핵 및 입자 물리학 실험에서는 검출기의 성능을 시험하 기 위해 뮤온 입자를 사용한다 [1]. 왜냐하면 뮤온 입자의 에너지가 다양하고, 거의 모든 방향에서 입사할 뿐만아니라 늘 우주에서 쏟아져내리기 때문이다. 뮤온의 선속은 입사 각도에 따라 다른데, 임의의 구조를 갖는 검출기에 입사하는 뮤온의 선속을 알면 검출기의 성능을 시험하기 위한 뮤온 신호 데이터를 받는 데 아주 유용하다.

우주선은 지구 외부로부터 입사하는 입자들인 일차 우주선과 일차 우주선이 지구 대기 중의 원자핵들과 상호작용해 다양한 입자들로 붕괴된 이차 우주선으로 나뉜다. 붕괴된 우주선은 대부분 파이온(π)으로 구성된다. 전하를 갖는 파이온(π^±)은 뮤온(µ^±)과 뉴트리노(ν)로 붕괴하고, 중성인 파이온 (π⁰)은 광자와 전자로 연쇄 붕괴해 전자기적 입자 소나기를 만든다 [2,3]. Figure1에서 알 수 있듯이 지상에 도달하는 양성자와 중성자의 수는 뮤온 수의 1/100 이기 때문에 지상에서 관측되는 우주선은 뮤온이라고 말할 수 있다. 뮤온은 다른 입자들보다 수명이 길고, 대기와의 상호작용이 적기 때문에 지상에서 관측하기 쉽다 [2].

Figure 1. (Color online) Vertical fluxes versus atmospheric depth of various particles [2]. The points indicate measurements of negative muons with E_µ >1 GeV from different experiments [4–9].

뮤온이 대기를 통과하여 지표면에 도달하기까지 가장 짧은 경로는 지표면에 수직으로 입사하는 경로다. 지표면에 수직인 경로와 그렇지 않은 경로 간의 사잇각을 천정각(θ)이라고 한다. 뮤온이 통과하는 경로의 천정각이 클수록 뮤온이 잃는 에너지의 양이 많아진다. 뮤온이 천정각 θ 방향에서 입사할 때, θ ≤ 75° 인 영역에서, 뮤온 개수 I(θ)는 식 (1)을 따른다. n 값은 운동량의 함수이며, 운동량이 대략 3 GeV/c인 뮤온의 경우는 n은 2이다 [2]. I₀ 는 θ = 0일때 단위 시간, 단위 면적 당 입사하는 뮤온의 수이다.

몇 개의 섬광검출기를 이용하면 실험실에서 입사 뮤온 선속의 천정각(θ) 의존성을 확인할 수 있다. 본 연구에서는 실험실에 이미 갖고 있는 두 개의 직육면체 섬광검출기를 이용해 뮤온 입사 각도에 따른 개수를 측정했다. 검출기의 형태가 직육면체이기 때문에 천정각 대신 2차원 평면위에서 천정각에 대응하는 각도 α(두 섬광체 중심을 연결한 선과 지표면에 수직한 선 사이의 각도) 를 변화시켜가며 입사 뮤온의 개수를 측정했다. 검출기의 형태가 천정각 의존성을 확인하기엔 적합하지 않기 때문에 식 (1)을 직접 확인할 수는 없으나 식 (1)을 본 실험 설정에 적용해 계산한 시뮬레이션 결과와 비교하면 입사 뮤온 개수의 천정각 의존성을 간접적으로 확인할 수 있다. 본 연구에서는 실험결과를 계산으로 구현하고자 MATLAB을 이용한 시뮬레이션과 2차원 기하학 모형을 만들어 뮤온 수 분포를 계산한 후 실험값과 비교했다. 마지막으로, 이 결과를 활용해 복잡한 형태의 검출기에 입사하는 뮤온의 개수를 계산하는 방법을 제시했다.

1. 섬광계수기를 이용한 입사 뮤온 선속의 천정각 의존성 측정

본 실험에서는 직육면체 형태 (3.8 × 3.8 × 50 cm³) 의 폴리스티렌(polystyrene)으로 만들어진 섬광체(Fig. 2)와 광전자 증배기를 연결한 섬광검출기를 사용했다.

