편광 분광학은 포화 흡수 분광학과 더불어 대표적인 서브 도플러 분광학 방법이다. 1976년 Wieman과 Hänsch에 의해서 처음 제안된 이후[1] 많은 실험 및 이론적 연구가 수행되어 왔으며[2-9], 특히 변조를 사용하지 않는 레이저 주파수 안정화에 많이 사용되고 있다. 이론적인 면에서는 Nakayama가 간단한 해석적 모델을 제안하였으며[10, 11], 이 모델을 쉽게 사용하는 방법이 보고되었다[12]. Nakayama 모델보다 더 정확한 해석적 해가 다준위 원자에 대한 비율 방정식을 기반으로 연구되어, 포화 흡수 분광학과 편광 분광학에 대해서 보고되었다[13, 14]. 펌프광의 세기가 큰 경우에는 해석적 해를 구하는 것이, 다준위 원자에 대해서는 가능하지 않지만, Fg=0→Fe=1전이선의 간단한 구도에서는 가능하다[15].

일반적으로 편광 분광학에서는 선편광된 레이저광의 회전각을 측정하게 된다. 회전각에 대한 스펙트럼은 분산적인 모양을 갖기 때문에 추가적인 변조 없이 레이저 주파수 안정화에 사용될 수 있다. 조사광 편광의 회전과 더불어서 타원율도 변화가 나타나는데 이에 대해서는 이론 및 실험적으로 연구가 되어 있지 않다. 그러나 펌프광에 의해 변화된 조사광의 편광 상태를 정확하게 계산하고 측정하는 것은 분광학에서 매우 중요한 일이다. 본 논문에서는 편광 분광학에 대한 해석적인 해를 얻을 수 있는 가장 간단한 구도인 Fg=0→Fe=1 전이선에 대해서 원자를 매개로 펌프광과 상호작용한 다음 변화된 조사광의 편광 상태에 대한 해석적 연구를 보고한다. 원편광된 펌프광과 일반적인 타원 편광된 조사광을 고려하여 조사광의 편광 회전각, 타원율, 흡수 계수를 약한 세기의 조사광과 임의의 세기의 펌프광에 대해서 해석적인 형태로 구하였다. 또한 편광 회전각과 타원율을 직접적으로 측정할 수 있는 실험 구도도 제안하였다. 이 방법은 단지 편광 분광학뿐만 아니라 다른 분광학에서도 편광 회전각과 타원율을 측정할 수 있는 일반적인 방법이다.

간단한 편광 분광학 실험 구도와 원자의 에너지 준위가 Fig. 1에 나타나 있다. 펌프광의 편광은 σ+이고 펌프광과 반대 방향으로 진행하는 조사광의 전기장 E→(t)는 다음과 같이 주어진다.

Figure 1. (Color online) (a) Schematic diagram for polarization spectroscopy. (b) Elliptic polarization for probe beam. (c) Energy level diagram for the Fg=0→Fe=1 transition.

여기서 ω는 레이저의 각진동수이고, E0, φ0, θ0, ε0은 각각 조사광 전기장의 진폭, 위상, 편광 회전각, 타원율을 나타낸다. 첨자 “0”은 원자와 상호작용하기 직전의 값이라는 사실을 나타내고 길이가 L인 원자 증기셀을 지난 다음에는 각각 E, φ, θ, ε으로 표현된다. Figure 1(b)에 조사광의 타원 편광을 나타내는 각도 θ와 ε이 표현되어 있다. 원자 증기셀은 매우 묽어서 이 양들의 변화가 매우 작기 때문에 최종 값은 초기 값의 함수로 표현이 가능하다.

Fg=0→Fe=1 전이선에 대한 에너지 구도가 Fig. 1(c)에 나타나 있다. 들뜸 상태와 바닥 상태는 각각 Fe,me와 Fg,mg로 표현된다. 들뜸 상태는 1,-1, 1,0, 1,1와 같이 3 개의 자기 부준위가 축퇴되어 있고, 바닥 상태는 0,0이다. 펌프광은 Δm=1, 조사광은 Δm=±1인 전이를 각각 야기한다. 편광 회전각 등을 구하기 위해서는 밀도 행렬 방정식을 풀어서 밀도 행렬 요소와 이것으로 구성된 감수율을 계산하고 이를 도플러 속도 분포에 대해서 평균을 취해야 한다. 타원 편광된 조사광의 σ± 성분에 대한 감수율은 다음과 같이 주어진다.

