프랑스의 물리학자 드 브로이는 양자현상을 설명하기 위해 입자들을 운동량에 반비례하는 파장을 지니는 파동처럼 다뤄야 한다는 제안을 했다. 드 브로이의 제안에 따르면 어떤 입자의 운동량 p와 그 입자의 물질파 파장 λ 사이에는 다음의 관계식이 성립한다[1, 2]:

드 브로이의 물질파는 슈뢰딩거 방정식의 기반이 되는 중요한 개념이지만, 교육현장에서 물질파에 대해 설명을 할때 그 갈릴레이 변환과 관련해 간혹 혼란이 발생하곤 한다. Equation (1)에 따르면 정지한 물체의 드 브로이 파장은 무한하지만, 속도 v로 움직이는 관성계에 대한 물질파의 파장은 유한하다. 예컨대 어떤 관찰자 O가 운동량이 p=mv인 입자를 관찰해 파장 λ를 측정하였다고 하자¹. 그러면 그 관찰자에 대해 속도 v로 움직이는 다른 관찰자 O'에 대해선 입자의 운동량이 0이므로 O'이 측정한 물질파의 파장은 Eq. (1)에 따라 무한히 길어야 한다.

이 예시에서와 같이 동일한 물질파의 파장이 속도가 다른 두 관찰자에 대해 달라야 한다는 점은 학생들에게 상당한 혼동을 야기한다.

드 브로이는 물질파의 파장에 대한 식을 유도할 때 특수상대론을 고려했으며, 그 결과는 로렌츠 변환에 공변(covariant)한다. 이때 물질파 파장의 변화는 길이수축 및 동시성 깨짐 등 상대론 고유의 효과로 인해 발생한다[1, 2]. 그러나 물질파는 슈뢰딩거 방정식의 해로 구해질 수도 있으며 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식이 고전적 양자계를 정확히 기술하는 방정식이라면, 어떤 관성 좌표계에서 성립하는 슈뢰딩거 방정식은 갈릴레이 변환으로 도달할 수 있는 다른 좌표계에 대해서도 성립되어야 하며, 두 좌표계에서 측정된 운동량과 운동에너지는 갈릴레이 변환식에 따른 관계를 만족할 것으로 기대된다. 그러나 슈뢰딩거 방정식에 직접 갈릴레이 변환을 적용한 결과는 언뜻 보기에 이와 같은 성질을 만족하지 않아 상당한 혼란을 야기할 수 있으며, 이 문제를 이해하기 위해 많은 연구가 있었다[3-6].

본 논문에서는 개념 혼란의 원인이 되는 슈뢰딩거 방정식 및 물질파의 갈릴레이 변환의 기본적인 문제를 소개한 후 이 문제가 게이지 변환을 통해 해결될 수 있음을 소개할 것이다. 우선 II 장에서 슈뢰딩거 방정식 및 파동함수의 갈릴레이 변환 문제를 소개한다. 그 후 II2 장에서는 파동함수의 변환과정에서 발생하는 위상인자가 관측량에는 영향을 미치지 않는다는 점을 소개한다. III 장에서 게이지 변환을 간단히 소개한 후 II 장에서 소개된 문제들이 게이지 변환을 통해 해결될 수 있음을 보일 것이다. 마지막으로 IV 장에서는 관찰자 속도 변환에 따른 물질파의 공변 문제가 특수상대론을 고려한 경우에는 발생하지 않는다는 점을 간단히 언급하고 V 장에서 결론을 맺을 것이다.

1. 갈릴레이 공변 문제

이 장에선 본 리뷰의 핵심 문제인 슈뢰딩거 방정식의 갈릴레이 변환 문제를 살펴본다. 다음과 같이 주어진 슈뢰딩거 방정식을 고려하자:

위 식에서 H^는 해밀토니안이며 P^=-iℏ∇는 운동량 연산자, ∇는 그래디언트 연산자이고, V는 위치에너지이다. 만약 ψ(r,t)가 H^의 고유함수라면 H^ψ=Eψ=(K+V)ψ와 같이 쓸 수 있으며, 이때 E는 총 에너지, K는 물체의 운동에너지이다. 논의를 단순화하기 위해 이 장에서는 V=0인 자유입자만을 고려한다.

고전적인 상대성의 원리에 따르면, 서로 다른 관성계의 관측자들에 대해 물리법칙은 동등하게 성립하며 각 관측자들이 측정한 물리량은 갈릴레이 변환에 대해 공변해야 한다.

