일상생활에서 경험하는 여러 가지 현상들은 과학 개념 형성에 중요한 역할을 한다[1]. 주변에서 쉽게 접할 수 있는 과학적인 경험들이 탐구활동으로 활용되고 있으며[2], 교과과정 이외의 비정규환경에서의 탐구활동에 대한 연구[3]가 이루어지고 있다. 학생들의 과학 탐구태도 배양과 종합적인 사고력 향상에 과학 탐구활동은 매우 중요한 역할을 하기 때문에[2, 4], 2015개정 교육과정에서부터 ‘과학탐구실험’교과를 도입해 학생들의 탐구능력 강화와 과학적인 사고능력을 기반으로 한 창의적 문제 해결력을 기르는 것을 목표로 탐구활동을 강조하였고, 2022개정 교육과정까지 계속 이어지고 있다[5, 6].

물체의 운동에 대한 개념을 학습할 때 일상생활에서 일어나는 현상과는 달리 공기저항이나 마찰이 없는 경우를 먼저 학습을 하고, 탐구활동으로는 공기저항과 마찰이 가장 적은 방법으로 실험을 설계한다. 물리학 교과서에서는 공기 저항력은 속력에 비례하거나 속력의 제곱에 비례하는 경우를 일상 생활의 예를 들어 설명하며, 속력이 비교적 느린 운동에는 속력에 비례하는 저항력이, 속력이 빠른 운동에는 속력의 제곱에 비례하는 저항력이 작용한다고 설명한다[7]. 유체 속에서 낙하하는 공과 스카이 다이버 또는 빠른 속력으로 운동하는 야구공의 예는 해석학적으로는 쉽게 설명이 가능하지만, 실제 속력을 측정하면서 저항력에 의한 속도변화를 탐구하는 활동을 일선학교에서 수행하기에는 많은 어려움이 따른다. 이 때문에 속력에 비례하는 저항력이 작용하는 물체의 운동을 분석할 수 있는 탐구활동이 부족한 편이다.

패러데이의 전자기 유도 법칙은 시범 실험 혹은 간단한 탐구활동으로 하기에 아주 적합한 주제이다. 도체관 내부에 영구자석을 낙하시킬 때 자석이 등속 운동하는 탐구활동은 고등학교 물리학 교과서에 수록되어 있다[8]. 도체관 주변에서 자석이 운동을 할 때[9-11], 또는 자석 주변에서 도체가 운동할 때 운동하는 물체가 받는 자기 저항력은 속력에 의존한다[12, 13]. 도체관 내·외부에서 떨어지는 자석의 경우[10, 11] 속력에 선형비례하는 저항력을 받지만 짧은 시간 내에 종단속도에 도달하기 때문에 저항력에 의한 속도 변화를 분석하기는 어렵다. 회전하는 도체판에 자기 부상력과 동시에 발생하는 자기 항력은 물체의 속력이 특정 속력보다 매우 작을 때만 속력에 선형비례한다[12-14]. 회전하는 도체판의 운동은 중력에는 영향을 받지 않고, 비교적 느린 속력으로 운동하기 때문에 적절한 자기 항력이 존재한다면 속력변화를 충분히 분석할 수 있다. 유한한 크기의 도체판 위에 원형과 직사각형 모양의 자기장을 걸어주고 도체판의 자기제동 현상을 분석한 결과가 보고 되었다[12, 15]. 이 실험들에서 자기장의 세기는 전자석을 이용해 변화시켰다. 균일한 크기와 동일한 면적의 정자기장을 형성하는 전자석을 고등학교 혹은 대학의 학부 실험실에서 탐구활동으로 활용하는 것은 쉬운 일이 아니다.

