많은 최신 기술이 양자 개념을 기반으로 함에 따라, 일상생활에서 양자역학은 점차 중요해지고 있다. 중등 및 대학 물리교육에서 양자교육의 중요성은 그동안 점차 강조되어 왔으며, 2009 개정 교육과정에서 불확정성 원리, 슈뢰딩거 방정식, 파동함수, 양자 터널링 효과 등 이전에 다루지 않았던 양자역학 관련 내용이 다수 포함된 것에 이어 [1], 2015 교육과정에서도 광전효과, 입자의 파동성, 수소원자, 불확정성 원리 등의 양자역학 관련 내용을 포함하고 있다 [2].

양자역학에 대한 학생의 이해를 조사하기 위한 다양한 검사가 개발되었으며 물리 전공 학생을 대상으로 하는 양자역학 개념조사(Quantum Mechanics Conceptual Survey; QMCS) [3], 양자역학의 기초 개념으로 이루어져 고등학교와 대학 물리 교육과정을 이수한 학생을 대상으로 사용할 수 있는 양자물리 개념조사(Quantum Physics Conceptual Survey; QPCS) [4], 양자 개념뿐만 아니라 그래프 등 시각적 표상에 대한 이해에도 초점을 맞춰 개발된 양자역학 시각화 도구 (Quantum Mechanics Visualization Instrument; QMVI) [5] 등이 개발되어 적용되었다. 최근 한국의 학생을 대상으로 조사된 양자물리 개념조사(QPCS) 결과에 따르면, 양자물리 개념조사의 6개 하위요소(에너지 양자화, 파동함수와 확률, 불확정성의 원리, 파동-입자 이중성, 터널링 효과, 슈뢰딩거 방정식) 중 에너지 양자화를 제외한 대부분의 영역에 대한 이해가 낮게 나타났다 [6,7].

양자 개념은 매우 추상적이며, 복잡한 수학적 모델로 설명되기 때문에 학생들은 양자역학을 이해하는 데 많은 어려움을 겪는다 [8]. 양자역학은 전자와 같이 매우 작은 세계에 대해 다루는 학문이며 양자 이론에 의해 기술된 현상은 전형적으로 어떤 일상적 맥락과도 관계가 없다. 따라서 일상의 경험을 기반으로 한 학생의 개념은 양자물리학의 이해를 저해하기도 한다 [9]. 실제로 양자역학을 어려워하는 학생들에게 그 이유를 물었을 때 가장 많이 나오는 응답은 “양자역학은 모두 수학이다.”라는 응답이다 [10]. 우리가 일상에서 사용하는 언어는 양자역학적 세계관을 명확하게 전달할 수 없으므로 다음의 두 가지 방식을 사용하여 양자역학에 대해 의사소통한다. 첫째로는 수학적 언어로 형식화된 수식 등을 사용하는 것이고, 둘째로는 시각적인 표상을 사용하는 것이다 [9]. 전자의 의사소통 방법은 대부분의 일반인을 의사소통에서 제외시키지만 후자는 더 많은 사람을 의사소통과 지식의 공유에 참여시킨다 [9].

양자역학에 대한 학생의 이해를 돕기 위해 양자역학의 다양한 주제들이 시각화되었으며, 이때, 엑셀 [11–13], 메스메티카(Mathematica) [14], VTK(visualization toolkit) [15], 플래시(Flash) [16] 등 다양한 프로그램이 사용되었다. 하지만 양자역학의 시각화 관련 연구는 숙련된 연구자가 프로그램을 활용하여 양자역학을 이렇게 시각화할 수 있음을 예시로 보여주는 연구가 대부분이었으며, 활용된 프로그램은 대부분 일반인이 익숙하지 않은 프로그래밍 언어를 기반으로 한 유료 프로그램인 경우가 많았다. 따라서 학습자가 단순히 사용자로 머무는 것이 아니라 능동적으로 참여하여 직접 양자역학을 시각화할 수 있는 기회는 제한적이었다.

최근 기술의 발달로 인해 우리가 흔히 사용하는 방식과 같은 수식으로 그래프를 그릴 수 있는 사용자 편의적 온라인 무료 프로그램들이 다수 개발되고 있다. 이 중 대표적인 것으로는 지오지브라 (GeoGebra), 데스모스(Desmos) 등이 있다 [17,18]. 이 프로그램들은 우리가 쓰던 표현 그대로의 수학적 표상을 코딩의 언어로 사용하여 그래프를 그릴 수 있는 기회를 제공하기 때문에 상대적으로 프로그램 언어에 대한 이해 없이도 학습자가 쉽게 그래프를 스스로 그려낼 수 있다는 장점을 가진다.

교사가 만들어 제공하는 표상과 달리 학생 스스로 제작한 표상은 학생의 참여와 지속성을 높이기 때문에, 학생이 표상을 만들 수 있는 기회를 제공하는 것은 중요하다 [19,20]. 특히 비가시적이고 일상에서 접하기 힘든 양자역학의 맥락에서 학생들은 소외당하기 쉬운데, 이때 학생이 스스로 만든 시각화 자료는 학생 중심의 교육을 할 수 있는 환경을 제공함과 동시에 학생의 참여 동기를 참여를 높일 수 있다 [21]. 사건이나 현상을 설명하기 위해 하나 이상의 방법을 사용하면 학생이 현상을 이해할 수 있는 가능성이 커진다 [22]. 특히 추상적인 개념을 구체적인 표상과 연계하여 조작하는 것은 개념의 발전에 도움을 줄 수 있다 [23]. 그래프는 수식에 비해 구체적인 표상이며 [24,25], 학생들은 표상의 전환을 통해 깊은 이해를 얻을 수 있다 [22].

최근 사용자 편의적 그래프 표상 프로그램을 과학 교실 현장에 도입하고자 하는 몇몇 연구가 진행되었지만, 앞서 논의되었던 프로그램들에서와 마찬가지로 연구자가 프로그램을 이용해 과학적 현상을 시각화할 수 있음을 보여주거나 [26,27], 이 프로그램으로 연구자가 개발한 시각화 자료를 학생들이 사용하도록 한 뒤 그 효과를 확인하는 연구가 대부분이었다 [28,29]. 사용자 편의적 그래프 시각화 프로그램들의 특징을 잘 활용하기 위해서는 학습자가 이 프로그램을 사용해 스스로 현상을 시각화해 볼 수 있는 기회를 제공하고 학생의 활동을 분석하며 그 활용 가능성을 엄밀히 검토하는 것이 선행되어야 할 것이다.