Figure 2. (Color online) Scintillator

광전자 증배기(PMT, H7195)에 1200 V를 인가해 뮤온이 남긴 섬광계수기의 광신호를 전기신호로 증폭시켰다. 배경신호를 제거하기 위해 광전자 증배기에서 나온 신호를 판별기(Discriminator, N842)를 통해 시간폭이 14 ns인 사각파로 개조했다. 대부분의 배경신호는 뮤온 신호보다 크기가 작으므로 문턱전압을 조절해 배경신호를 줄였다. 배경신호를 최소화하고 실제 입사한 뮤온의 신호를 검출하기 위해 두 섬광계수기를 통과하는 동시신호를 이용했다. 판별기를 통과한 두 섬광계수기의 개별신호들을 논리 모듈로 보내 동시신호를 얻었다 (Fig. 3).

Figure 3. (Color online) A schematic diagram of the signal process

배경신호가 동시신호에 미치는 영향을 최소화 하려면 적절한 문턱전압을 찾는 것이 중요하다. 이를 위해 Fig. 4와 같이 섬광계수기를 위아래로 놓고 동시신호와 개별신호의 비율을 측정했다. 문턱전압을 10 mV부터 150 mV까지 1 mV씩 변화시켜 가며 동시신호와 개별신호를 1회당 10분씩 측정했다.

Figure 4. (Color online) Set up to measure coincidence and individual signal

Figure 5는 문턱전압에 따른 동시신호와 개별신호의 비율을 보여 준다. 개별신호는 아래쪽에 놓인 섬광계수기(Fig. 4의 Scintillator2)에서 측정했다. 개별신호는 많은 배경신호를 포함한다. 문턱전압이 60 mV와 80 mV 사이인 영역은 동시신호와 개별신호의 비율이 약 0.3로 일정한 값을 갖는다. 문턱전압은 동시신호의 기여도가 크고 배경신호의 기여도가 작은 영역인 60 mV과 80 mV 사이의 중간값 70 mV으로 설정했다.

Figure 5. (Color online) (Number of coincidence signals/number of individual signals) as a function of threshold voltage

개별신호의 우연한 겹침이 동시신호에 미치는 영향을 확인하기 위해 Fig. 6와 같이 두 섬광계수기를 x − y 평면 위에서 100 cm 떨어뜨려 평행하게 배치하고 개별신호와 동시신호를 측정했다. 문턱전압을 10 mV 부터 1 mV 씩 증가시켜가며 1회당 10분 씩 개별신호와 동시신호를 측정했다.

Figure 6. (Color online) Set up to measure the effect of background signals

Figure 7는 문턱전압에 따른 개별신호와 동시신호 수를 보여 준다. 개별신호는 문턱전압이 증가함에 따라 감소하다 40 mV 이상에서는 문턱전압이 증가해도 개별신호 개수가 변하지 않았고, 동시신호는 문턱전압과 관계없이 작은 값을 유지했다. 이를 통해 개별신호의 우연한 겹침이 동시신호에 영향을 주지 않는 것을 확인했다.

Figure 7. (Color online) Number of coincidence and individual signals as a function of threshold voltage

위 두 실험을 바탕으로 배경신호의 영향을 확인하고 기본 설정값을 정한 후, 본 실험을 수행했다. Figure 8과 같이 두 섬광계수기를 y 축 방향으로 14.4 cm 떨어뜨린 후, x 축 방향으로 2 cm씩 20회 이동 시키며 x − y 평면위에서 측정한 두 섬광검출기 사이의 각도를 0° 부터 70.2° 까지 시계방향으로 변화시켰다. 각 위치에서 1회당 1분 씩 10회 측정해 x−y 평면위에서 측정한 각(α)에 대한 뮤온 수 분포를 측정했다. 이때 α는 x − y 평면위 두 섬광검출기의 중심을 연결한 선과 y 축 사이의 각도로 3차원에서의 천정각 (θ)과는 다르다. 여기서 α와 θ 는 y 축에서부터 시계 방향의 각도이다.