본 연구에서는 일상에서 쉽게 구할 수 있는 영구자석을 이용해 회전하는 도체판의 자기제동 현상을 분석하는 탐구활동을 소개하였다. 먼저, 원형과 정사각형 네오디늄(NdFeB) 자석의 자기장 크기를 측정하였다. 구리 도체판에 작용하는 자기 항력(magnetic drag force, FD)을 진자의 회전 각도를 활용해 측정하였다. FD가 도체판의 속력에 비례함을 보였고, 비례 계수 α를 결정하였다. 도체판을 회전시킨 후 영구자석으로 FD를 인가하고 도체판의 각속도의 변화를 분석하였다. 이 활동을 통해 속력에 선형 비례하는 저항력이 존재할 때의 자기제동 현상이 정량적인 탐구활동으로 충분히 가능함을 보였다.

자기장 영역 내에서 도체가 운동을 할 때 그 도체에는 유도 기전력이 발생한다. 도체 표면에 나란한 방향의 자기장과 유도 전류는 자기 부상력(magnetic levitation force, FL)을 발생시키고, 도체면에 수직인 자기장과 유도 전류는 도체의 움직임을 방해하는 항력 FD를 도체에 작용시킨다[14]. Figure 1에 나타낸 바와 같이 도체 표면 위에 영구자석이 길이 l, 폭 w인 자기장(B) 영역(회색)을 형성시킨 상황을 고려하자. 도체가 속력 v로 +x 방향으로 운동하고 있을 때, 도체 위 수직으로 들어가는 자기장에 유도되는 기전력이 Eq. (1)과 같이 표현됨은 패러데이의 법칙을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

Figure 1. The schematic diagram of induced current I in a metal plate. The plate has thickness δ and is moving with a velocity v→ in the positive x-direction. The gray area represents the region with a magnetic field B→ generated by a permanent magnet located at a distance d from the plate.

이 기전력에 의해 자기장 영역 내·외부에 전류 I가 흐른다. 두께 δ인 도체의 자기장 내부와 외부 영역의 전기 저항을 각각 r, R이라고 할 때, 자기장 영역 가장자리 사이의 기전력 E는 옴의 법칙을 이용하면

로 표현된다. 도체의 속력이 특정 속력 vc=2/σμ0δ 보다 작을 경우 유도 전류 I에 의해 발생한 자기장의 크기는 외부 자기장 B의 크기에 비해 무시할 수 있다[12]. 여기서 μ0는 진공의 투자율이다. 이 특정 속력 vc는 도체판이 자기장 영역 내에서 운동할 때 FL과 FD의 크기가 같아지는 속력이다[14].

전기 전도도가 σ인 도체의 자기장 내부 영역의 전기 저항은 r=w/σlδ이다. 속력 v로 운동하는 도체에 작용하는 항력 FD에 의한 역학적 에너지 손실율은 전기 저항의 소비전력과 같다는 관계 FDv=I2(r+R)를 이용하면 항력 FD를 Eq. (3)과 같이 구할 수 있으며, FD가 도체의 운동 속력 v에 비례함을 알 수 있다.

여기서 자기장 영역 내·외부의 전기 저항인 r과 R의 비로 나타낸 계수 α와 항력 계수 b는 다음과 같이 표현된다.

Equation (3)은 로렌츠 힘(Lorentz force)으로 유도한 결과[12]와 잘 일치한다. Equation (4)의 계수 α는 자기장의 영역 내에 유도 전기장이 균일하게 형성되었고, 자기장이 일정하며 도체판이 무한히 크다는 가정을 한 결과이다. l≫w인 경우 r이 0에 가까우므로 α는 0에 접근하고, l≪w 인 경우 r이 R에 가까우므로 α=12이 된다. 자기장 영역 내의 유도 전기장이 일정하게 형성되지 않는 경우에 해석학적으로 α를 계산할 때도 여전히 자기장 B는 균일하다는 가정을 하고 있다[13]. 균일한 자기장 영역이 정사각형과 원형 모양일 때 모두 α=12로 계산되었다[13, 15, 16]. 도체판이 유한한 경우 α는 자기장의 균일한 정도와 도체판의 크기에 의존하고[15], 유한한 크기의 원형 도체판에 직사각형 모양의 균일한 자기장을 사용하였을 때 α=0.369로 결정되었음이 보고되었다[12, 13]. 이와 같이 계수 α는 운동하는 도체의 크기와 자기장의 모양과 균일성에 의존하는 값이다[16].