이에 본 연구에서는 그래프 표상 프로그램을 활용하여 양자역학을 학생들이 스스로 시각화하도록 하고, 시각화하는 과정에서 나타난 학생의 활동을 분석하여 그 특징을 이해하고 교육적 시사점을 얻고자 하였다.

1. 연구 참여자 및 자료 수집 방법

본 연구에는 서울 소재 사범대학 4학년 전공과목인 “양자물리 및 교육2”의 수강생 12명이 참여하였다. 연구 참여자는 양자역학의 태동, 파동-입자 이중성, 확률, 슈뢰딩거 방정식, 고유값, 고유함수, 전개가설, 일차원 퍼텐셜 우물, 파동역학의 구조, 연산자, 각운동량, 3차원 슈뢰딩거 방정식, 수소원자, 행렬표현, 스핀, 시간에 의존하지 않는 건드림 이론, 실제 수소 원자 (미세구조, 초미세구조), 다입자 계, 시간에 의존하는 건드림 이론 등을 학습하였다.

참여 학생들은 데스모스 프로그램을 활용하여 양자역학의 특정 부분을 선정하고 시각화하였으며 활동 전, 후 양자역학에 대한 자신의 이해에 어떠한 변화가 나타났는 지를 정리하여 발표하고 보고서 형태로 제출하였다. 참여 학생들은 자신이 제출한 자료가 연구에 사용되는 것에 모두 동의하였다. 연구 참여자의 익명성을 보장하기 위해 이후 연구 참여자는 각각 S1, S2, ..., S12로 표기하였다.

2. 양자역학의 시각화 프로그램

양자역학은 다양한 프로그램을 통해 시각화되어왔다. 양자역학의 이해를 돕기 위해 몇몇의 연구에서는 Wolfram 언어를 기반으로 한 메스메티카(Mathematica)[14], C++을 기반으로 한 VTK(visualization toolkit) [15], 자바(Java) 언어를 기반으로 한 플래시 (Flash) [16] 등의 프로그램을 사용하여 복소 함수의 복소수 값, 파동 묶음, 시간 의존 섭동을 시각화하였다. 하지만 이러한 프로그램들을 사용하기 위해서는 Wolfram, C++, Java 등의 문자 기반형 프로그래밍 언어의 학습이 선행되어야 한다. 이는 대부분의 일반 학생들이 양자역학의 시각화에 직접 참여하기 어렵게 만드는 장벽으로 작용한다. 실제로 이 연구들에서 양자역학의 시각화는 연구자들이 수행하였다.

1990년대 후반부터는 엑셀 프로그램을 사용하여 비교적 간단히 터널링과 파동 묶음 등 양자역학에서 다루는 여러 상황을 시각화할 수 있음을 보여주는 연구가 진행되었다 [11,12]. 엑셀은 접근성이 높으며 앞서 논의된 문자 기반형 언어를 사용한 프로그램에 비해 비교적 쉽게 학생들을 프로그래밍에 참여시킬 수 있다는 장점이 있다. 하지만 수식의 형태가 “r² = x²+y²”와 같이 우리가 흔히 사용하는 형태와 다르며, “=H2^2+I2^2”와 같이 참조한 셀의 위치를 불러와 계산하기 때문에 수식을 직관적으로 이해하기는 쉽지 않다. 한 연구에서는 엑셀의 이름 관리자 메뉴를 사용하여 셀의 위치 대신 기존에 사용하던 문자로 수식을 표현할 수 있음을 제안했지만, 여전히 엑셀에서 표현되는 수식(“=x^2+y^2)은 우리가 흔히 사용하던 형태와는 거리가 있다 [13].

최근 기술의 발달로 인해 우리가 흔히 사용하는 방식과 같은 수식으로 그래프를 그릴 수 있는 사용자 편의적 그래프 표상 프로그램들이 다수 개발되고 있다 [30–32]. 이중 대표적인 것으로는 지오지브라, 데스모스 등을 꼽을 수 있다 [17,18]. 지오지브라는 미분 계산의 핵심 개념의 시각화와 시뮬레이션을 위한 도구로써 [33], 그래프 관련 수학 교육 분야에서 교수-학습 자료들이 개발 및 적용되고 있다 [34,35]. 데스모스는 Eli Luberoff에 의해 개발된 온라인 소프트웨어 [18]로 최근 과학교육에서도 교수 학습 자료를 만드는데 활용되고 있다 [26, 36]. 이 프로그램들은 우리가 쓰던 표현 그대로의 수학을 코딩의 언어로 사용하여 그래프를 그릴 수 있는 기회를 제공한다. 따라서 앞에 논의된 다른 프로그램들이 비해 상대적으로 프로그램 언어에 대한 이해 없이도 학습자가 쉽게 그래프를 스스로 그려낼 수 있다는 장점을 가진다. 본 연구에서는 두 프로그램 중에 단순하고 보다 더 직관적이며 [37] 구글, 애플 등 다양한 방식의 로그인을 지원하는 데스모스 프로그램을 사용하여 학생들이 양자역학을 시각화할 수 있는 기회를 제공하였다.

3. 활동 및 수집 자료

본 연구의 대상이 되는 “양자물리 및 교육2”는 사범대학 4 학년 전공 선택과목으로 대부분의 강의는 3-4 월에 진행되었다. 실질적으로 양자역학의 내용 강의를 모두 마친 4월 말에 데스모스 프로그램을 소개하고 사용법을 안내하였다. 사용법 안내가 학생이 시각화할 양자역학의 주제 선정에 영향을 미치는 것을 최소화하고자 양자역학의 예시 대신 수학의 일차원, 이차원 그래프를 그린 뒤 그래프의 모양을 바꾸는 활동을 통해 데스모스 프로그램의 사용법을 소개하였으며, 관련 예제를 찾아볼 수 있는 곳을 안내하였다. 학생들은 약 한 달 정도의 기간동안 데스모스 프로그램을 사용해보고 관심 있는 양자역학의 주제를 시각화하였다. 이후 학생들은 자신이 만든 시각화 자료를 소개하였으며, 개발된 시각화 자료와 보고서를 제출하였다. 학생들이 제출한 보고서 및 시각화 자료는 발표 내용과 함께 분석되었다. 학생들이 보고서에 포함하도록 요청한 사항은 다음과 같다.