Figure 8. (Color online) Setup to measure zenith angle dependence

2. MATLAB과 기하학적 모형을 이용한 입사 뮤온 선속의 천정각 의존성 계산

본 실험에서는 두 섬광검출기 사이의 α 값을 변화시켜 가며 동시신호 개수를 세었다. 두 섬광검출기는 긴 직육면체이며 무시할 수 없는 단면적을 갖고 있고, α 값이 변함에 따라 두 검출기 사이의 거리가 변하므로 측정값인 동시신호 수는 선속과는 다르다. 따라서 측정값은 cosⁿα에 비례하지 않는다. 하지만 본 실험 설정과 같은 기하학적인 모형과 시뮬레이션 모형을 만들어 식 (1)을 적용해 계산한 결과와 실험 값과 비교하면 간접적으로 입사 뮤온 개수의 천정각 의존성을 확인할 수 있다. 본 연구에서는 MATLAB과 기하학적인 모형을 이용하여 같은 실험을 설계해 입사 뮤온 개수를 각각 계산하고 실험 결과와 비교했다.

1) MATLAB 시뮬레이션을 이용한 계산

MATLAB(Ver. R2017a)을 이용해 실험과 같은 물리량을 측정하는 프로그램을 구현했다.

2차원 모형에서는 Fig. 9와 같이 2차원 평면위에 반지름이 다른 두 반원을 두고, 바깥 원에 들어오는 지점 G_j, (j = 1, 2, 3, · · · , n)과 작은원에 도달하는 지점 T_k, (k = 1, 2, 3, · · · , n)을 정의했다. 지표면은 두 원의 중심을 지나며 원의 중심 위에 정사각형 검출기를 배치했다. 뮤온 경로는 G_j 와 T_k 를 지나는 직선으로 정의된다. 모든 가능한 j, k의 조합으로 이루어진 직선 중 검출기를 동시에 지나는 직선의 개수 합과 하나만 지나는 직선의 개수합으로 동시신호와 개별신호 개수를 정의했다. 뮤온의 입사 선속은 식 (1)에 따라 천정각(θ)에 의존하므로 개수 계산시 각 직선의 천정각에 해당하는 값을 곱했다. 식 (1)의 n은 운동량에 따라 약간 다른 값을 갖는데, 본 연구에서는 3 GeV/c 운동량을 갖는 뮤온에 해당하는 n = 2를 이용했다. 향후 시뮬레이션의 정확도를 높이려면 여러 실험에서 얻은 입사 뮤온의 운동량 분포와 운동량에 따른 n 값을 적용할 필요가 있다 [2].

Figure 9. (Color online) 2D simulation

3차원 모형은 2차원 모형을 확장한 형태이다. 3차원 모형에서 뮤온이 들어오는 지점인 바깥원은 반원에서 반구로 확장했다. 뮤온이 도달한 점들의 집합은 원에서 구로 확장했다. 검출기는 정사각형에서 직육면체로 확장했다. 두 개의 검출기를 위아래로 배치해 실험과 같은 조건을 만들었다.

점 j, k 와 윗쪽에 놓인 검출기를 동시에 지나는 뮤온의 수를 I(θ_jk)_up 라 하고, 점 j, k 와 아래에 놓인 검출기를 동시에 지나는 뮤온의 수를 I(θ_jk)_down 라 하자. 이때, 점 j, k 를 연결한 선이 검출기를 지나지 않으면 각각의 값은 0이다. 동시신호의 수 S_coin 는 뮤온이 두 검출기를 지나는 (즉, I(θ_jk)_up ̸= 0 이고 I(θ_jk)_down ̸= 0) 모든 경우에 대한 I(θ_jk)_down (또는 I(θ_jk)_up)의 합이다.

(단, I(θ_jk)_up ̸= 0 이고 I(θ_jk)_down ̸= 0)

아래에 놓인 검출기의 개별신호의 수 S_indv 는 모든 뮤온 경로에 대한 I(θ_jk)_down 의 합이다.

2) 기하학적 모형을 이용한 계산

2차원 시뮬레이션의 결과는 기하학을 이용한 계산으로 검증할 수 있다. 기하학 모형에서 검출기들은 한 변의 길이가 l 인 정사각형이다.

천정각 θ 로 입사하는 평행한 뮤온 신호 다발은 Fig. 10와 같이 영역 l_total 과 l_coin 으로 나뉜다. l_total 은 개별신호를 만드는 영역이고, l_coin 은 동시신호를 만드는 영역이다. 각 영역을 지나는 뮤온의 수는 영역의 폭과 천정각(θ)에 의존한다.

