,k2TmaxMT(p1,k1),MT(p2,k2) ​ subject to p1T+k1T+p2T+k2T=0.

  여기에서 MT는 각 붕괴 사슬의 수직 질량이다. 우리는 물리적으로 가능한 모든 수직 운동량 k1T와 k2T에 대해 최소화하므로

  (38)MT2≤MY

  를 만족할 것이다. 그러나 위 관계를 만족하기 위해서는 한 가지 조건이 필요하다. 그것은 보이지 않는 입자의 질량을 미리 알고 있고, 그것을 MT2 계산에 사용해야 한다는 것이다. 다시 말해서 MT2는 보이지 않는 입자의 질량 Mχ의 함수다. 흥미로운 점은 MT2의 끝점 위치를 Mχ의 함수로 그려보면 Mχ=Mχtrue 위치에서 곡선이 구부러져 나타난다[32-35]. 따라서 곡선이 구부러진 곳을 알아내면 Y와 χ 입자의 질량을 동시에 얻을 수 있다. 그 외에도 MT2를 다양한 입자 붕괴 사슬의 부분 계에서 정의하거나[36] 최소점에서 MT2의 해를 이용해 보이지 않는 입자의 에너지와 운동량에 관한 근사를 얻을 수도 있다[37, 38]. 또한 부모 입자 Y1과 Y2 그리고 보이지 않는 입자 χ1과 χ2가 다른 질량을 가진 입자일 경우에도 MT2를 확장하여 적용할 수 있다[39, 40]. MT2 분포의 모양은 암흑물질 등 보이지 않는 입자의 개수와 관련성이 크므로 이를 이용해 새로운 물리 모형에서 암흑 섹터의 성질을 유추해 볼 수도 있다[41, 42]. 최근에는 MT2를 확장하여 부모 입자가 두 개 이상 생성되었을 때 적용할 수 있는 MTN이라는 운동학 변수도 제안되었다[43]. 한편으로, 수직 질량이 제약된 최소화 방법뿐만 아니라 대수 특이점 방법을 통해서도 유도될 수 있는 것처럼 MT2도 대수 특이점 방법을 통해 얻은 특이점 변수와 밀접한 관련이 있음이 밝혀졌다[44].

• M2: 수직 질량 (11)은 (1+3) 차원의 불변 질량 (7)을 (1+2) 차원으로 투영한 것이다. 그리고 MT2는 투영된 두 개의 수직 질량을 비교하여 최소화를 수행한다. 이때 최소화는 수직 평면 위에서 이루어진다. 다시 (1+3) 차원으로 돌아가서 최소화를 수행하면 어떻게 될까? 기존에는 수직 평면 위에서 최소화가 이루어졌다면 이번에는 수평 방향의 운동량 성분 즉, k1L과 k2L이 미지수로 추가되어 더 높은 차원의 초곡면 위에서 최소화가 이루어질 것이다. 이러한 방식으로 MT2를 (1+3) 차원으로 확장하여 사건 토폴로지 (32)에서 아래와 같이 M2 운동학 변수를 정의한다[45, 46].

  (39)M22=​mink1,k2max(p1+k1)2,(p2+k2)2 ​ subject to p1T+k1T+p2T+k2T=0.

  그런데 kiL에 대한 최소화는 결국 선속도 차이 yvi-yχi (i=1, 2)에 대한 최소화와 동등하고, 결국 선속도 차이가 0이 되는 곳에서 최소값을 가지게 된다. 그러면 Eq. (13)에서 볼 수 있듯이 불변 질량이 수직 질량으로 대체되고, 결과적으로 M2는 MT2와 같다[46]. (1+3) 차원으로의 확장은 무의미한 것일까? 우리는 최소화할 목적함수에 k1L과 k2L 의존성을 추가했다. 그렇다면 이것을 이용해 물리적 제약 조건을 추가하여 더욱 제약된 최소화를 수행하면 어떨까? 예를 들어 아래와 같은 두 단계 붕괴 과정을 고려해 보자.

  (40)A1+A2→​a1B1+a2B2→​a1(pa1)b1(pb1)C1(k1) +a2(pa2)b2(pb2)C2(k2).

  여기에서 ai와 bi는 전하를 띈 렙톤이나 제트와 같은 보이는 입자들이고, Ci는 보이지 않는 입자이다. Ci는 중간 단계의 Bi 입자의 붕괴 산물이다. 문제를 간단히 하기 위해 여기에서는 붕괴 사슬이 대칭적이라고 가정한다. 즉, MA1=MA2=MA, MB1=MB2, MC1=MC2이다. 위 사건 토폴로지에 대해 우리는 아래와 같이 제약 조건이 추가된 M2를 정의할 수 있다.⁴

  (41)M22=​mink1,k2[max{(p1+k1)2,(p2+k2)2}] ​subject to p1T+k1T+p2T+k2T=0, (p1+k1)2=(p2+k2)2, (q1+k1)2=(q2+k2)2..