• 양자역학 내용 중 Desmos 를 활용하여 시각화할 부분 소개 및 선정 이유

• 해당 내용에 대한 자신의 이해

• 자신이 만든 Desmos 시각화 자료 소개

• 개발하면서 해당 내용에 대해 새로 알게 된 점

4. 수집된 시각화 자료

본 연구에서 수집된 시각화 자료는 Table 1과 같다. 대부분의 학생은 서로 다른 양자역학의 주제를 선정하여 시각화하였으며 정확히 같은 주제를 시각화 한 학생은 없었다. ‘역사적 발달과 기술’에 대해서는 한 명의 학생 (S1)이 불확정성 원리를 시각화하는 자료를 개발하였다. ‘슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용’에 대해서는 한 명의 학생(S2)이 계단 퍼텐셜을, 한 명의 학생(S3)이 터널링을, 두 명의 학생(S4, S5)이 조화 진동자를 한 명의 학생(S6)이 무한 퍼텐셜 우물을 시각화하였다. ‘슈뢰딩거 방정식의 고급 적용’에 대해서는 수소 원자의 지름 방향 함수(S7), 지름 방향의 함수와 방위 함수(S8), 3차원 무한 구면 퍼텐셜에서의 지름 함수(S9), 크로니-페니 모형(S10), 레이저 유도 방출(S11), 혼성 sp3 오비탈(S12)을 시각화한 학생이 각각 한 명씩 나타났다. 같은 주제를 시각화했더라도 학생들이 그 자료를 통해 보여주고자 하는 것이 달랐기 때문에 정확히 같은 시각화 자료를 개발하지는 않았다. 예를 들어 조화진동자를 시각화하는 자료를 개발한 두 명의 학생 중 한 명 (S4) 은 자신의 자료를 통해 대응 원리(correspondence principle)를 보여주고자 하였으며, 다른 한 명(S5)은 조화진동자 내부에 한 개의 입자를 더 추가하여, 두 개의 입자가 있을 때 시간에 따른 확률 변화를 보여주고자 하였다.

Table 1 Developed visualization materials.

Main Topic	Student	Sub Topic
Historical development & terminology	S1	Uncertainty principle
Application of Schrödinger equation in one dimension	S2	Step Potential
	S3	Tunneling
	S4	Harmonic oscillator(correspondence principle)
	S5	Harmonic oscillator (time dependent Schrödinger equation)
	S6	Particle in a box (time dependent Schrödinger equation)
Advanced Applications	S7	Radial wave function of Hydrogen Atom
	S8	Radial and angular wave function of Hydrogen Atom
	S9	Radial wave function of 3-Dimension Infinite Sphere Potential
	S10	Kronig-Penney Method
	S11	Stimulated Emission of Laser
	S12	Hybrid sp3 Orbital

선행연구에서 주요 양자역학 교재를 분석해 도출한 5개 주요 주제(역사적 발달과 기술, 양자역학의 가정, 슈뢰딩거 방정식, 슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용, 고급 적용)와 비교해 볼 때 [5,38], 연구 참여자들은 대부분 ‘슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용’ (5명, 41.7%)과 ‘슈뢰딩거 방정식의 고급 적용’ (6명, 50.5%)에 해당하는 주제를 시각화하였으며, ‘역사적 발달과 기술’(1명, 8.3%)도 시각화되었다. ‘양자역학의 가정’ 및 ‘슈뢰딩거의 방정식’은 ‘슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용’과 ‘슈뢰딩거 방정식의 고급 적용’을 시각화하기 위한 기본 가정이자 주요 수식이기 때문에 직접적으로 시각화되지는 않았지만, 이 주요 주제의 하위 주제들은 ‘슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용’과 ‘슈뢰딩거 방정식의 고급 적용’을 시각화하면서 활용되었다. 특히 ‘슈뢰딩거 방정식’의 하위 주제인 시간 무관 슈뢰딩거 방정식, 시간 의존 슈뢰딩거 방정식, 규격화와 확률 밀도와 ‘양자역학의 가정’의 하위 주제인 교유함수와 고유값, 상태함수와 기댓값 등이 지속적으로 활용되었다.

5. 분석 방법

학생들이 제출한 시각화 자료와 학생들의 보고서, 발표 과정 중에 수집된 필드 노트를 함께 분석하여 학생들의 시각화 과정에서 나타난 활동을 유형화하고 특징을 기술하였다. 자료 분석은 3단계로 수행하였다. 1차 분석에서 각 학생들의 시각화 과정에서 나타난 활동은 표상 전환 활동과 실험 활동을 수행한 2개 유형으로 분류되었다. 표상 전환 활동을 수행한 학생들은 단지 주어진 상징적 표상인 수식을 시각적 표상인 그래프로 전환하였으며, 이들이 만든 시각적 자료에는 조작 변인이 없었다. 따라서 학생들은 특정 변수에 따라 그래프가 변화하지 않는 정적 표상 [39,40]을 시각화 자료로 제출하였다. 실험 활동을 수행한 학생들은 독립 변인의 변화에 따른 그래프의 변화를 관찰하였다. 따라서 이 학생들은 특정 변수에 따라 그래프가 변화하는 동적 표상 [39,40]을 시각화 자료로 제출하였으며 이 자료는 컴퓨터 시뮬레이션처럼 활용되었다. 2차 분석에서는 실험 활동을 수행한 학생들을 추가로 확인 실험과 탐구 실험의 두 유형으로 분류하였다. Woolnough [41]에 따르면 실험의 목적은 크게 확인 실험과 탐구 실험으로 구분된다. 확인 실험은 과학의 내용을 시범 보이는 데 사용되며 [41], 본 연구에서 확인 실험을 수행한 학생들은 자신의 사전 지식을 확인하거나 시각화하기 위해 데스모스 프로그램을 활용하였다. 탐구 실험은 학생들이 자신의 주장과 예상을 제시하고 그것을 검증하는 것을 의미하며 [41], 본 연구에서 탐구 실험을 수행한 학생들은 자신이 이전에 알지 못하던 현상을 탐구하는데 데스모스 프로그램을 활용하였다. 최종적으로 시각화 과정에서 나타난 학생의 활동은 Table 2와 같이 표상 전환, 확인 실험, 탐구 실험의 3가지 유형으로 구분하여 분석하였다. 3차 분석에서는 각 유형별 특징을 잘 나타낼 수 있는 대표 사례를 선정하였으여, 도출된 유형별 특징을 바탕으로 교육적 시사점을 도출하였다. 자료의 초기 분석은 연구자 1인이 수행하였으며, 이후 과학교육 연구자 3인과의 논의를 통해 분석의 정당성을 검토하였다. 다른 의견이 나타나는 경우, 논의를 통해 최종 합의를 도출하였다.