여기서 공변이라 함은 어떤 관성좌표계 S=(r,t)에서 관찰한 파동함수가 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 만족하며 운동량이 p이고 에너지가 E=p2/(2m)이라면, 이 좌표계에 대해 v의 속도로 움직이는 또 다른 관성좌표계 S′=(r′,t′)=(r-vt,t)에서 관찰한 그 입자는 변환된 좌표계로 표현된 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해이며, 그 운동량은 p′=p-mv 그리고 에너지가 E′=(p-mv)2/(2m)=E-p·v+mv2/2이어야 함을 의미한다.

그러나 슈뢰딩거 방정식 및 파동함수에 대해 직접 갈릴레이 변환을 실시하면 언뜻 보기에 위에 설명된 공변의 성질을 만족하지 않으며 이 점이 이 논문에서 다루는 주된 문제점이다. 이 점을 상세히 설명하기 위해 몇가지 예시를 들어본다.

1. 파동함수의 갈릴레이 변환: 포텐셜이 0인 공간에서 운동하는 자유입자에 대한 파동함수

를 고려하자. 갈릴레이 변환을 위해 r=r′+vt′ 및 t=t′의 관계식들을 이용해서 이 파동함수를 변환하면

와 같은 식을 얻는다. 입자에 대해 운동량의 식 p=ℏk 및 운동에너지의 식 E=ℏω을 고려하면 갈릴레이 변환 후 운동량 및 운동에너지는 p′=ℏk=p 그리고 E′=ℏω-ℏk·v=E-p·v와 같이 주어지며 따라서 위에 설명된 공변의 성질을 만족하지 않는다.

2. 시간 및 공간에 의존하는 위상인자: 위 문제를 달리 표현하기 위해 k와 ω 를 운동량 p의 함수로 표현한 후 p를 함수 매개변수에 포함하는 자유입자의 파동함수를 고려하자:

위 식에 대한 갈릴레이 변환을 다음의 관계식들을 이용해 수행한다:

Equation (6)을 (5)에 대입해 얻은 파동함수를 ψ′(p′ r′,t′)와 같이 적어보자:

위와 같이 정의된 ψ′(p′ r′,t′)는 아래의 관계식을 만족한다:

위 식에서 ψ(p′ r′,t′)=expiℏp′·r′-p′22mt′은 갈릴레이 변환의 결과 얻어질 것으로 기대한 파동함수의 형태이다. 그러나 Eq. (7)에 표현된 바와 같이 ψ(p r,t)를 변환한 결과로 얻은 ψ′(p′ r′,t′)은 ψ(p′ r′,t′) 이외에 위치 및 시간에 동시에 의존하는 추가 위상인자 expiℏmv·r′+12mv2t′을 지닌 것을 볼 수 있다.

3. 슈뢰딩거 방정식의 갈릴레이 변환: 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식

그 자체를 변환해보자. 미분연산자의 변환법칙에 따라 각 미분 연산자를

과 같이 치환한다. 이때 ∇′은 r′에 대한 그래디언트 연산자이다. 자유입자는 갈릴레이 변환 이후에도 자유입자이므로 단순히 생각하면 변환된 좌표계에서 변환된 파동함수는 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식

을 만족해야 할 것이다. 그러나 Eq. (8)을 (9)를 이용하여 직접변환하고 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다:

변환된 방정식 Eq. (11)은 기대했던 형태 (10)과는 다르며 따라서 슈뢰딩거 방정식은 갈릴레이 변환에 대해 공변하지 않는 것처럼 보인다.

정리하자면 문제점 1 및 2에 표현된 바와 같이 파동함수에 갈릴레이 변환을 적용하면, 그 결과 얻게된 파동함수가 변환에 따라 기대되는 파수 벡터 및 각속도를 지니지 않는다. 2에서 시도한 바와 같이 변환에 따른 운동량 및 운동에너지를 지니는 파동함수 ψ(p′ r′,t′)을 분리하면 Eq. (7)에서 본 바와 같이 추가적인 위상인자가 남는다. 또한 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식 자체에 갈릴레이 변환을 적용하면 그 결과 얻어지는 식은 문제점 3에서 서술한 바와 같이 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 같지 않다.

그러나 다음 장에서 살펴볼 바와 같이 앞서 살펴본 문제들은 물리적 측정량이 아닌 파동함수에 국한된 문제들이며, III 장에서 살펴볼 게이지 변환에 의해 해결 가능하다. 또한 물체의 파동함수 자체는 관측 가능한 양이 아니며 ψ*(r,t)ψ(r,t)로 표현되는 입자의 확률밀도함수와 같은 관측 가능한 양에서는 위의 1번 또는 2번에 언급한 문제가 발생하지 않는다. 우선 이 점을 평면파의 간섭문제에서 확률밀도함수를 계산해 분명히 보이고자 한다.