  여기에서 pi=pai+pbi, qi=pbi (i=1, 2)이다. 위 M2는 MT2와 다른 값을 가지고, 일반적으로 아래의 관계가 성립한다.

  (42)MT2≤M2≤MA.

  따라서 M2의 분포 역시 부모 입자의 질량 MA에서 끝점이 발생하고, MT2보다 MA에 가까운 곳에 더 많은 데이터가 몰린다. 결과적으로 MT2보다 더욱 정밀한 질량 측정이 가능하다. 또한, 최소점에서 M2의 해는 보이지 않는 입자의 에너지와 운동량에 대해 MT2보다 더 나은 근사값을 제공한다[47]. M2의 값은 제약된 최소화를 위한 효율적으로 수행하는 수치 알고리듬을 이용해 계산할 수 있다[48, 49].

  M2는 제약된 최소화에 어떤 제약 조건을 고려하느냐에 따라 다양한 방식으로 정의할 수 있다. 결국 M2는 하나의 운동학 변수라기보다 제약 조건들을 이용해 최소화를 수행하는 운동학 변수들의 집합이라고 볼 수 있다.

  (43)M22=​mink1,k2max(p1+k1)2,(p2+k2)2 ​ subject to constraints.

  위 아이디어를 채용하여 사건 토폴로지 (32)뿐만 아니라 공명 붕괴 사건 토폴로지 등 다양한 입자 붕괴 과정에 맞춰 M2의 제약 조건을 확장하여 사용할 수 있다. 최근에는 LHC와 같은 강입자 충돌기 실험뿐만 아니라 Belle과 Belle II 등 고강도 입자가속기 실험 데이터에도 M2를 적용하여 새로운 물리를 탐색하는 전략이 제안되었다[50-52].

본 논문에서는 입자가속기 실험 가운데 LHC를 비롯한 강입자 충돌기 실험에서 입자 붕괴 사건에 보이지 않는 입자가 포함되어 있을 때 입자의 질량을 측정하기 위해 가장 널리 쓰이는 수직 질량을 주제로 살펴보았다. 강입자 충돌기 실험에서는 초기에 충돌하는 쿼크와 글루온 등 쪽입자의 입자 빔 방향 운동량 성분을 알 수 없다. 한편으로 보이지 않는 입자는 쪽입자의 총에너지로부터 일정 부분의 에너지를 가지고서 관측기에 신호를 남기지 않은 채 빠져나간다. 결과적으로 입자 붕괴의 최종 상태에 보이지 않는 입자가 존재한다면 입자 빔과 평행한 방향의 운동량 성분은 미지수로 남게 된다. 우리는 입자의 정보를 입자 빔 방향에 수직인 평면으로 투영할 수 있고, 이 때 불변 질량은 수직 질량의 형태로 나타난다.

이러한 투영은 임시변통의 방법에 불과하고, 평행 방향 운동량의 적절한 근사 방법 등을 찾아서 더 나은 운동학 변수를 고안하기를 주장할 수 있다. 그러나 수직 질량은 단순한 투영의 결과물이 아니라 대수적 방법으로도 유도할 수 있다. 본 논문은 그 실례로 제약된 최소화 방법과 대수 특이점 방법을 이용해 수직 질량을 유도하는 과정을 보였다. 이외에도 심층학습(deep learning) 방법을 이용해 수직 질량을 재유도하는 네트워크 설계의 예제도 최근에 연구되었다[53]. 이러한 연구 결과들은 수직 질량의 유용함을 입증하는 근거로 볼 수 있다.

수직 질량을 제약된 최소화 방법으로 유도할 수 있다는 것에 착안하여 수직 질량을 더욱 다양하고 복잡한 사건 토폴로지에 적용할 수 있도록 확장된 운동학 변수들을 살펴보았다. 이러한 운동학 변수들은 입자가속기 실험에서 새로운 물리를 발견하기 위한 전략의 주요 변수로써 사용할 수도 있고, 심층학습 방법을 이용한 새로운 물리 발견 전략에 중요한 특징(feature)으로써 활용할 수도 있다.

이 논문은 전남대학교 학술연구비(과제번호: 2024-0461)와 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다(No. RS-2023-00209974).

¹ 수직 질량과 그 확장 및 개량에 관한 더욱 자세하고 포괄적인 연구는 Ref. 18과 그것에 포함된 참고문헌들을 보라.

² 중성미자의 경우 충돌 에너지 규모에 비교해 질량이 매우 작으므로 Mχ=0으로 둘 수 있지만, 암흑물질과 같은 새로운 입자의 경우에는 보이지 않는 입자의 질량 Mχ를 알 수 없다. 여기에서는 논의를 간단히 하기 위해 Mχ 값이 이미 알려져 있거나 쓸만한 가설 풀이 값(ansatz)이 있다고 가정한다.

³ 입자가속기 물리에서 운동학 변수에 관한 더 포괄적인 리뷰는 Ref. 26과 27을 참고하라.

⁴ 여기에서 정의한 M2는 Ref. 46에서 M2CC에 해당한다.