Table 2 Type of activities in visualization.

Type of Activity	Characteristics
Representation transformation	Representation transformation from equation to graph
Verification experiment	Verification of pre-knowledge
Inquiry experiment	Inquiry of unknown situations

시각화 과정에서 나타난 학생의 활동을 Table 2.의 분석틀을 사용해 분석한 결과는 Table 3과 같다. Table 3에는 시각적 자료를 직접 확인해 볼 수 있는 URL도 같이 안내 하였다. 분석 결과 시각화 과정에서 표상 전환 활동을 수행한 학생은 2명(16.7%), 확인 실험 활동을 수행한 학생은 6명(50.0%), 탐구 실험 활동을 수행한 학생은 4명(33.3%)이었다.

Table 3 The type of activities and developed visualization materials.

Type of Activity	Student	Sub Topic	URL of the Developed Material
Type 1. Representation transformation	S7	Radial wave function of Hydrogen Atom	https://www.desmos.com/calculator/jonmxh03ee
	S8	Radial and angular wave function of Hydrogen Atom	https://www.desmos.com/calculator/maar5nx6mr
			https://www.desmos.com/calculator/zn30yzu8q6
Type 2. Verification experiment	S1	Uncertainty principle	https://www.desmos.com/calculator/izpq7a9pjx
	S2	Step Potential	https://www.desmos.com/calculator/tbfzcgtume
	S3	Tunneling	https://www.desmos.com/calculator/zwtwzrskea
	S4	Harmonic oscillator (correspondence principle)	https://www.desmos.com/calculator/d8w5ksnx1q
	S9	Radial wave function of 3-Dimension Infinite Sphere Potential	https://www.desmos.com/calculator/5u7mzskmfb
	S11	Stimulated Emission of Laser	https://www.desmos.com/calculator/0lbmczbosa
Type 3. Inquiry experiment	S5	Harmonic oscillator (time dependent Schrödinger equation)	https://www.desmos.com/calculator/hsnocmym0z
	S6	Particle in a box (time dependent Schrödinger equation)	https://www.desmos.com/calculator/rimi1ngddv
	S10	Kronig-Penney Method	https://www.desmos.com/calculator/6ssgn1qg5n
			https://www.desmos.com/calculator/wpvdfusx9a
	S12	Hybrid sp3 Orbital	https://www.desmos.com/calculator/c33jkv2dah

1. 표상 전환 활동

2명의 학생(S7, S8)이 시각화 과정 중에 표상 전환 활동을 수행하였다. 이 학생들은 데스모스 프로그램을 단순히 수식을 그래프로 변환하는 표상 전환 도구로 사용하였다. 이 유형의 학생들이 데스모스 프로그램에 입력한 수식은 모두 교재에서 찾아볼 수 있었으며, 그 결과인 그래프도 모두 교재에서 확인할 수 있다는 점에서 이 유형의 학생들은 다른 유형의 학생들과 구분된다. 학생들이 개발한 시각화 자료는 Fig. 1과 같다. 이 유형의 학생들은 수소 원자의 수소 원자의 지름 방향 함수 (S7, S8) 와 방위 함수 (S8) 를 그래프로 전환했다.

Figure 1. (Color online) Visualization materials developed by type 1 students: (a) Radial wave function of Hydrogen atom(S7). Dashed line represents y = R₁₀(r), dotted line represents y = |R₁₀(r)|², and solid line represents y = r²|R₁₀(r)|²; (b) Angular wave function of Hydrogen atom(S8).

데스모스 프로그램을 사용하는 맥락에서 학생들은 프로그램에 다양한 방정식을 쉽게 입력 할 수 있었다. 이러한 맥락에서 학생들은 개발 초기 단계에서 입력을 고려하지 않은 다양한 함수를 프로그램에 입력하고 그래프로 전환하였다. S7은 Fig. 1(a)과 같이 지름 방향 파동함수 (y = R_nl(r)), 지름방향 확률 분포 함수(y = r²|R_nl(r)|²)뿐만 아니라 지름 방향 파동함수의 제곱 (y = |R_nl(r)|²)에 대해 그래프를 그렸다. S8은 Fig. 1(b)과 같이 입체각(dΩ = sin θdθdφ)에 대한 확률 밀도 함수(y = [Y_lm]²)뿐만 아니라 에 대한 확률 밀도 함수(y = [Y_lm]² sin θ)도 입력하여 그래프로 나타냈다.

다양한 함수를 그래프로 변환한 뒤, 이 학생들은 교과서의 그래프를 기반으로 자신의 그래프를 평가하거나 자신의 그래프를 기반으로 교과서의 그래프를 평가했다. 교과서의 표상과 같이 권위 있는 표상을 학생 자신의 표상과 비교하는 것은 표상 기반 학습에서 가장 자주 사용되는 전략 중 하나이다 [42]. 이 학생들은 스스로 교과서의 표상과 자신의 표상을 비교하였으며 비교의 방향은 두 방향으로 나타났다. S8은 교과서의 그래프를 기반으로 자신이 그린 그래프를 평가하였다. S8은 y = [Y_lm]² sin θ 의 그래프를 그려본 뒤 교과서의 그래프와 다름을 확인하였으며 y = [Y_lm]² 의 그래프가 교과서의 그림과 일치함을 확인하고 이를 설명하였다. 이와 관련된 S8의 설명은 다음과 같다.

S8: 흔히 구면 조화함수의 크기에 해당하는 y = [Y_lm]² 확률밀도함수는 입체각 (dΩ) 에 대한 확률밀도함수이다. y = [Y_lm]² sin θ 의 확률밀도함수를 그려보면 익히 잘 알려져있는 분포함수와 다른 그림이 나타난다.

반면, S7은 자신이 그린 그래프를 기반으로 교과서의 그래프를 평가했다. Figure 2는 물리2 교과서의 그래프 중 하나이다 [43]. S7은 교과서 그림의 설명은 파동함수라고 적혀 있지만, 그래프의 축에는 확률 분포라고 적혀 있는 것을 지적했다. 특히 3차원 그래프는 원점이 가장 진하게 채색된 것으로 볼 때, 확률 밀도 함수가 아니라 파동함수인 데 이를 명확히 구분하지 않고 사용하는 것이 잘못되었다고 평가한다. 이과 관련된 S7의 설명을 다음과 같다.