Figure 10. Geometric model for muon flux calculation

l_total 와 l_coin 는 θ 에 대한 함수이므로 총 동시신호 G_coin과 총 개별신호 G_indv 는 θ 에 대한 함수다.

본 실험과 같이 검출기들 사이를 띄어놓은 배치(Fig. 8)를 그림으로 구현하면 Fig. 11과 같다. 뮤온 선속의 α 의존성을 확인하기 위해 같은 배치의 2차원 기하학 모형을 만들어 α에 따른 입사 뮤온의 수의 계산했다. 2차원 모형이므로 α는 천정각 θ 와 같다.

Figure 11. (Color online) Sketch of the measurement for the geometric model calculation

한 변의 길이가 l 인 정사각형 모양의 두개의 검출기들을 y 축방향으로 Δy 만큼 분리하고, 위 검출기를 x 축 방향으로 옮겨가며 동시신호 영역을 계산했다. 천정각에 따른 동시신호는 θ_i 부터 θ_f 까지 동시신호 영역의 폭인 l_coin 를 천정각 θ 에 대해 적분한 값이다.

개별신호는 모든 위치에서 일정하므로 식 (6)과 같다. 동시신호 영역의 폭(l_coin)은 검출기 배치의 기하학적 양상이 바뀌는 임계각(θ_m)을 기준으로 다른 형태를 가진다. 임계각(θ_m)은 l_coin 이 최대가 될 때의 천정각(θ)이다.

천정각(θ)이 임계각(θm)보다 작을 때 동시신호 영역의 폭(l_coin)은 Fig. 13처럼 정의된다. 천정각 θ 로 입사하는 평행한 뮤온 신호 다발은 Fig. 13과 같이 두 영역으로 나뉜다. 위 검출기의 개별신호 영역인 l_total 은 θ 에 대한 함수이다.

l_coin 은 개별신호 영역에서 동시신호 영역이 아닌 부분을 제외한 영역으로 θ 에 대한 함수이다.

식 13은 Δx와 Δy 가 0이면 식 5와 동일한다. 천정각(θ)이 임계각(θm)보다 클 때 동시신호 영역의 폭(l_coin)은 Fig. 14처럼 정의된다.

이 경우도 평행한 뮤온 신호 다발은 Fig. 14와 같이 두 영역으로 나뉜다. 개별신호 영역인 l_total 은 식 (12)와 같으나 동시신호 영역인 l_coin 은 기하학적 구조에 따라 식 (14)를 따른다.

동시신호와 개별신호의 비율을 시뮬레이션의 2차원, 3차원 모형에서 계산하고 기하학 모형의 계산 결과와 비교했다. 검출기 사이의 각도인 α는 0으로 두고 식 (2), (3), (6), (7)을 이용해 계산했다. 2차원, 3차원 모형에서 계산한 S_coin/S_indv ^2D, S_coin/S_indv ^3D 와 기하학 모형으로 계산한 G_coin/G_indv 는 다음과 같다.

2차원 모형은 기하학 모형과 0.1%, 3차원 모형은 기하학 모형과 1.6%의 차이를 보였다. 3차원 모형은 직육면체 길이 방향 성분을 갖고 입사하는 입자도 고려하기 때문에 2차원 모형과 결과가 약간 다르다. 시뮬레이션과 기하학 모형의 동시신호와 개별신호의 비율은 실험 결과인 0.3 (Fig. 5)보다 약 2.2 배 높은 값을 가진다. 이는 시뮬레이션과 기하학 모형에서는 실험에서 개별신호 측정시 나타나는 배경신호의 영향을 고려하지 않았기 때문이다. 실험 결과는 배경신호를 포함한 비율을 나타내므로 시뮬레이션과 기하학 모형보다 작은 값을 가진다.

2차원 시뮬레이션과 기하학 모형에서 각각 구한 α에 따른 뮤온 선속 분포를 비교하기 위해, α를 0° 에서 70° 까지 균일하게 30 회 변화시키며 각각 뮤온 수를 계산했다. 두 모형에서 얻은 α에 따른 동시신호와 개별신호의 비율 분포를 비교했다 (Fig. 15). 두 분포는 0.1% 내에서 같다. 이는 향후 복잡한 구조의 검출기를 통과하는 뮤온의 선속을 계산할 때 복잡한 기하학 모형 계산 대신 시뮬레이션을 이용해 신뢰할 수 있는 값을 얻을 수 있음을 의미한다.

