아인슈타인의 일반 상대성 이론[1-4]으로부터 도입된 휘어진 (시)공간은 이제는 물리학의 핵심적인 요소가 되었다. 하지만 일반 상대성 이론을 아는 데에는 그에 맞는 수학적 도구를 다룰 수 있어야 한다는 어려움이 있다. 또한 그 도구를 다루는 법을 알더라도 이것을 직관적으로 이해하는 것은 쉽지 않다. 휘어진 (시)공간을 이해하는 데에는 그림으로 직접 확인하는 것이 도움을 줄 수 있을 것이다. 본 논문에서는 수치계산을 활용하여 휘어진 (시)공간에서의 국소 편평좌표계를 그림으로서, 휘어진 (시)공간을 시각화하는 것에 관해 이야기하고자 한다.

어떠한 휘어진 (시)공간도 국소적으로는 편평하다. 국소 편평 좌표계를 많이 그려보면 휘어진 (시)공간을 이해하는 데에 도움이 될 것이다. 그런데, 계량이 주어졌을 때 (근사적) 국소 편평 좌표계를 그리는 수학적 방법은 알려져 있지만 (리만 정규 좌표계[3]), 그것을 이용하여 실제로 그리는 것은 쉽지 않다. 그런데 간단한 수치적 방법을 이용하면 주어진 계량을 이용하여 국소 편평좌표계를 그릴 수 있다. 본 논문에서는 구면, 슈바르츠쉴트(Schwarzschild), 및 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커(Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker) 계량[2-4] 에 대해 국소 편평좌표계를 각각 그려보았다. 그 결과 휘어진 (시)공간에서 일어나는 일을 직관적으로 이해하는 데 도움이되는 그림을 얻을 수 있었다. II 장에서는, 먼저 주어진 계량을 이용하여 국소 편평좌표계를 그리는 수치적 방법에 대해 설명하였다. (매우 간단하여 누구나 알고 있다고 생각되는 이 방법에 대해 어떤 우선권을 주장하려는 것은 아니다. 그 방법을 실제로 적용하여 휘어진 (시)공간의 이해에 도움이 되는 그림을 그린데에 본 논문의 의미가 있다.) 그 방법을 먼저 지구의 표면에 적용하여 국소 편평좌표계를 그렸다. 그것이 지도상에서의 측지선의 형태나 벡터의 평행이동을 이해하는 데에 도움이 됨을 확인하였다. 이어서 슈바르츠쉴트 계량과 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 계량에 적용하여 국소편평좌표계를 그려 보았다. 여기서 국소 편평좌표계는 국소 관성계가 된다. 단순화를 위해 공간은 1 차원만 나타냈다. 그 그림을 이용하여 그 (시)공간에서 일어나는 일들을 이해하는 데에 도움이 되는 논의를 하였다. III 장에서는 추가적인 논의를 하고 결론을 짓는다.

1. 국소 편평좌표계 그리기

먼저 편평한 2차원에서 편평좌표계를 다음과 같이 그려보자 (Fig. 1). 평면상의 어떤 벡터를 υ00 로 나타내고 그 크기를 1 로 잡는다. 여기서 벡터는 측지선 (최소거리경로)을 이야기한다. 그 다음 υ00 의 양끝점에서 수직이고 길이가 1 인 벡터 υ00′, υ10′ 를 같은 방향으로 세운다. 여기서 두 벡터 υ00′, υ10′ 의 끝점을 연결하여 벡터 υ01 을 잡는다. 여기서는 편평한 평면이므로 벡터 υ01 의 길이는 자동으로 1 이 되고 네 벡터로 이루어진 사각형은 정사각형이 된다. 그 다음 길이 1 인 벡터 υ10 을 υ10′ 에 수직이 되도록 놓고, 길이가 1 인 벡터 υ20′ 을 벡터 υ10 에 수직이 되도록 놓는다. 역시 두 벡터 υ10′, υ20′ 의 끝점을 연결하여 벡터 υ11 을 잡는다. 같은 이유로 벡터 υ11 의 길이는 1 이 되고 네 벡터는 정사각형을 이룬다. 같은 방식으로 정사각형을 쪽 쌓아나간 다음, 한칸 오른쪽으로 가서 벡터 υ01 에 수직이 되도록 길이가 1 인 벡터 υ01′ 을 잡는다. 그 다음 같은 방식으로 쭉 위로 쌓아나간다. 같은 방식으로 한 줄 씩 쌓아나가면 편평좌표계를 그릴 수 있다.