Figure 2. (Color online) Radial wave function and probability density function in Korean textbook [43].

S7: ‘확률 밀도 함수’ 가 핵과의 거리가 0인 지점에서 0의 값을 가지는 데 반해 ‘전자가 발견될 확률’을 나타내는 3차원 전자구름은 핵과의 거리가 0인 지점에서 그 확률이 가장 큰 것으로 표현된다. (중략) 위는 2009 교육과정의 내용으로 제작된 물리2 교과서이다. 여기서는 확률 밀도 함수와 확률 분포, 파동함수의 구분을 명확히 하지 않고 사용하고 있다.

이처럼 이 유형의 학생들은 표상 기반 학습에서 전통적으로 기대했던 행동을 보여주었다. 또한, 학생 자신의 표상을 기반으로 권위 있는 표현에 도전하는 사례가 나타날 수 있음을 발견하였다. 이는 학생들이 표상을 전환함으로써 깊은 이해를 얻을 수 있다는 선행 연구의 제안과도 일치한다 [22]. 학생들은 그래프의 모양을 구체적으로 비교하면서 평가의 증거로 사용하였다. 이 유형의 학생들은 수식에 비해 그래프를 마치 물리적인 실체처럼 다루고 비교하였는데, 그래프가 수식보다 더 구체적인 표상이라는 점을 고려하였을 때 [24,25] 학생들의 이러한 행동은 패러데이가 자기력선을 물리적 물체처럼 다루며 개념을 발전시킨 사례와 비교해 볼 수도 있을 것이다 [23].

2. 확인 실험 활동

이 유형의 학생들(6명, S1, S2, S3, S4, S9, S11)은 이미 알고 있는 사전 지식을 확인하거나 시각화하기 위해 프로그램을 사용하였다. 이 유형에서 학생들의 시각화 자료는 확인 실험을 위한 컴퓨터 시뮬레이션처럼 활용되었으며, 학생들은 시뮬레이션 개발자처럼 행동하였다. 학생들은 조작 변인의 변화에 따라 그래프의 모양이 변하는 자료를 개발하였다. 구체적으로는 퍼텐셜 장벽의 높이나 폭을 변화시키면서 장벽을 통과하는 파동함수나 확률 분포함수의 변화를 확인하거나(S3), 양자수가 커짐에 따라 양자역학적 확률 밀도가 고전적 확률 밀도와 비슷해지는 것을 확인하거나(S4), 파동함수의 다양한 상수를 변화시키면서 운동량과 위치의 불확실도의 곱이 항상 ℏ/2보다 큰지를 확인하거나 (S1), 양자수의 변화에 따른 3차원 무한 퍼텐셜 우물의 지름 방향 함수의 변화를 확인할 수 있는 자료(S9) 등을 개발하였다.

그래프가 자신의 의도대로 움직이지 않는 경우 학생들은 프로그램을 디버깅하는 프로그래머처럼 자신의 시각적 자료를 검토하고 수정하였다. 어떠한 수식을 넣어야 하는지 이미 알고 있던 유형 1의 학생들과 달리, 유형 2의 학생들은 시각화 자료가 어떻게 작동해야 하는지는 알고 있었지만, 그것을 구현하기 위해 필요한 모든 수식을 정확히 알고 있지는 않았다. 이러한 맥락에서 학생들은 교재에서 다루지 않는 계수들을 계산해야 했고, 수식의 의미를 이해해야 했다. 자신의 계산 결과나 이해가 옳은지를 교재를 통해 판단할 수가 없었기 때문에 학생들은 그래프가 자신의 의도대로 움직이는가를 통해 자신이 만든 시각적 자료의 적절성을 판단하였다. 이때 그래프의 모양은 두 가지 방법으로 사용되었다. 한 가지 방법은 수식이 적절한지에 대한 즉각적인 피드백을 제공하는 것이었다. 학생들은 프로그램에 자신이 계산한 식을 넣어 결과가 제대로 나오는지를 확인하고 그렇지 않았을 때 수식을 다시 계산하여 옳은 결과가 나오는지를 다시 확인하는 것이었다. 다른 한 가지 방법은 적절한 수식의 형태를 예측할 수 있는 스캐폴딩을 제공하는 것이었다. 학생들은 그래프의 모양 관찰하고 결과가 제대로 나오기 위해서는 수식이 어떻게 바뀌어야 하는지를 생각하였으며, 이후 수식을 바꿔보고 자신의 이해를 재검토하였다.

S3은 터널링에 대한 시각적 자료를 만들고자 하였다. 대부분의 양자역학 교재에서는 퍼텐셜 우물에서의 터널링을 다루고 있다. 하지만 많은 교재에서 터널링에 대한 시간 무관 슈뢰딩거 방정식의 일반해 만을 다루며 장벽 전, 후의 파동함수의 진폭을 비교하여 투과율 [44,45]과 반사율 [44]만을 계산한다. 따라서 S3은 퍼텐셜 장벽 내의 파동함수들의 계수를 스스로 계산할 필요가 있었으며, 계산한 시간 무관 함수를 시간 관련 함수로 바꾸어야 했고, 허수 계산을 지원하지 않는 데스모스 프로그램 환경에 맞춰 파동함수를 실수부와 허수부로 분리해야 했다. S3의 계산 결과는 부록 A에 자세히 나와 있다.

S3: 계수들을 맞춰야지요. 세 부분 (장벽의 오른쪽, 장벽 사이, 장벽 왼쪽)에서 계수들을 맞춰가지고 연속되게 이렇게 그리는 게 좀 관건이었습니다. 계산을 해서. 그래서 여기 보면, 이거 실수부랑 허수부 나눠가지고

S3은 시각화 자료가 예상대로 작동하는지를 바탕으로 자신이 계산한 계수들의 적절성을 평가했다. 발표의 초기 단계에서 S3 은 퍼텐셜 장벽의 폭이 넓어지거나 높이가 높아지면 투과된 상태 함수의 진폭이 작아지는 것을 확인했다. 이처럼 시각적 자료가 자신이 의도했던 방식으로 작동하는 것을 확인한 후 자신 있게 자신이 개발한 시각적 자료를 소개했다.