속력에 비례하는 항력 FD가 회전하는 물체의 토크 NB로 작용할 때 운동방정식은 다음과 같이 표현된다.

여기서 Iinr은 회전체의 관성능률이고, N0는 공기와 마찰에 의한 토크를 나타낸다. 공기와 마찰에 의한 저항력이 물체의 회전 속력에 비례한다는 가정을 하면, 이 방정식의 해는 다음과 같이 잘 알려져 있다.

여기서 시상수 τ는 다음과 같이 표현된다.

τ0는 공기와 마찰에 의한 저항력의 시상수이고, 비례상수 γ는 Eq. (3)과 같이 속력에 비례하는 자기 항력이 회전체에 작용하였을 때 Eq. (9)와 같이 표현된다.

여기서 L은 도체판의 회전 중심에서 자기장 영역의 중심까지의 거리를 나타낸다.

1. 실험장치 구성

회전하는 도체에 작용하는 자기 항력 FD는 선행연구[14]에서 소개한 것과 같이 도체 부근에 놓인 영구자석 진자를 이용해 측정하였다. 네오디늄(NdFeB) 자석과 도체판 사이의 거리 d가 자기 부상력 FL에 의해 바뀌지 않도록 진자의 자유도를 제한하였다. 지름과 두께가 각각 10.2 cm, 6.35 mm인 원형 구리판을 수직으로 세워 회전시키고, 자석 진자의 회전 각도를 측정해 선속도 v→의 방향으로 작용하는 자기 항력 F→D를 측정하였다. Figure 2(a)에서 나타낸 바와 같이 진자의 회전각도 φ와 회전 중심에서 자석의 위치를 나타내는 각도 θ를 이용하면 FD를 다음 식으로 구할 수 있다.

Figure 2. (Color online) (a) Free-body diagram of a permanent magnet subjected to a drag force F→D, tension T→, and gravitational force mg→ while positioned at a distance d from a vertically rotating copper plate with angular velocity ω. (b) Experimental setup for measuring the drag force FD acting on the vertically rotating copper plate, and (c) setup for measuring the angular velocity ω of the horizontally rotating copper plate, featuring a CdS photo sensor, light-emitting diode (LED), permanent magnets, direct current motor, oscilloscope, and power supply for CdS and LED.

여기서 m과 g는 각각 자석의 질량과 중력가속도를 나타낸다.

Figure 2(b)는 자석을 진자로 이용해 자기 항력 FD를 측정하는 장치를 나타낸 것이다. DC 모터를 이용해 수직으로 세운 구리판을 일정한 각속도로 회전시키면 자기 항력 FD에 의해 진자가 각도 φ로 기울어지게 된다. FD 측정 장치에 대한 자세한 설명은 선행연구에서 기술하였다[14]. Figure 2(c)는 자기제동 현상을 분석하기 위한 장치를 보여준다. 원형 구리판을 자유로운 상태로 회전시키기에는 수평일 때가 더 쉽고 안정적이기 때문에 Fig. 2(b)와는 다르게 수평으로 두고 회전시켰다. 마찰에 의한 저항을 최소화하기 위해 회전축에 베어링을 사용하였다. 구리판을 고정시킨 프레임의 가장자리에 16등분 한 홈을 내고 π/8 radian을 회전하는 시간을 측정하였다. LED와 황화카드늄(CdS) 광센서 사이로 프레임의 홈이 지나가도록 하였고, 광센서의 전압 신호를 오실로스코프로 측정하였다. 네오디늄 자석을 도체판 위 거리 d 떨어진 곳에 고정 시킨 후 도체판을 회전시키고 시간에 따른 각속도 ω의 변화를 측정하였다. ω의 변화를 측정할 때는 회전체의 빠른 속력을 필요로 하지 않기 때문에 원형 도체판을 비교적 약하게 회전시킨 후 속력을 측정하였다. 시중에서 원형과 사각형 모양의 네오디늄 자석을 쉽게 구할 수 있기 때문에 본 연구에서는 원형 자석과 그 크기가 비슷한 정사각형 모양인 두 종류의 자석에 대한 효과를 각각 분석하였다.