Figure 1. Based on initial vector (υ00) whose length is set 1, (υ00′) and (υ01′) are set to be orthonormal. Then (υ10) is constructed by connecting the endpoints of the vectors (υ00′) and (υ01′). This processes are repeated until length of the vectors constructed by connecting endpoints differs from 1 significantly.

계량 gμν 로 기술되는 일반적 (시)공간에서도 위와 같은 방식으로 국소편평 좌표계를 그릴 수 있다. 그런데 여기서는 (시)공간의 곡률이 0 이 아니므로, 사각형을 구성할 때 마지막으로 두 점을 연결하여 그리는 벡터들, 즉 그림에서 점선으로 표시한 υ01, υ11,..., 의 길이는 1 에서 불가피하게 조금씩 벗어날 수 밖에 없고 사각형도 정사각형에서 벗어날 수 밖에 없다. 만약에 그렇지 않다면 그 부분의 (시)공간이 편평하다고 할 수 있다. 리만 정규좌표계 방식을 포함한 어떠한 방식으로 그리더라도 그 좌표계가 커질수록 그것은 완전한 편평좌표계에서는 벗어날 수 밖에 없고, 그 차이가 너무 커지면 좌표계그리기를 중단해야한다. 그런데 그 차이는 우리가 그리는 좌표계가 작아질수록 급격히 줄어든다. 따라서 좌표계의 크기가 작아질수록 그 좌표계는 편평좌표계에 접근하게 된다. 그 차이가 무시할 수 있을 정도로 작을 때 그 좌표계를 국소 편평좌표계라 부른다. (그 크기가 0 으로 접근할 때 국소 편평좌표계가 접근하는 극한이 접평면이라고 할 수 있다.)

그런데 이러한 방식에서는 많은 측지선을 그려야 하고 일반적인 계량 gμν 로 주어진 (시)공간의 경우 이는 계산량 측면에서 간단치 않다. (여기서 μ,ν=0,1,2,... 이다.) 그래서 여기에서는 측지선 대신에 각 좌표공간상에서의 매우 짧은 직선을 이용한다. 좌표계상의 한점 xμ 와 그것에 인접한 다른 두 점 x1μ=xμ+Δx1μ 와 x2μ=xμ+Δx2μ 를 생각하자. 여기서 각 점은 서로 인접하므로 Δx1μ≈0, Δx2μ≈0 이다. 따라서 이 둘을 벡터로 취급할 수 있고 그 내적은

로 주어진다고 놓을 수 있다. (여기서 아인쉬타인 표기법을 이용하였다.) 여기서 gμν 는 xμ 점에서의 계량 gμν(xμ) 를 이야기한다. 이제 위의 방법과 Eq. (1)을 이용하여 몇몇 대표적 계량에 대해서 국소편평좌표계를 그려보자. 여기서 처음 벡터 υ00 의 크기의 제곱은 1 (혹은 일반상대론의 경우 시간방향 벡터는 -1) 로 잡고, 나머지 벡터의 크기나 두 벡터간의 내적은 Eq. (1)에 의해서 계산한다. 즉 직교하면서 길이가 1 (혹은 -1)이 되게한다. 이때 실제 식은 2차 연립방정식이 된다.

2. 지구 표면

지구 표면은 휘어진 2차원 공간이다. 지구 북반구 위의 경도가 서로 다른 두 점 위에서 가장 처음 북쪽을 바라본 상태에서 그대로 직진해나간다면 북극점에서 교차하게 된다. ‘광주광역시와 부산광역시간의 측지선은 어떻게 되는가?’ 와 같은 질문을 생각해보자. 등위도선은 측지선이 아니며, 측지선은 (보통의) 지도상에서 위로 볼록한 형태이다. 위에서 이야기한 방법으로 국소 편평좌표계를 그려서 이 문제를 다루어 보자. 반경이 1인 2차원 구의 구면 극좌표[5] 에서의 계량은 다음과 같다.