S3: 일단은 여기 (퍼텐셜 장벽의 폭이) 넓을 때는 아무것도 안 나오는 거 구요. 이걸 (퍼텐셜 장벽의 폭을) 줄이니까 터널링이 되는구나, 해서 배리어를 뚫고 나오는 구나를 좀 보여줄 수 있습니다. (퍼텐셜 장벽의) 높이도, 많이 높아지면 더 (투과가) 안 되겠죠. 이정도 확인할 수 있는

그러나 발표 도중에 특정 에너지에서 그래프가 불연속이 되는 일이 발생했다. S3은 그래프의 불연속을 확인하고 계수를 다시 계산하여 그래프가 연속이 되도록 수정해야 한다고 설명했다. 이와 관련된 S3의 설명은 다음과 같다.

S3: 연속이 될 거에요. 한 번 확인해보겠습니다. 아무튼, 연속이되는 거 같은데, 일단은 (중략) 지금 수식 넣어봤더니 연속적이지 않아 가지고, 어 다시 또 (계산) 해봐야 될 거 같아요.

시각적 표상을 기반으로 수식을 수정하고 자신의 이해를 개선하는 과정은 S4의 사례에서 볼 수 있다. S4는 양자수(n)가 증가함에 따라 양자역학적 예측이 고전적 예측과 유사해지는 대응 원리에 대한 시각화 자료를 만들고자 했다. S4가 최종적으로 개발한 시각적 자료는 Fig. 3과 같다. n = 1인 경우를 나타낸 Fig. 3(a)에서 양자역학적 확률 밀도 함수의 그래프(빨간 그래프)와 고전적 확률 밀도(classical probability density) [44] 함수의 그래프(노란 그래프)가 크게 다르게 나타나지만, n = 30인 경우를 나타낸 Fig. 3(b)에서는 두 그래프가 유사한 것을 확인할 수 있다.

Figure 3. (Color online) Visualization material of harmonic oscillator about correspondence principle developed by S4. Red line represents the classical probability distribution and yellow line represents the quantum mechanical probability distribution: (a) when n = 1; (b) when n = 30.

S4가 초기에 만들었던 시각화 자료는 Fig. 4와 같다. S4는 상태함수를 제곱해 양자역학적 확률 밀도 함수를 구하는 방법을 고전적 계산에 잘못 적용하였다. S4는 계산을 통해 이미 고전적 확률 밀도 함수를 구했지만, 이 함수를 다시 제곱해야 고전적 확률 밀도 함수가 된다고 생각했다. 따라서 S4는 Fig. 4(a)와 같이 양자역학적 확률 밀도 함수 (노란색 그래프)와 고전적 확률 밀도 함수의 제곱(보라색 그래프) 을 비교했다. 또한, Fig. 4(b) 에 표시된 것처럼 양자역학적 상태함수 (녹색 그래프) 와 고전적 확률 밀도 함수(빨간색 그래프)를 비교하기도 했다.

Figure 4. (Color online) Initial visualization material of harmonic oscillator about correspondence principle developed by S4 when n=30: (a) comparing the square of the classical probability density function (purple line) and the quantum mechanical probability density function (yellow line); (b) comparing the classical probability density function (red line) and the quantum mechanical state function (green line).

S4: 이거 (Fig. 4(b) 녹색 그래프) 는 상태함수고요. (중략) 초록색(양자역학적 상태함수)이랑 빨간색(고전적 확률 밀도 함수)이 어떻게 모양이 변하는지 봐주세요.

발표 중에 S4는 Fig. 4(b)와 같은 그래프들을 보여주면서 양자역학적 확률 밀도 함수와 고전적 확률 밀도 함수가 자신이 기대했던 것에 비해 유사하지는 않으며, 고전적 확률 밀도 함수가 더 낮게 그려졌음을 인식했다.

S4: 제곱 모양이 살짝 이상하긴 하네요. 저거 파란 것 (보라색 그래프) 이 (고전적 확률 밀도 함수) 의 제곱인데 (양자역학적 확률 밀도 함수 보다) 바닥에 붙는 것이 이상하긴 하네요.

유형 2의 학생들에게 시각적 표상은 그래프를 그리기 위해 입력한 수식의 어느 부분을 수정할 것인지를 판단할 수 있는 정보를 제공하였다. S4가 개발한 시각화 자료는 위에서 언급된 4개의 그래프 모두를 한 화면에서 서로 비교할 수 있는 잠재성을 가지고 있었다. S4가 발표 중에 그래프들이 자신의 생각보다 덜 비슷함을 인식하였을 때, S6은 양자역학적 확률 밀도 함수(Fig. 4(a) 노란색 그래프)와 고전적 확률 밀도 함수 (Fig. 4(b) 빨간색 그래프) 를 비교하자고 제안하였다. S4는 S6의 의견에 동의하였으며, 즉시 두 함수를 비교하여 두 함수가 유사함을 확인하였다.

S6: 저거(Fig. 4(b) 빨간 그래프, 고전적 확률 밀도 함수) 확률 해가지고, 제곱한 거(Fig. 4(a) 노란색 그래프, 양자 역학적 확률 밀도 함수)랑 (비교하면)...

S4: 이러면 저거 맞겠다. 스무스 하게 해가지고. 그러게... (중략) 이거 (고전적) 확률(밀도 함수는) 제곱한 거 아니다.

이후 S4는 자신이 이미 확률 분포를 나타내는 고전적 확률 밀도 함수를 제곱하여 잘못 확률 밀도 함수를 만들려 했음을 이해하였으며, 최종적으로 Fig. 3과 같이 시각적 자료를 수정하였다.

3. 탐구 실험 활동

이 유형의 학생 4명(S5, S6, S10, S12)은 자신이 개발한 시각화 자료를 사용해 양자역학적 현상을 탐구했다. 이 학생들은 에너지 시간 등의 변수를 바꾸면서 그래프의 변화를 관찰하였다는 점에서 시각화 도구를 확인 실험의 도구로 사용한 유형 2 학생과 유사한 부분이 있지만, 이후에 그래프가 어떻게 변할지 정확히 알지 못하는 상황을 시뮬레이션하고 탐구하였다는 점에서 유형 2의 학생들과 구분된다. 학생들은 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여 자신이 이전에 알지 못했던 현상을 탐구하였다.