2. 자기장 B 측정

지름이 10 mm인 원형, 한 변의 길이가 10 mm인 정사각형 모양인 두 자석의 자기장 세기는 Gaussmeter(Lake Shore Cryotronics Inc., model 421)를 이용해 측정하였다. 자석의 중앙에서 수직 거리 z 떨어진 곳의 자기장을 측정하였고 그 결과는 Fig. 3에 나타내었다. Gaussmeter의 측정 범위의 한계치 30 mT인 지점에서 멀어지면서 1 mm간격으로 자기장의 크기를 측정하였다. 정사각형 자석의 자기장이 원형 자석의 자기장보다 더 크게 측정되었다. 두 경우 모두 자기 쌍극자가 형성하는 자기장으로 1/z3에 잘 비례하였고[10, 11, 17], Fig. 3의 삽입그림은 추세선을 이용해 자석에서 7 mm 이하 가까운 위치의 자기장을 계산한 값을 나타낸다.

Figure 3. (Color online) Magnetic fields of square (cyan square, □) and circular (orange circle, ◯) neodymium (NdFeB) magnets measured at distance z from the magnet surfaces. The colored lines represent least-square fits to the data points, exhibiting a 1/z3 dependence. The inset shows the calculated magnetic fields near the magnets based on these fitted functions.

3. 자기 항력 FD측정

Figure 4는 원형 자석과 정사각형 자석을 각각 사용했을 때 자기 항력 FD를 도체판의 회전 선속력 v에 따른 변화를 나타낸 것이다. FD는 두께 δ=6.35 mm, 전기전도도 σ=5.88×107Ω-1m-1[18]로 계산한 도체판의 특정 속력 vc=4.26 m/s 보다 훨씬 더 작은 속력에서 측정되었다. 속력이 증가할 수록 FD가 선형적으로 증가하는 것을 알 수 있으며, 도체판과 자석 사이의 간격 d가 클수록 도체판에 작용하는 자기장이 감소하여 기울기가 감소하였다. 도체판의 속력이 같을 때 자기장의 세기가 더 큰 정사각형 자석의 FD가 원형 자석의 FD보다 더 크게 나타났다. 자석과 도체판 사이의 간격 d가 작을 때는 작은 속력에도 FD가 크게 작용해 진자의 자석이 회전하는 원판의 가장자리에 접근하였기 때문에 도체판을 더 큰 속력으로 회전시키지 않았다. 두 그래프에서 직선의 기울기는 간격 d일 때 항력 계수 b를 나타낸다. 자석과 도체사이의 간격 d에 따른 자기장 B의 크기와 자석의 표면적 lw, 도체판의 두께 δ, 구리의 전기전도도 σ를 Eq. (5)에 적용하고, 기울기 b를 이용하면 거리 d에 따른 계수 α를 구할 수 있다.

Figure 4. (Color online) The drag forces (FD) as a function of velocity for (a) the circular magnet and (b) the square magnet, both located at a distance d from the magnet surfaces, respectively. The colored lines represent linear fits to the data points obtained, and the gray ribbons indicate the 95% confidence interval.

Figure 5는 도체판과 자석 사이의 거리 d에 따른 비례 계수 α를 나타낸 것이다. Equation (5)에서 lw는 도체판에 형성되는 자기장의 면적을 나타내는 것이지만 실제 계산할 때는 자석의 표면적을 대입하였다. Figure 5의 실선은 α가 자석과 도체 사이의 거리 d의 제곱에 비례함을 나타낸다. 이는 자석이 도체면에서부터 멀어지면 자기장 영역의 면적이 d의 제곱에 비례하기 때문이다. 자석의 표면적과 자기장의 면적이 같을 때는 d=0인 자석이 도체 표면에 붙어있을 때이다. 이 때의 α값을 α0로 나타내면 Eq. (3)은 다음과 같이 표현된다.