Equation (2)에서 λ는 레이저의 파장, Γ는 들뜸 상태의 감쇠율, Nat는 원자 증기셀의 원자 밀도, u는 최빈 속도, Ω1은 조사광의 Rabi 진동수이고, c±는 Eq. (1)에 표현된 조사광 편광의 성분 계수이다. z-와 z+는 조사광에 대한 밀도 행렬 성분 1,-1ρ0,0과 1,1ρ0,0이 시간에 대해서

와 같이 표현될 때 e-iδdt로 변하는 항을 의미하고, 각각 조사광의 σ-와 σ+ 성분의 광 신호에 비례하는 양을 표현하고 있다. 여기서 ρ는 밀도 연산자이고, δd(=-2kv)는 원자가 느끼는 펌프광에 대한 조사광의 상대 각진동수이다 (k(=2π/λ): 파수벡터).

선편광된 조사광에 대한 해석적 결과는 참고문헌[15]에 보고되어 있고, 본 연구와는 조사광의 편광이 다르다는 차이점이 있다. 그러나 조사광의 Rabi 진동수의 1차까지 고려하는 경우에는 조사광의 편광 상태가 밀도 행렬 요소에 비례 계수로 나타나기 때문에 최종적인 감수율에는 영향을 주지 않는다. 즉, 참고문헌[15]의 Eq. (15)의 z1과 Eq. (16)의 z3의 비례계수인 c1과 c2를 각각 c-와 c+로 치환하면 본 논문의 결과인 z-와 z+를 각각 구할 수 있다. 그리고 Eq. (2)에 z±/c± 항이 포함되어 있으므로 최종적인 감수율은 조사광의 편광상태에 의존하지 않게 된다.

참고문헌[15]의 결과를 이용하여 ku≫Γ의 도플러 근사를 사용하여 Eq. (2)를 계산하면 조사광의 σ± 편광 성분에 대한 감수율은 다음과 같이 주어진다.

Equations (3)과 (4)에서

이고, δ는 레이저의 디튜닝(detuning), γt는 광 결맞음 성분의 감쇄율로서 충돌에 의한 선폭확장이 없는 경우 Γ/2와 같다. Equations (3)과 (4)에서 X, Y, Z는 각각 다음과 같이 정의된다[15].

타원 편광된 조사광이 길이가 L인 원자 증기셀을 통과한 다음의 편광 회전각의 변화는 감수율을 사용하여 다음과 같이 표현된다[16].

타원율, 전기장 진폭과는 다르게 편광 회전각의 변화량은 정확히 원자 증기셀의 길이 L에 비례함을 알 수 있다. 또한 타원율의 변화와 전기장의 진폭은 다음과 같이 주어진다[16].

Equation (8)에서 χ±i는 χ±의 허수부를 의미한다.

본 논문에서 다루는 원자 밀도가 낮은 경우에는 일반적으로 L2 항까지의 양이 신호에 영향을 주게 된다. 따라서 L2 항까지 전개된 타원율 변화는 다음과 같이 구체적인 형태로 표현된다.

Equation (9)에서 Imχ--χ+는 다음과 같이 구체적인 형태로 표현할 수 있다.

Equation (9)에서 ε0=0, 즉 선편광인 경우에는 타원율에서 L2 항이 사라짐을 확인할 수 있다.

전기장 진폭은 L2 항까지 다음과 같이 표현된다.

Equation (10)에서

이고, Eqs. (3)과 (4)를 사용하여 X, Y, Z 등으로 표현할 수 있다.