S6은 무한 퍼텐셜 우물 내에 존재하는 입자의 확률 분포가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 시각화하고자 했다. S6은 확률 분포가 시간에 따라 변한다는 것을 알고 있었지만, 그것이 어떻게 변하는지는 정확히 알고 있지는 않았다. S6의 시각화 자료에서 확률 분포 함수는 n = 1에서 n = 30까지인 고유함수들의 합으로 구현되었다. 각각의 고유함수들은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식의 해에 각각의 위상 인자(e^iE_nt/ℏ, 단 E_n 은 n번째 상태의 에너지, ℏ는 디랙 상수)를 곱해 구하였다. 허수 계산이 안 되는 프로그램의 특성 때문에, S6은 각 고유함수들을 실수부와 허수부로 나누고 각각을 제곱한 뒤 더하여 확률 밀도 함수를 구하였다. 최종적으로 개발된 S6의 시각화 자료는 Fig. 5와 같다. Figure 5에서 녹색 그래프는 입력한 상태함수를 제곱하여 구한 t = 0일 때의 확률 밀도 함수를 나타내고, 보라색 그래프는 30개의 고유함수들의 합으로 계산한 임의의 시간에 대한 확률 밀도 함수를 나타낸다. 시각화 자료를 개발한 뒤 S6은 이미 알려진 결과 중 하나를 입력해 시각화 자료의 타당성을 검증했다. 검증을 위해서 S6은 교재의 연습 문제 [45]에 있는 초기 상태함수, ψ(x) = sin⁵(πx/L)를 사용했다(L은 퍼텐셜 우물의 폭, x는 위치). S6은 자신의 시각화 자료에 이 함수를 넣어 얻은 결과가 교재의 풀이와 같음을 확인하였고, 이를 통해 시각화 자료가 잘 작동함을 확인했다(Fig. 5(a)). 이처럼 유형 3 학생들의 시각화 자료의 타당성 검증 및 수정 과정은 유형 2의 학생과 유사하게 나타났다.

Figure 5. (Color online) Visualization material about particle in a box (time dependent Schrödinger equation) developed by S6. Green line represents initial probability distribution and purple line represents probability distribution from sum of the eigenfunctions of n = 1−30: (a) When initial state function is ψ(x) = sin⁵(πx/L) and t = 0; (b) When initial state function is ψ(x) = sin⁵(πx/L) and t is half period; (c) When initial state function is ψ(x) = x and t = 0; (d) When initial state function is ψ(x) = x and t is half period.

이후, 학생들은 개발된 시각적 자료에 다양한 수식이나 변수를 넣어 결과를 확인하였으며 그 결과를 설명하였다. S6은 자신이 개발한 시각적 자료에 ψ(x) = x,ψ(x) = 1/L,ψ(x) = x(x − L)(x − L/2) sin x cos x 등 다양한 상태 함수를 입력하고 결과를 확인하였다. S6은 Fig. 5(a)와 같이 초기 확률 분포가 좌우 대칭인 경우는 Fig. 5(b)와 같이 시간에 따라 확률 분포가 좌우 대칭으로 변하다 초기 상태로 돌아오며, Fig. 5(c)와 같이 좌우 대칭이 아닌 경우는 시간에 따라 확률 분포가 변하며 어느 순간 Fig. 5(b)와 같이 초기 확률 밀도와 좌우 대칭인 상태가 되었다가 다시 초기 상태로 돌아옴을 확인하였다. 이후 S6은 그래프의 시간에 따른 변화를 “옆으로 왔다가 다시 왔다가 진동을 합니다.”, “(초기함수가 좌우 대칭일 때는) 양쪽으로 갈 때도 있고 다시 이렇게 돌아옵니다.” 라고 정리하였다. 이처럼 S6은 다양한 수식을 넣어 즉각적으로 결과를 확인하고, 그래프의 시간에 따른 변화를 면밀히 살펴보았으며, 이를 통해 이전에 알지 못했던 것을 발견하고 일반화하였다.

본 연구에서는 그래프 표상 프로그램을 활용하여 학생들이 스스로 양자역학을 시각화하는 과정에서 나타난 학생의 활동을 분석하여 그 특징을 이해하고 교육적 시사점을 얻고자 하였다. 학생의 활동은 표상 전환, 확인 실험, 탐구실험의 3개 유형으로 분류하여 분석하였다. 대학생 12명이 연구에 참여하였으며 발표 내용과 보고서가 함께 분석되었다. 학생들은 불확정성 원리, 터널링, 조화 진동자, 무한 퍼텐셜 우물, 수소 원자의 지름 방향 함수와 방위 함수, 3차원 무한 구면 퍼텐셜에서의 지름 함수, 크로니-페니 모형, 레이저 유도 방출, 혼성 sp3 오비탈을 시각화하였다. 학생들은 서로 다른 양자역학의 하위 주제를 선정하여 시각화하였으며 정확히 같은 주제를 시각화한 경우는 없었다. 분석 결과 시각화 과정에서 표상 전환 활동을 수행한 유형 1은 2명 (16.7%), 확인 실험 활동을 수행한 유형 2는 6명 (50.0%), 탐구 실험 활동을 수행한 유형 3은 4명 (33.3%) 으로 나타났다.

유형 1의 학생들은 데스모스 프로그램을 단순히 표상전환 도구로 사용하였다. 이 유형의 학생들은 입력해야 할 수식과 그 결과 나타날 그래프의 형태를 모두 알고 있었다. 이 학생들은 교과서의 그래프를 기반으로 자신의 그래프를 평가하였으며 반대로 자신의 그래프를 기반으로 교과서의 그래프를 평가하기도 했는데, 상대적으로 구체적인 표상인 그래프 각 부분의 모양을 비교하면서 평가의 증거로 사용하였다.

유형 2의 학생들은 유형 1의 학생들과 달리 결과적인 그래프의 모양은 알고 있었지만 입력해야 할 수식을 정확히 알지 못했기 때문에 입력한 수식의 적절성을 지속적으로 평가하였다. 유형 2의 학생들은 시각화 자료를 확인 실험을 위한 컴퓨터 시뮬레이션처럼 활용하였으며, 그래프가 의도대로 움직이지 않는 경우 학생들은 프로그램을 디버깅하는 개발자처럼 자신의 시각적 자료를 검토하고 수정하였다. 이 학생들은 자신의 계산 결과나 이해가 옳은지를 교재를 통해 판단할 수가 없었기 때문에 그래프가 자신의 의도대로 움직이는가를 통해 자신이 만든 시각적 자료의 적절성을 판단하였다. 이때 그래프는 수식이 적절한지에 대한 피드백을 제공하였으며, 적절한 수식의 형태를 예측할 수 있는 스캐폴딩을 제공하기도 하였다.