Figure 5. (Color online) The coefficients α as a function of distance d for circular and square magnets. The colored lines represent least-square fits to the data points, exhibiting a d2 dependence influenced by the expansion of the magnetic field zone on the surface of the copper plate. The inset shows the linear proportionality of α to the square of distance, d2.

여기서 면적계수 χ=α/α0이며 거리 d에 따른 도체판 위에 인가된 자기장의 면적 증가비를 나타낸다. Figure 5에서 외삽법에 의해 원형 자석의 α0=0.3196±0.0039로 결정되었다. 무한 도체판에 원형 자기장이 존재할 경우 α=12이며 유한한 크기의 원형 도체판을 이용했을 경우 α는 도체판의 반지름에 의존하며, 무한 도체판의 α보다 작은 값을 가진다[16]. 정사각형 자석을 이용한 경우에는 α0=0.1570±0.0069로 결정되었다. 정사각형 자기장이 무한 도체판에 존재할 때도 α=12로 계산되었다[13]. M. Marcuso[13]와 J. M. Aquirregabiria[16]는 자기장이 일정하다고 가정을 하고 α를 계산하였다. α 값은 자기장의 불균일성에 의존한다[16]. 정사각형 자석의 α0가 더 작은 이유는 비슷한 면적 내에서 자기장의 불균일한 정도가 정사각형 자석이 원형 자석보다 더 크기 때문으로 판단된다.

4. 자기제동 현상

Figure 6은 회전하는 도체판에 원형 자석과 정사각형 자석을 거리 d에 가져갔을 때, FD로 인한 자기제동 현상에 의해 각속도 ω가 지수함수적으로 감소하는 것을 나타낸 것이다. 속력에 비례하는 저항력이 작용해 물체의 속력이 지수함수적으로 감소하는 전형적인 예에 해당된다. 자기장이 없을 때 각속력 변화는 마찰과 공기 저항에 의한 것이다. 자기장의 세기가 더 큰 정사각형 자석을 이용했을 때 각속력의 변화가 더 큰 것을 볼 수 있다.

Figure 6. (Color online) Angular velocity, ω, of the copper plate as a function of time for: (a) circular and (b) square magnets, both located at a distance d from the plate. The infinity symbol, ∞, in the legend indicates the case where the plate is rotated without any magnets present.

Figure 7은 면적계수와 자기장의 제곱을 곱한 값 χB2에 따른 시상수의 역수 1/τ의 변화를 나타낸 것이다. Equation (8)의 계수 γ에서 α대신에 χα0를 적용하였다. 면적 계수 χ도 자기장과 마찬가지로 도체판과 자석사이의 거리 d에 따라 변하는 값이기 때문에 Fig. 7의 x축에는 B2 대신에 χB2을 사용하였다. Figure 7에서 χB2=0의 값은 자기장이 없을 때 마찰과 공기저항에 의한 감쇠 운동의 시상수 1/τ0를 나타낸다. 이 값이 두 자석에 대한 1/τ 변화의 출발점이 됨을 확인 할 수 있다. 1/τ의 변화는 χB2에 선형적으로 비례하고, 이 직선의 기울기와 α=χα0를 적용한 Eq. (8)과 Eq. (9)를 이용하면 α0를 구할 수 있다. Equation (9)에서 회전체의 관성능률은 Iint=5.80×10-4 kg·m2을 적용하였다. 자석의 크기와 같은 면적이 도체판에 형성되었을 때의 계수 α0는 원형 자석과 정사각형 자석의 경우 각각 0.3197±0.0040, 0.1580±0.0099로 계산 값인 12보다 작으며 각각 13, 16에 가까운 값이다. 이 값들은 앞서 속력 변화에 따른 FD의 관계식인 Eq. (3)과 Fig. 5에서 구한 값 0.3196±0.0039, 0.1570±0.0069과 표준오차 범위 내에서 일치한다. 위의 결과들을 볼 때, 영구자석을 이용한 회전하는 도체판의 자기제동 현상은 속력에 선형 비례하는 항력이 작용할 때 물체의 운동을 정량적으로 분석할 수 있는 탐구활동으로 활용하기에 적합하다.