2. 두 평면파의 간섭

상대성 원리에 따르면 영의 이중슬릿 실험에서 관측되는 간섭무늬는 관측자의 운동상태와 상관없이 동일해야 한다. 이 점은 평면파의 간섭무늬를 분석하는 것으로도 충분히 보일 수 있는데, 그 이유는 일반적인 영의 실험의 장치 구성과 같이 슬릿간의 거리보다 슬릿과 간섭무늬가 형성되는 스크린 간의 거리가 매우 큰 경우, 스크린 상의 특정 위치에 도달한 파동함수들이 평면파들로 근사될 수 있기 때문이다. 분석을 진행하기 위해 파동벡터 k1 및 k2와 각속도 ω1 및 ω2를 지닌 두 평면파로 구성된 파동함수의 간섭현상을 고려하자. 이 파동함수는 다음과 같이 표현된다:

위 파동함수가 슈뢰딩거 방정식의 해이기 위해서는 관계식 ℏω1=(ℏk1)2/2m 및 ℏω2=(ℏk2)2/2m이 만족되어야 한다. Equation (5)에서와 같이 i∈{1,2}에 대해 ℏki=pi 및 ℏωi=pi2/(2m)으로 설정하면 Eq. (12)는 슈뢰딩거 방정식을 만족한다. 이 파동함수를 따르는 입자의 확률밀도함수는 다음과 같다:

다음으로 갈릴레이 변환 후의 파동함수를 따르는 입자의 확률밀도함수를 고려하자.

Equation (7)에 따르면 갈릴레이 변환 후 파동함수는 다음과 같다:

이때 ki′=(pi-mv)/ℏ이고 ωi′=(pi-mv)2/(2mℏ)이다. 따라서 입자의 확률분포는 다음과 같이 계산된다:

이때 k1′-k2′ 및 ω1′-ω2′는 다음과 같이 주어진다:

만약 파동함수에 갈릴레이 변환을 적용하는 대신 Eq. (13)에 직접 갈릴레이 변환을 적용하면 다음의 결과를 얻는다:

이 결과는 직접 파동함수에 갈릴레이 변환을 적용한 후 확률밀도함수를 구한 결과인 Eq. (15)와 일치한다.

위의 평면파 간섭의 예시에서 본 바와 같이 갈릴레이 변환 과정에서 파동함수에 곱해지는 위상인자는 관측 가능한 양에는 영향을 미치지 않는다. 다음 장에서는 위상인자 자체도 참고문헌[3]에서 보인 바와 같이 게이지 변환을 통해 제거할 수 있음을 보이고자 한다.

전자기학에서 전기장 E(r,t)와 자기장 B(r,t)과 스칼라포텐셜 V(r,t) 그리고 벡터포텐셜 A(r,t)사이에는 다음의 관계식이 성립한다:

Equation (17) 및 (18)과 같이 정의된 전기장 및 자기장은 다음과 같은 게이지 변환에 대해 불변이다:

이때 α(r,t)는 임의의 스칼라장이다.

게이지 변환은 전기장 및 자기장의 값을 바꾸지 않는다. 그리고 전자기 상호작용을 하는 시스템의 운동은 전기장 및 자기장의 함수로 표현되므로, 시스템에 대해 어떤 운동방정식이 성립하면 게이지 변환을 한 이후에도 그 방정식은 여전히 성립해야 한다. 또한 해당 방정식을 통해 계산 가능한 물리량의 값은 게이지 변환 이후에도 같은 값을 지녀야 한다. 이 원칙을 염두에 두고 벡터 포텐셜이 A이고 스칼라 포텐셜이 V일 때 전하 값이 1인 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 살펴보자:

이 식이 Eq. (19)에 명시된 게이지 변환 후 여전히 성립하기 위해선 파동함수 ψ가 아래와 같이 변환되어야 한다:

위의 변환들이 적용된 포텐셜 및 파동함수에 대해서도 슈뢰딩거 방정식이 성립한다:

참고로 Eq. (21)에 언급된 변환에서는 파동함수의 위상만 변하였으므로 입자의 확률밀도 함수는 변하지 않아 ψg*(r,t)ψg(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)가 성립한다.