여기서 지구 반경을 1 로 잡고 Eq. (1),(2)와 위에서 이야기한 방법으로 전남대학교 주변의 국소 편평좌표계를 그려보았다 (Fig. 2). 여기서 초기 벡터 υ00 를 -θ 방향으로 잡고 같은 방향으로 즉 수직방향으로 먼저 좌표계를 형성해나갔다. (Fig. 1 에 나온 순서대로이다.) 그것은 여기서는 수직으로 먼저 쌓아 나가야 좌표계 생성이 원활하기 때문이다. 즉 여기서 수평으로 먼저 쌓아 나가면 벡터간의 차이가 커져서 일찌감치 좌표계 생성이 중단되기 때문이다. 사실 쌓아나가는 방향에 따른 이러한 차이는 우리가 측지선을 이용하는게 아니기때문에 생긴 것으로 볼 수있다. 이에 대해서는 나중에 논의하겠다. 그런데 초기 벡터 υ00 를 그림에서 나타낸 좌표계의 한 사각형의 한 변의 길이 보다 짧게 (1/5 길이) 잡았다. 즉 그림에서 보여진 한 사각형은 실제로는 52 개의 사각형으로 이루어진 것이다. 앞에서 이야기한대로, 여기서는 공간의 곡률이 0 이 아니므로 두 점을 연결하여 생긴 벡터들 υ01,,... 은 그 크기가 초기벡터 υ00 와 같을 수는 없다. 그 차이는 처음에는 작으나 처음 출발한 위치에서 멀어져 감에 따라 점차 커진다. 어느 정도 이상 커졌을 때 (∼0.1%) 에 좌표계 그리기를 멈추었다. 여기서 그린 국소편평좌표의 수평및 수직축은 각각 (근사적) 측지선으로 생각할 수 있다. 왜냐하면 편평좌표계상에서 직선인 선은 측지선이기 때문이다. 처음 위치에서 동쪽(+φ) 방향으로 출발한 측지선은 등위도선(빨간색 선)과 비교했을 때 동쪽으로 갈수록 (φ 가 증가할수록) 점점 아래 (θ 방향)로 기울어지는 것을 볼 수 있다. 좌표의 수평및 수직축을 X,Y 로 각각 잡았을때 AX+BY=k 를 만족하는 선도 역시 (근사적) 측지선이다. (여기서 A,B,k 는 상수이다.) 왜냐하면 편평좌표계상에서 1차식을 만족하는 선은 측지선이기 때문이다. 여기서 국소 편평좌표계가 지도상에서 봤을 때 전체적으로 아래로 약간 휘어져 있으므로 이러한 측지선도 그렇게 된다. 따라서 광주광역시와 부산광역시를 잇는 측지선도 약간 위로 볼록한 형태가 된다. 그리고 위방향 즉 -θ 방향으로 놓인 벡터를 동쪽으로 평행이동하면 지도상에서는 시계방향으로 약간 회전하는 것을 볼 수 있다. 여기서 여러 국소 편평좌표계를 서로 겹쳐지게 해서 그리면 벡터를 더 멀리 평행이동 시킬 수 있다. 평행이동시의 이러한 벡터의 회전은 물리적으로는 푸코의 진자면 회전에 해당한다.

Figure 2. (Color online) Locally flat coordinate systems on surface of Earth, generated around the location of Chonnam National University. Red line represents an isocline. We can see that a (red) vector, when parallel transported from West to East, rotates clockwise.

3. 슈바르츠쉴드 시공간

슈바르츠쉴드 기하는 구형의 별 주위의 진공 시공간을 설명한다[2-4]. 슈바르츠쉴드 계량은 단일 매개변수인 질량 M에 의해 다음과 같이 특정지어진다 (c=1).