Figure 7. (Color online) Inverse time constants,1/τ, as a function of area coefficient times square magnetic fields,χB2, for circular (orange circle, ◯) and square (cyan square, □) magnets. Colored lines represent linear fits to the data.

속력에 비례하는 항력이 작용하는 물체의 운동을 분석하는 과학탐구 활동에 활용할 목적으로 영구자석과 원형 구리판을 이용해 회전하는 도체판의 자기제동 현상을 분석하였다. 자기장 영역 내에서 속력 v로 운동하는 도체는 유도 전류로 인해 속력에 비례하는 항력을 받게 된다. 회전하는 도체에 자기 항력 FD를 발생시켜 도체의 각속도 ω가 지수함수적으로 감소하는 것을 확인하였다. FD는 자석이 형성시키는 자기장과 도체판의 모양에 따라 그 크기가 다르게 나타난다. 이를 결정하는 계수 α는 도체의 자기장 영역 내·외부의 전기 저항에 의해 결정된다. 원형과 정사각형 자석에 의한 자기 항력 FD를 회전 속력에 따라 각각 측정하였고, FD가 선속력 v에 선형 비례함을 확인하였다. 자석과 도체판 사이의 거리 d가 증가하면 자기장의 세기 감소로 인해 FD가 감소하였다. 영구 자석이 형성하는 자기장의 크기는 Gaussmeter를 이용해 측정하였으며, 자석과의 근접 거리의 자기장은 외삽법을 통해 결정하였다. 자석과 도체와의 거리 d에 따른 계수 α는 거리의 제곱에 비례하는 것으로 나타났는데, 이는 d가 증가할 수록 도체에 인가되는 자기장의 면적이 늘어나기 때문이다. 도체에 형성된 자기장의 면적과 자석의 표면적이 같을 때의 계수 α0는 원형 자석과 정사각형 자석이 각각 0.3196±0.0039, 0.1570±0.0069로 결정되었다. 회전하는 도체판에 두 자석을 각각 거리 d에 놓았을 때, 도체판의 각속도가 지수함수적으로 감소하였다. 이는 속력에 비례하는 항력을 받는 물체운동의 전형적인 예가 된다. 자석을 도체판에서 멀리할 수록 자기장의 크기는 줄어들지만 자기장의 면적은 더 커진다. 시상수의 역수 1/τ는 면적 계수 χ를 B2에 곱한 χB2에 선형비례하였다. 이 관계를 이용해 구한 계수 α0는 원형 자석과 정사각형 자석이 각각 0.3197±0.0040, 0.1580±0.0099로 나타났으며, 이는 FD와 v의 관계로 구한 값과 표준오차 범위 내에서 일치하였다. 이와 같은 결과는 회전하는 도체판에 영구자석을 가까이 가져 갔을 때 속력이 감소하는 자기제동 현상을 분석하는 탐구활동으로 충분히 활용할 수 있음을 보여준다. 이 탐구활동으로 학생들이 다음과 같은 사실들을 실험을 통해 확인하는 과학적인 경험을 쌓을 수 있을 것으로 기대된다: (1) 자기 쌍극자가 형성하는 자기장의 크기가 거리의 세제곱에 반비례함, (2) 자기장이 존재하는 공간에서 운동하는 도체가 패러데이의 전자기 유도법칙에 의해 속력에 비례하는 저항력을 받음, (3) 회전 운동하는 물체가 선속력에 비례하는 힘을 받을 때 회전하는 물체의 각속도가 지수함수적으로 감소하며, 각속도의 시상수의 역수가 자기장 크기의 제곱에 비례함.

이 논문은 2023학년도 대구대학교 학술연구비지원에 의한 논문입니다.