가속기물리학은 높은에너지의 하전입자를 발생시키기 위한 가속기와 관련된 연구를 다루는 학문으로 하전입자를 생성하는 것에서부터 높은 에너지로 가속시키거나, 원하는 형태로 분포를 변형하기 위한 장치의 설계 등 기초과학과 공학의 융합학문이다. 가속기의 응용분야는 높은에너지 하전입자의 충돌을 통해 새로운 입자를 탐구하는 입자물리학에서부터 핵의 구조분석이나 새로운 핵종을 발견하기 위한 핵물리학, 반도체에 불순물을 넣어 특성을 변화시키는 재료분야, 하전입자에서 발생하는 싱크로트론방사(Synchrotron radiation)를 활용하여 물질의 구조 분석을 수행하는 응용분야 등에 널리 이용되고 있다. 가속기에서 하전입자의 궤적 및 분포의 제어는 모두 전기장 및 자기장을 이용하여 수행되는데, 높은에너지 하전입자에서 힘을 전달하기에 자기장이 가장 효율적이다. 강한 자기장의 형성 및 자기장 세기의 조절이 용이하도록 철심에 코일을 감는 형태의 전자석을 가장 널리 사용한다. 각 역할에 따라서 빔의 경로를 변경하기 위해 사용되는 이극자석, 빔을 집속하기 위한 사극자석, 색수차보정을 위한 육극전자석 등으로 나눌 수 있다. 특히, 사극전자석은 두 개의 N극과 두 개의 S극이 90도의 상대각을 가지며 교차하는 형태이며, 자석의 중심의 자기장의 세기는 0이 되고, 중심에서 멀어질수록 자기장의 세기가 증가하여, 광학에서 사용되는 볼록렌즈와 같이 빔을 한 점으로 집속하는 역할을 한다.

차세대 전자저장링(4th Generation Storage Ring, 4GSR)은 빔의 에미턴스(emittance)를 기존의 3세대에 비해서 50배 이상 줄일 수 있어 방사광의 휘도(brilliance)를 크게 증가시킬 수 있다는 장점을 인정받아 최근 전세계적으로 구축이 이루어지고 있다[1-4]. 4GSR에서 작은 에미턴스 달성을 위해서는 높은 자기구배(magnetic-field gradient)를 갖는 사극전자석이 필수적인데, 이러한 높은 자기구배 달성을 위해서는 철심(pole)에서의 자기장을 높이는 방법과 자석의 반경을 줄이는 방법이 적용가능하다. 전자석은 강한 자기장 생성을 위하여 높은 자기투자율(magnetic permeability)을 갖는 철심을 갖는 형태로 설계되는데 철심들은 약 1.0 T 영역에서부터 자기포화현상이 발생하여 자기장을 높이기 위해서 더 높은 외부자기장이 필요하고 1.4 T 보다 더 높은 자기장은 거의 달성이 불가능하므로 높은 자기구배 달성을 위해서는 포화상태의 철심에서 추가로 전자석의 내경을 줄여 자기구배를 높이는 방식을 선택하고 있다. 하지만, 철심이 자기포화가 발생한 상태에서 전자석의 내경을 줄이게 되면 빔이 지나는 영역에 철심이 가깝게 위치하게 되므로 철심의 형상에 따라 고차항(high-order terms)효과가 강하게 발생한다. 이러한 고차항 성분은 불균일한 자기장을 발생시키는 원인이 된다. 그러므로 자기포화상태에서 철심의 모양을 최적화하는 연구와 비선형효과에 대한 분석이 필수적이다.

기존의 연구에서는 유사한 보정코일을 설치하거나, 철심의 끝부분의 형태를 보정하는 형태로 고차항을 최소화하기 위한 시도는 있었지만[5, 6], 본 연구에서 제안하는 형태로 철심의 형상을 상세하게 조정가능한 다수의 파라미터를 기반의 최적화는 시도되지 않았다. 본 논문에서는 철심의 자기포화가 발생한 상황에서 최적의 철심형상을 결정하기 위해서, 다양한 자기적특성을 갖는 물체와 코일로 구성된 2차원 형상을 세분화하는(Meshing) 방식으로 맥스웰(Maxwell) 방정식을 풀어 공간에서 자기장분포를 계산해주는 Poisson Superfish 소프트웨어와 Pymoo코드 내 비지배적 정렬 유전 알고리즘(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)을 활용하여 자기구배를 높이면서 동시에 허용되지 않는 고차항을 최소화 할 수 있는 철심과 코일의 형상을 최적화를 수행하였으며, 4GSR에서 요구하는 높은 자장구배 조건에 부합하면서도 충분히 낮은 고차항을 갖는 최적의 철심형상을 도출하였다.

1. 사극전자석의 자기장해석 기본이론

전자석의 경우에는 높은 자기투자율을 갖는 철심과 자기장을 생성하기 위한 전류가 흐르는 코일로 이루어져 있다. 전류의 흐름이 존재하는 코일영역을 제외하고 사극전자석의 철심영역과 진공영역에서 자기장 분포는 스칼라자위 V 의 라플라스방정식으로 계산할 수 있다.