Figure 8와 같은 구성의 실험을 통해 얻은 동시신호 수 분포를 3차원 모형 시뮬레이션으로 계산한 α에 따른 동시신호 수 분포와 비교했다 (Fig. 16). 시뮬레이션에서는 α를 0° 에서 70° 까지 균일하게 50회 변화시켰다. 시뮬레이션과 실험에서 얻은 분포를 α가 0일 때 1이 되도록 규격화한 후 비교했다. 그 결과, 통계 오차범위 내에서 실험 결과를 기술함을 알 수 있다. 본 실험에서 얻은 동시신호 수는 면적으로 규격화 하지 않았기 때문에 기하학적으로 α가 약 20°도 일때 뮤온이 두 섬광검출기를 동시에 지나갈 단면적이 가장 크다. 따라서 동시신호의 수는 약 20° 에서 최대값을 갖고 각도가 커질수록 급격하게 감소한다.

MATLAB으로 구현한 3차원 모형 시뮬레이션은 Fig. 17과 같은 복잡한 형태의 검출기에 입사하는 뮤온의 선속을 계산하는 데 활용할 수 있다. Figure 17은 원기둥 형태의 대형 검출기를 직육면체 형태의 판형 섬광계수기들로 둘러싼 팔각기둥 구조를 나타낸다. 뮤온 입자를 이용해 대형 검출기의 초기 성능을 측정할 때, Fig. 17와 같이 주변에 섬광검출기를 두고 뮤온이 지나갔는지를 판별해, 검출기 신호를 얻는다. 일정 시간동안 얼마나 많은 양의 뮤온 신호 이벤트를 얻을 수 있는지 추산해, 원하는 양의 데이터를 취득하는 데 걸리는 시간을 계산하려면, 팔각기둥 형태의 섬광 검출기를 지나는 뮤온의 선속을 알아야 한다. 본 시뮬레이션을 이용하면 쉽게 섬광검출기를 통과하는 총 뮤온의 선속을 계산할 수 있다. 시뮬레이션에 사용한 대형 검출기와 섬광계수기의 y 방향 길이는 대형 검출기 반지름의 3배다.

본 시뮬레이션에 Fig. 17 섬광검출기 구조를 적용한 후 섬광검출기에 입사하는 뮤온 검출 수율을 계산했다. 뮤온 검출 수율은 섬광계수기에 수직 입사하는 동시신호 T_normal와 인접한 섬광계수기를 제외한 다른 섬광계수기와의 동시 신호 전체를 합한 값 T_total 의 비율로 정의되며, 시뮬레이션 으로부터 얻은 값은 다음과 같다.

전체 검출기를 설치하기 전 T_total 을 구하고 싶다면, Fig. 4와 같은 장치를 이용한 간단한 실험을 통해 일정시간 동안의 T_normal 을 구한 후 식 (16)에서 얻은 값을 곱하면 같은시간 동안의 T_total 구할 수 있다. 이로부터 원하는 양의 데이터를 얻는 데 필요한 시간을 추산할 수 있다.

지구에 입사하는 뮤온 선속의 천정각 의존성을 알아보기 위해 두 개의 섬광계수기를 이용해 입사 각도에 따른 뮤온 수 분포를 측정했다. 실험값을 계산으로 구현할 수 있는지 확인하고자 MATLAB을 이용한 2, 3차원 시뮬레이션과 2차원 기하학 모형을 만들어 뮤온 수 분포를 계산했다. 두 결과는 오차범위 내에서 실험값과 일치함을 알 수 있었다. 본 연구를 확장하면 복잡한 형태의 검출기에 입사하는 뮤온의 선속을 계산할 수 있고, 이를 활용하면 검출기 커미셔닝에 사용하는 데 필요한 뮤온 신호 데이터 양을 추산할 수 있다.

본 연구는 한국연구재단의 연구비 지원을 받아 수행된 연구입니다 (No. 2018R1A5A1025563, 2020R1A2C2015157).