여기서 단순화하여 2M=1로 잡고 중심으로부터 적당한 거리만큼 떨어진 곳에서 국소 관성계를 그려보았다 (Fig. 3). 초기 벡터는 -r 방향으로 즉 수평방향으로 잡고 그 방향으로 먼저 좌표계를 형성해나갔다. 여기서 t 가 커질수록 좌표계가 기울어지는 것을 볼 수 있는데, 이는 로렌츠 변환의 특징이다. 여기서도 국소 관성계의 수직, 수평 방향 축을 각각 T,X 라고 잡았을 때 AX+BT=k 를 만족하는 선은 (근사적) 측지선이 된다. (여기서 빛보다 빠를 수 없으므로 |B|≤|A|.) 국소 관성계가 전체적으로 왼쪽으로 휘어져 있으므로, 측지선도 그렇게 된다. 여기서 어떤 구형의 별위에 고정되어 있는 관찰자 O 는 r 이 어떤 상수값 r0 을 갖는 것으로 해석될 수 있다[2-4]. 이제 관찰자 O 의 (붉은색으로 표시된) 세계선을 살펴보자. 그 주변의 국소관성계를 기준으로 봤을 때 관찰자 O 는 +r 방향으로 가속 운동을 하고 있다! (Fig. 3 에 첨가된 것도 참고하시오.) 슈바르츠쉴드 계량은 t 의 변화에 대해 불변이므로 관찰자 O 의 어느 지점에서든 같은 국소관성계가 그려지므로, 관찰자 O 는 항상 같은 가속도로 가속하고 있다고 이야기할 수 있다. 즉 일반 상대론이 맞다고 가정하면 등가 원리는 자동으로 만족된다. 관찰자 O 의 관점에서는 모든 자유낙하 물체는 중심쪽으로 가속한다. 왜냐하면 자유낙하하는 물체는 측지선을 그리고, 위에서 이야기 한대로 모든 측지선은 왼쪽으로 휘어져 있기 때문이다. 중심에서 좀 더 멀리 떨어진 관찰자 즉 r=r1>r0 로 일정한 관찰자 O′ 의 경우는 그 가속도가 줄어든 것을 볼 수 있다. 이는 중심에서 멀어질수록 중력이 약해지는 것을 의미한다. 휘어진 고무판을 이용하여 중력현상을 직관적으로 설명하는 방법은 널리 알려져 있지만 (예를 들면[4]의 32쪽), 여기에는 시간 부분이 빠져있기 때문에 비유적 이해에 그치게 된다. 여기에서 제시한 방법은 자유낙하와 등가원리를 일목요연한 방식으로 이해할 수 있게 해 준다. 그런데 사건의 지평선에서 (r=2M) 슈바르츠쉴드 계량은 발산하는데, 이는 본질적인 특이성은 아니고 슈바르츠쉴드 좌표가 갖는 특이성이다. 그래서 사건의 지평선 부근에서 국소관성계를 그릴려면 사건의 지평선부근에서 특이성을 갖지 않는 크루스칼-스제케리스 좌표나 에딩튼-핑켈스타인 좌표를 이용해야 한다[2-4]. 그런데 이러한 좌표에서는 여기서 제시한 방법이 잘 듣지 않는다. 그 이유는 우리가 좌표계를 구성하는 정사각형을 그릴 때 측지선을 쓰지 않았기 때문인 것으로 볼 수 있는데 이에 관련해서 나중에 논의하겠다. 그리고 사건의 지평선 부근에서는 높은 곡률때문에 같은 크기로 그리더라도 국소 편평좌표계에서 더 많이 벗어났다(맨 왼쪽 좌표계). 이는 이 방법의 단점 중 하나이다.

Figure 3. (Color online) Local inertial frames in the Schwarzschild space-time. (Red) world-line of an observer O, fixed on Earth for example, is curved with respect to the local inertial frame (see also the inset). This means that the observer O is accelerating constantly, illustrating equivalence principle. The most left one quite deviates from local inertial frame due to high curvature around the horizon.

4. 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 시공간

프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 계량은 다음과 같다[2-4].

여기에 평평한 우주라 가정하여 k=0으로 잡고, 물질 우위의 우주라 가정하여 척도 인자(scale factor)를 a(t)=t2/3 라 잡으면

과 같이 된다. 앞에서 이야기한 방법을 Eq. (5)에 적용하여 국소 관성계를 그려보았다 (Fig. 4). 초기 벡터는 +t 방향으로 즉 수직방향으로 잡고 그 방향으로 먼저 좌표계를 형성해나갔다. 여기서 관성좌표계의 동시선은 수평이 아니라 아래로 휘어져 있음을 볼 수 있다. 비록 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 우주의 공간 부분이 편평하지만, 국소적인 동시선은 아래로 (과거로) 휘어진다. 여기서 r=0 와 r=5 값을 각각 갖는 두 정지 관찰자 O 와 O′ 을 생각하자. 그리고 r=0,t=20 와 r=5,t=20 에 각각 일어나는 두 사건 α 와 β 를 생각하자. 알려진대로, 휘어진 시공간에서는 관찰자에대한 전체적인 동시선은 존재하지 않으므로, 두 사건의 시간 순서는 서로 비교 가능하지 않다. 하지만 국소 관성계를 써서 대략적으로 비교해 보면, 관찰자 O 는 α 가 β 보다 시간적으로 먼저라고 생각하고 관찰자 O′ 은 그 반대이다. 이 사실은 편평한 시공간에서 관찰자에 따라서 두 사건의 시간 전후가 바뀌는 것과는 별개의 것이다. 그리고 국소 관성좌표계의 좌표간격이 위로 갈수록 좁아지는 것을 볼 수 있다. 물리적인 실제 거리는 국소 관성좌표계가 나타내므로, 이는 두 관찰자간의 거리가 시간이 지남에 점점 커짐을 즉 우주가 팽창함을 나타낸다.

Figure 4. (Color online) Locally inertial frames in the Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker space-time. Equal-time-line is curved toward direction of past. Here universal equal-time-line does not exist. A stationary observer O (observer O′) may conclude approximately, the α (β) event happens earlier than β (α) event. The gap between the coordinate scales become narrower as time goes, which means the universe is expanding. The red lines denotes paths of lights. The ratio of proper-time of another observer close to O (denoted by dotted line, not O′) to that of the observer O is greater than 1 (∼1.15). This corresponds to cosmological redshift. The lower two frames quite deviate from local inertial frame due to high curvature around big bang singularity.