위의 Eq. (1)을 원통형좌표계(Cylindrical Coordinate) (ρ,ϕ,z)로 나타내면,

이 된다. 여기서, ρ와 ϕ 는 극좌표계에서의 반지름과 방사각을 나타내며 z는 하전입자가 운동하는 방향의 축이다. 2차원 형상의 평가에서는 z축 성분이 필요하지 않으므로 ρ와 ϕ 성분으로 나타난다. Equation (2)를 풀기 위해서는 변수분리방법 V(ρ,ϕ)=R(ρ)Φ(ϕ)을 적용하면 된다. 변수분리방식을 대입하여 Φ에 대한 식을 풀면, 해의 형태는 아래와 같다.

여기서 n은 자연수이며, an와 bn는 임의의 상수를 의미한다. R(ρ) 방향의 해는 코시-오일러 방정식(Cauchy-Euler equation)을 통해서 λ=0 일때와 λ≠0로 나누어서 해를 구한다.

i) λ=0

ii) λ≠0

R(ρ)는 스칼라 자위의 반경방향 성분을 나타내는 함수로서, ρ=0에서 발산하지 않아야하므로, R(ρ) 가 ρ=0에서 유한한 값을 갖기 위해서는 C1=0 , C4=0인 조건을 만족해야 한다.

따라서, R(ρ)에 대한 식은,

이 된다. 결과적으로 V(ρ,ϕ)의 일반해는 모든 해의 선형합인 형태이므로,

가 된다. 극좌표계에서 스칼라 자위 V로부터 자기장을 계산하면,

이 된다. 자속밀도의 반지름 성분 Bρ 와 방사각 성분 Bϕ 로 나타내면,

로 나타낼 수 있으며, 전체 자기장의 크기는 다음과 같다.

위 식에서 an은 비스듬한(skew) 성분의 크기를 나타내며, bn은 일반(normal) 성분의 크기를 의미한다. 본 논문에서 설계한 사극전자석은 일반 성분만을 취급하므로,

인 항만 고려한다. 그리고 고차항(multipole) 성분의 크기 분석을 위해서는 bn 성분의 크기를 계산할 필요가 있는데, 이는 푸리에의 트릭(Fourier's Trick)을 적용하여 sin(mϕ)를 곱한 후 0에서 2ϕ까지 적분을 하여 계산하면,

으로 나타낼 수 있다. 철심에서 자기장의 포화가 발생하지 않았을 경우에 사극전자석의 철심에서 자속선이 전자석의 표면과 수직이 되어서 동자위선을 갖게되고 동등한 스칼라 자위 V를 갖게 된다. 이로부터 균등한 자기장형성을 위한 철심의 형태는 원통형좌표계에서 구한 스칼라 자위를 직각좌표계로 변형하면

으로 주어지는데 이는, y=1/x형태로 철심이 형상을 결정하면 이상적인 사극전자석 자기장을 형성할 수 있다는 것을 나타낸다. 하지만, 자기 포화가 발생하는 경우에는 철심의 표면에서 동등한 스칼라 자위를 형성하지 않으므로 최적의 형상을 찾기 위한 최적화 시뮬레이션이 필요하다.

2. 사극자석의 철심형상 최적화 시뮬레이션

전자석의 형상최적화 시뮬레이션을 위해서는 코일의 배치 및 철심의 모양에 따른 자기장 분포 계산이 가능한 코드가 필요하다. 우리는 2D 자기장 계산에 가장 널리 사용되는 Poisson Superfish 코드를 활용하였다. Poisson Superfish 코드는 주어진 전자석의 형상과 물질 및 자기투자율 기준으로 세분화하고 다양한 경계로부터 맥스웰 방정식을 반복적으로 풀어 해의 차이가 정해진 오차범위보다 작아질 때의 자기장을 출력한다[7]. 하지만, 입력(input) 파일에서 철심의 형상과 코일의 모양, 물질의 종류 등을 각각 지정해야하기 때문에 최적화과정에서 형상을 세밀하게 지정하는데에 어려움이 있다. 이에 우리는 한가람 박사가 개발한 파이썬(Python) 기반의 Beam Line Magnet Design 코드를 활용하여 파라미터기반으로 Poisson Superfish에 호환가능한 전자석 input 파일을 생성하였다[8]. Beam Line Magnet Design 코드에서 설정가능한 변수는 Fig. 1에서 확인할 수 있다.

Figure 1. (Color online) Variables for the Beam Line Magnet Design code. The code written in Python generates an input file for Poisson Superfish.