원자와 상호작용을 통하여 변화된 조사광의 편광상태는 Eq. (5)의 편광 회전각 변화, Eq. (6)의 타원율 변화, Eq. (7)의 전기장 진폭에 의해서 결정된다. ε0=30∘인 경우에 대한 전형적인 편광 회전각 변화량과 타원율 변화량 스펙트럼이 Fig. 2에 검은 곡선과 붉은 곡선으로 각각 표현되어 있다. 계산에서 감쇄율 등의 물리량은 ⁸⁷Rb 원자의 상수들을 사용하였고, 온도는 20 °C, 원자 증기셀의 길이는 5 cm, 펌프광의 Rabi 진동수는 Ωc=Γ이다. 편광 회전각 변화 스펙트럼은 분산적인 모양을 나타내고 타원율 변화 스펙트럼은 로런츠형임을 확인할 수 있다. Figure 2에서 타원율은 Eq. (9)에서 L의 1차 항까지만 고려한 함수를 이용하였다. 일반적으로 L의 2차 항은 1차항에 비하여 매우 작은데, γt=Γ/2인 경우에는 δ=0일 때의 크기 비를 다음과 같이 해석적인 값으로 구할 수 있다.

Figure 2. (Color online) Polarization rotation angle (black curve) and ellipticity (red curve) as a function of laser detuning.

예를 들어 ε0=30∘인 경우 2차 항과 1차 항의 크기 비율은 0.014이다. 즉, 일반적인 경우에 타원율 변화의 1차 항만을 고려해도 충분함을 알 수 있다.

전기장 진폭, 편광 회전각 변화, 타원율 변화는 다음과 같은 방법으로 측정할 수 있다. 전기장 진폭(E)은 투과된 세기(It)를 직접 측정하여 It=E2/2μ0c의 관계식을 이용하여 간단히 구할 수 있다. 나머지 두 양은 Fig. 1에 나타나 있듯이 1 개 또는 2 개의 파장판을 통과한 조사광이 편광 빔분할기(PBS)를 지난 다음 반사광(Ix)과 투과광(Iy)의 차이를 측정함으로써 구할 수 있다. Figure 1(a)와 같이 사분의 일 파장판과 반파장판을 차례로 통과한 경우 다음의 관계식을 구할 수 있다.

Equation (11)에서 θ2와 θ4는 각각 반파장판과 사분의 일 파장판의 광축이 x 축과 이루는 각이다. 사분의 일 파장판의 광축의 각이 θ4=θ0+π/4로 고정되고, θ2가 각각 θ0/2와 θ0/2+π/8일 때 다음의 관계식을 구할 수 있다.

Equation (12)로부터 It를 측정하여 ε을 구할 수 있음을 알 수 있다. 특히, 초기값 ε0이 매우 작은 경우에는 ε도 매우 작고 It의 디튜닝(detuning) 의존성이 매우 약하므로 ΔI가 ε에 근사적으로 비례하게 된다. 또한 Eq. (12)로부터 θ2=θ0/2+π/8일 때는 Δθ를 구할 수 있음을 알 수 있다.

일반적인 편광 분광학에서 측정하듯이 회전각은 사분의 일 파장판을 사용하지 않고도 측정할 수 있다. Figure 1(a)에서 사분의 일 파장판을 제거하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있고,

특히 θ2가 각각 θ0/2와 θ0/2+π/8일 때 ΔI는 각각 다음과 같이 표현된다.

Equation (16)을 사용하면 근사적으로 Δθ를 측정할 수 있는데, 이 방법이 일반적인 편광 분광학에서 사용하는 실험 방법이다. 또한 Eq. (16)을 Eq. (15)로 나누면 Δθ를 정확하게 측정할 수 있다.

본 논문에서는 원편광된 펌프광이 타원 편광된 조사광과 상호작용하는 일반화된 편광 분광학 신호를 Fg=0→Fe=1 전이선에 대하여 해석적 형태로 구하였다. 조사광의 편광 상태를 표현하는 편광 회전각, 타원율, 전기장 진폭을 임의의 세기의 펌프광에 대해서 조사광의 Rabi 진동수의 1차까지 해석적으로 구하였다. 일반적인 편광 분광학에서도 조사광의 타원율에서 변화가 나타남을 확인할 수 있었다. 편광 회전각뿐만 아니라 타원율을 실험적으로 측정하는 방법도 제안하였다. Sr과 Hg 원자가 Fg=0→Fe=1 전이선을 가지고 있으므로 실험으로 본 논문의 결과를 확인할 수 있을 것이다[17, 18].

이 성과는 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (No. 2020R1A2C1005499).