다음으로 게이지 변환을 통해 갈릴레이 변환의 공변문제를 해결하는 과정을 살펴보자. II 장에서 설명한 문제점 3번의 Eq. (11)을 참조하면 갈릴레이 변환 후 파동함수는 다음의 식을 만족한다:

Equation (20)을 고려해보면 Eq. (23)은 벡터포텐셜이 A(r′,t′)=mv이고 스칼라포텐셜이 V(r′,t′)=-mv2/2와 같이 주어진 입자의 슈뢰딩거 방정식과 같다.

그리고 문제점 2번에 따르면 변환된 파동함수 ψ′(r′,t′)은 공변성질에 따라 기대되는 파동함수 ψ(p′ r′,t′) 이외에 추가적인 위상인자 expiℏmv·r′+12mv2t′을 지니고 있다. 이 인자를 제거하기 위해 위에 소개한 게이지 변환을 적용해 보자. Equation (21)에 따르면 위상인자를 제거하기 위해 필요한 게이지 변환 함수는 다음과 같다:

그리고 Eq. (19)에 따르면 게이지 변환에 의해 벡터포텐셜, 스칼라포텐셜, 그리고 파동함수는 다음과 같이 변환된다:

따라서 게이지 변환을 완료한 후 슈뢰딩거 방정식은 Eq. (22)에 따라 다음과 같이 주어진다:

위 식은 포텐셜이 없는 상황에서 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식이며 또한 ψ(p′ r′,t′)은 갈릴레이 변환에 의해 파동함수가 공변 했을 때의 운동량 및 운동에너지를 지니고 있다. 따라서 Eq. (25)는 정확히 Eq. (8)을 변환한 결과 공변 성질에 따라 얻을 것으로 기대했던 Eq. (10)과 일치한다.

마지막으로 이 장에서는 앞서 살펴본 슈뢰딩거 방정식의 경우와 달리 상대론의 효과를 고려해 로렌츠 변환을 물질파에 적용할 경우 공변문제가 발생하지 않는다는 점을 간단히 언급한다. 이 장에 한해 계산을 간단히 하기 위해 1차원 공간에서의 물질파를 고려할 것이나 양자장론 분야에 널리 알려진 바와 같이 아래 결과는 높은 차원에서도 성립함을 알려둔다. 논의를 진행하기 위해 상대론 계산에서 널리 쓰이는 다음의 두 양을 정의한다:

이때 c는 빛의 속력이다.

상대론적 효과를 고려해 정지질량이 m이고 관찰자 O에 대한 상대속도가 v0인 입자의 파동함수를 적으면 다음과 같다:

이때 β0=β(v0), γ0=γ(β0)이며 p0≡γ0β0mc는 상대론적 운동량, 그리고 E0=γ0mc2은 상대론적 에너지이다.

이 입자를 관측자 O에 대해 v의 속도로 움직이는 또다른 관찰자 O'이 관측한 결과 얻은 파동함수를 고려하자. 이때 O의 좌표계 (ct,x)와 O'의 좌표계 (ct′,x′) 간에는 (6)의 상대론적 일반화의 결과인 다음의 관계식이 성립한다:

또한 O'이 관측한 입자의 에너지 및 운동량은 다음과 같이 주어진다:

위 사항들을 고려하며 Eq. (28)을 (27)에 대입해 O'의 좌표계에서 표현된 파동함수를 살펴보면 다음과 같다:

좌표변환의 결과 얻어진 파동함수는 변환된 좌표계 (ct′,x′) 및 변환된 에너지 및 운동량 (E′/c,p′)으로 표현되어 로렌츠 변환에 대해 공변함을 확인할 수 있다.

위 결과를 토대로 본 고찰에서 소개한 교훈을 총 정리하면 다음과 같다.

파동함수 또는 물질파의 개형은 물리적 측정량이 아니며 갈릴레이 또는 게이지 변환의 결과 변할 수 있다. 또한 파동함수에 직접 갈릴레이 변환을 적용하면 마치 에너지의 일부가 위치에너지로 변환되는 효과가 나타나며 추가적인 스칼라 포텐셜이 해밀토니안에 더해지게 된다.

이 스칼라 포텐셜을 게이지변환을 통해 상쇄해주면 Eq. (25)와 같이 갈릴레이 변환에 따라 공변한 형태의 슈뢰딩거 방정식 및 파동함수를 얻을 수 있다.

이 과제는 부산대학교 기본연구지원사업(2년)의 지원을 받아 수행되었습니다.

¹ Matter waves are not directly observable. This example is provided to highlight a common student misconception.