붉은 선은 빛이 가는 길을 나타낸다. 관찰자 O 의 고유시간 간격 ΔT 와 (관찰자 O′ 이 아닌) 인접한 다른 관찰자의 고유시간 간격 ΔT′ 의 비, ΔT′/ΔT 는 1 보다 크다 (∼1.15). 이는 우주팽창에 따른 적색편이에 해당한다[3]. 앞의 슈바르츠쉴드의 경우와 비슷하게, 곡률이 큰 초기우주 근처에서는 같은 크기로 그리더라도 국소편평좌표계에서 더 많이 벗어났다 (아래의 두 좌표계).

그것을 구성하는 사각형이 작을 수록 더 좋은 좌표계를 만들 수 있다. Figure 2 에서 뿐만아니라 Fig. 3 과 4 에서도, 그림에서 보여지는 사각형 하나는 실제로는 52 개의 사각형으로 이루어진 것이다. Figure 3 과 4 에서, 두 점을 연결하여 구성한 벡터의 길이가 다른 벡터길이와 5% 정도 차이가 날 때 좌표계 생성을 멈추었다. 여기서 그 (최대)차이가 작지 않은 것은, 그림에서 나타낸 부분이 국소 영역이라기 보다는 실제로는 상당히 큰 부분이기 때문이다. 이는 실제 국소 영역을 그리면 너무 작아져서 눈으로 확인하기 어렵기 때문이다. 즉 여기서는 이해를 돕기위한 목적으로 실제로는 상당히 큰 부분에 대한 좌표계를 그렸으므로 그 차이가 꽤 크게 나타났다.

계량에 따라서 좌표계를 형성할 때 쌓아나가는 순서가 달랐다. 구면과 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 계량에 있어서는 (지면의 그림상으로) 수직으로 먼저 쌓아야 좌표계의 생성이 원활했고, 슈바르츠쉴드 계량의 경우에는 수평으로 먼저 쌓아야 한다. 앞에서 관찰한 것을 요약하면, 좌표값이 일정한 선이 측지선이 되는 경우 그 방향으로 먼저 쌓아나가야 한다는 것이다. 예를들어 구면의 경우 등-φ 선과 등-θ선을 썼는데 등-φ 선은 측지선이지만 등-θ 선은 그렇지 않다. 그래서 등-φ선 (수직축) 방향으로 먼저 쌓아나가야 좌표계생성이 용이하다. 사실 국소편평좌표계를 그릴 때 측지선을 썼다면 이러한 비대칭성은 생길 수 없다. 즉 어느 방향으로 먼저 쌓더라도 비슷한 결과를 얻을 것이다. 슈바르츠쉴드 시공간에서는, 크루스칼-스제케리스 좌표나 에딩튼-핑켈스타인 좌표를 썼을 때 그 측지선이 좌표값이 일정한 선과 일치하지 않는다. 측지선을 하나 그린 다음 그것을 따라서 사각형을 쌓아볼 수는 있겠지만, 여기서는 복잡한 수학도구이용을 최소화하면서 국소 편평좌표계를 그려보는 것이 본 방법의 취지중 하나이기 때문에 하지 않았다.

여기서 그린 좌표계는 눈으로는 매끈해 보이지만 실제로는 많은 짧은 직선을 연결한 것이다. 따라서 좌표계선의 미분은 연속적이지 않다.

몇몇 대표적 (시)공간에서의 국소 편평 좌표계를 수치적 방법을 이용하여 그려보았다. 여기서는 매우 짧은 벡터간의 내적은 Eq. (1)에 의해서 주어진다고 놓고, 정사각형을 하나씩 쌓아나가는 방법을 썼다. 구면에서는 지도상의 측지선의 휘어짐과 평행이동시 벡터의 회전을 확인할 수 있었다. 슈바르츠쉴드 시공간의 경우는 지구상에 놓여있는 관찰자가 왜 가속 관찰자가 되는지를 아는데에 도움이 되었다. 프리드만-르메뜨르-로벗슨-워커 시공간의 경우는, 각 관찰자의 동시선은 과거방향으로 휘어져 있기 때문에 같은 t 값으로 기술되는 사건들이 동시가 아님을 볼 수 있게 해 준다. 그리고 우주 팽창의 직관적 이해에 도움이 된다. 그런데 측지선을 쓰지 않고 좌표공간에서의 매우 짧은 선을 썼기 때문에 여기서 제시한 방법은 좌표에 대한 의존성을 보인다.