철심형상의 최적화에는 Fig. 1 중에서 철심의 각도(1), 철심 내경의 x방향의 끝지점위치(3), 코일이 감기는 내경부분의 최외곽위치(4), 자석철심의 최외곽위치(5), 철심의 두께(6), 철심의 최외곽부 shming반경(16) 및 각도(17)를 변수로 지정하였다. 최적화 계산의 용이성을 고려하여 파이썬 기반의 소프트웨어를 구축하였으며, Beam Line Magnet Design 코드로 Poisson Superfish의 input 파일을 생성하고 파이썬에서 Poission Superfish 연산이 가능하도록 하였다. 본 연구에서 최적화하고자 하는 목표함수(objective function)는 사극자석의 자장구배 B2 성분을 최대화하면서 동시에 사극전자석에서 허용되지 않는 고차항 성분인 B6 성분을 최소화 하는 것이 필요하다. 이를 위해서는 다중목적(multi-objective) 함수의 최적화가 가능해야하므로 이를 위해서 Pymoo 라이브러리 내부에 비지배적 정렬 유전 알고리즘(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)을 적용하여, 각 단계별 시뮬레이션이 완료된 후 최적의 해 군으로 주어지는 Pareto-Front를 찾을 수 있도록 하였다[9]. 비지배적 정렬 유전 알고리즘은 단순히 목표함수값의 비교를 통해 최적해를 선정하는 것이 아니라, 각 최적해간의 간격을 고려하여 최대한 넓은 파라미터 공간을 스캔할 수 있도록 하는 것이 특징이다. 각 단계에서 비교하는 최적해는 500개이며, 연산은 최대 200회 동안 반복이 되므로 본 최적화 과정에서는 많은 컴퓨터연산 자원(computing resource)을 요구한다. 우리는 이를 해소하기 위하여, 물리적으로 분리된 컴퓨터들을 네트워크로 연결하여 분산컴퓨팅이 가능하도록 고안된 Ray 라이브러리를 적용하여 30개 이상의 CPU를 활용 할 수 있도록 하였다[10]. 최적화의 반복횟수에 따른 해를 그려보면 Fig. 2와 같다.

Figure 2. (Color online) Optimization Results of B2 and B6 by varying the shape of the iron yoke and coil deployment in a quadrupole magnet performed with the developed algorithm.

Figure 2에서 자석의 B2 성분이 강해질수록 철심에서 자기포화가 발생하게 되며 이로 인해 B6성분 또한 커지는 것을 확인할 수 있다. 이는 우리가 예측했듯이, 자기포화가 발생하는 경우에 고차항성분인 B6도 함께 커지는 것을 나타낸다. 하지만, 최적화를 통해 철심에 자기포화가 발생한 70 T/m 보다 큰 영역에서도 여전히 상대적으로 B6 성분이 작은 해들을 찾을 수 있다. 우리가 찾은 해 중 70 T/m보다 높은 자기구배를 갖는 자석 중 B6가 최소화 되는 자석의 형상을 그려보면 Fig. 3과 같다.

Figure 3. (Color online) The shape of an optimized magnet that obtains a field gradient greater than 70 T/m and a B6/B2×R4 value of less than 10-4.

최적화를 통해 도출된 전자석의 형상은 기존에 이론적으로 예측되는 고차항효과를 낮출 수 있는 최적의 철심의 모양인 y=1/x와는 차이가 나는 것을 확인할 수 있으며, 철심사이의 간격이 거의 없을 정도로 가득 매워진 것도 특징이다. 이런 경우에 철심의 극단 부근에서 자속밀도를 낮출 수 있기 때문에 B6성분을 낮추는데에 적합한 설계안으로 보여진다. 최적화 된 자석에서 1개의 철심 주변부에서의 자기장을 나타내면 Fig. 4와 같다.

Figure 4. (Color online) The magnetic field distribution in the first quadrant of an optimized magnet. The blue line represents the pole shpae.

본 연구에서 우리는 차세대 전자저장링에서 필수적으로 요구되는 높은 자장구배를 갖는 사극전자석에서, 철심에서 포화상태에 가까울 경우에 불가피하게 발생되는 B6 성분을 최소화하기 위한 수치해석한 방식의 최적화 연구를 수행하였다. 이 연구에서는 철심의 형상을 파라미터로부터 자유롭게 변화할 수 있는 Beam Line Magnet Design코드를 활용하였으며 이 코드로부터 2D 자기장 계산 코드인 Poisson Superfish에 적합한 input을 발생시켰다. 그 후 Possion Superfish 코드를 통해 자기장을 연산하였으며 계산 된 자기장으로부터 본 논문에서 담고 있는 이론을 사용하여 고차항 성분을 해석하였다. 최적화 알고리즘은 B2를 최대화하면서 B6를 최소화 하여야하므로 다중목적 함수의 최적화가 가능한 Pymoo 라이브러리 내부에 비지배적 정렬 유전 알고리즘(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)을 이용하였다. 추가적으로, 분산컴퓨팅을 지원하는 Ray 라이브러리를 적용하여 30개 이상의 CPU를 활용 할 수 있도록하여 최적화가 단시간 내에 완료될 수 있도록 하였다. 약 90회 반복을 통해 차세대 저장링에 요구되는 B2가 70 T/m이상이 달성가능하며, B6/B2R4 값은 10-4 이하로 작아지는 자석의 설계안을 도출할 수 있었다. 실제 제작이 가능한 자석설계안 도출을 위해서, 2D 해석에서 더 나아가 추후 3차원 자석의 설계와 최적화 연구를 추가로 수행할 예정이다.

이 논문은 2023년도 강릉원주대학교 신임교원 연구비 지원과 2024년도 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 지원(No. RS-2023-00247042)을 받아 수행되었습니다.