유형 3의 학생들은 유형 2의 학생들과 달리 결과적인 그래프의 모양을 알지 못하는 다양한 수식을 자신이 개발한 시각적 자료에 넣어 결과를 확인하였다. 유형 3의 학생들은 자신이 개발한 시각화 자료가 잘 작동한 것을 확인한 뒤에 이전에는 생각하지 않았던 다양한 수식을 넣어 확인하였다. 이 활동을 통해 학생들은 자신이 모르던 현상을 탐구하고 이전에 알지 못했던 것을 발견하고 일반화하였다.

본 연구에서는 학생들이 그래프 표상 프로그램을 사용해 양자역학 현상을 시각화하는 과정에서 다양한 활동이 나타날 수 있음을 보여주었다. 학생들은 시각화된 자료를 수식의 변환 도구로 사용하였으며(유형 1), 시각화 자료를 만든 뒤 시각화된 자료가 자신의 사전 지식대로 작동하는지 확인하며 시각화 자료를 수정하였고(유형 2), 자료의 설명력이 확보된 뒤에는 마치 컴퓨터 시뮬레이션 실험을 수행하듯 시각화 자료를 사용하여 자신이 모르는 상황을 탐구하였다(유형 3). 이때, 사용자 친화적 그래프 표상 프로그램은 이 맥락에서 학생들이 입력한 수식에 대한 구체적인 표상을 제공하였고, 학생은 이 상대적으로 구체적인 표상을 다른 표상과 비교할 수 있게 되었다. 따라서 학생들은 자신의 시각화 자료를 사용해 만들어낸 구체적인 표상들을 서로 비교하며 자신의 이해를 개선할 수 있는 근거로 사용하였으며, 사용자 친화적 그래프 표상 도구의 특징인 수식의 자유로운 입력과 결과의 확인은 학생들이 자신의 이해를 수정할 수 있는 피드백을 제공해 주었다.

그래프의 표상 방법을 사용하는 본 연구의 맥락에서 대부분의 학생들은 슈뢰딩거 방정식의 일차원 적용과 슈뢰딩거 방정식의 고급 적용에 대한 여러 현상을 주로 확률 밀도 함수나 파동함수로 시각화하였다. 이 과정에서 학생들은 양자역학의 가정과 슈뢰딩거 방정식을 활용하였으며 이에 대한 자신의 이해를 검토하고 향상시켰다. 양자역학에 대한 대학생의 이해를 조사한 연구에서는 학생들이 양자역학의 파동함수를 그리는 데 많은 어려움이 있음을 보고하고 있다 [46] 본 연구에서 유형 1의 학생들은 그래프 표상 프로그램의 지원을 받아 그래프를 그릴 수 있었으며, 자신이 그린 그림을 다른 권위 있는 그래프와 비교해가면서 파동함수에 대한 자신의 이해를 향상시킬 수 있었다. 또한, 선행연구에서는 학생들은 양자역학의 수학적 표현들, 특히 허수를 다룸에 있어 어려움을 겪음을 보고하였다 [47]. 허수의 계산을 지원하지 않는 프로그램의 특성상 본 연구에서 학생들은 직접 실수부와 허수부를 손으로 나눠 계산해야 하는 상황에 처했다. 수식의 입력에 대한 즉각적인 응답을 제공하는 그래프 표상 프로그램을 사용한 본 연구의 맥락에서 유형 2의 학생들은 자신이 계산한 결과에 대한 피드백을 받아 자신의 계산을 검토하고 수정할 수 있었다. 마지막으로 선행연구에 따르면 학생들은 슈뢰딩거 방정식의 시간에 따른 변화를 이해하는 데 많은 어려움을 겪는다 [48]. 구체적으로는 학생들은 모든 파동 함수들이 모두 같은 위상 인자를 갖는다고 생각하거나, 파동함수나 확률 밀도 함수가 시간에 의존하지 않는다고 생각하거나, 파동함수가 오랜 시간이 지나면 처음의 상태로 돌아가 고정될 것이라고 생각하였다 [47]. 동적 그래프를 그릴 수 있는 본 연구의 맥락에서 유형 3의 학생들은 시간에 따라 변화하는 확률 밀도 함수를 시각화하면서 각각의 고유함수들이 서로 다른 위상 인자를 가짐을 이해하고 적용하였으며, 확률 밀도 함수가 시간에 따라 변화할 수 있음을 확인하였고, 무한 퍼텐셜 우물에서 확률 밀도 함수가 주기적으로 변화함을 이해하였다.

본 연구는 최근 과학교육에서 강조되고 있는 것처럼 학생들을 시각화 과정에 참여할 수 있도록 할 수 있는 한 방안을 제안했다. 본 연구에서는 이미 개발되어있는 자료를 학생들 이 단순히 활용하는 것을 요구하지 않았고, 따라서 학생은 주제 선정에서부터 시각화 방법의 선택 전 과정을 스스로 주체가 되어 참여하였다. 일상에서 접하기 어렵다는 점 때 문에, 기존의 양자역학 수업에서 학생의 역할은 강의를 듣고 연습 문제를 푸는 등 제한적이었으며, 실험도 비유실험이나 단순 경향성을 확인하는 시뮬레이션 실험에 그치는 경우가 많았다. 학생들의 상상력을 시각화하기 위한 다양한 프로그램의 개발은 그 도구의 적용 방법과 함께 연구되어야 할 것이다. 본 연구에서 제안한 3개의 시각화 유형은 후속 유형이 이전 유형의 특징을 포괄하는 경향을 보였다. 따라서 이 3가지 유형은 컴퓨터 프로그램을 활용한 수업의 단계별 목표 설계의 기초 자료로 활용될 수 있을 것이다. 이는 본 연구에서 소개된 3가지 유형이 수준으로 해석될 수 있는 가능성을 보여주며 관련된 추후 연구를 제안한다. 이러한 방식의 활동은 데스모스 프로그램과 양자역학의 주제뿐만 아니라 다양한 프로그램 및 주제에서 활용이 가능할 것으로 기대한다. 학생의 자료 개발 과정과 활용 과정을 질적으로 엄밀히 들여다보는 추후 연구를 통해 학생과 오픈소스 개발 프로그램들의 다양한 가능성과 활용 방안이 좀 더 심도 깊게 논의될 수 있을 것이다.

이 논문은 2018년 대한민국 교육부와 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (NRF-2018S1A5B5A07072401).