Windkessel 모델은 전자기시스템(electromagnetic system)과 인체 동맥시스템(human artery system) 사이의 유사성을 이용하여 심혈관계의 특성을 연구하기 위한 것으로 혈액의 유체역학적 특성이 혈관질환에 미치는 영향을 분석하는데 적용된다. 본래의 Windkessel 모델 [1]은 대동맥의 유연성 (compliance) 과 말초혈관의 저항 (resistance) 으로만 이루어진 2-원소(two-element) 모델이었다. 저항은 주로 작은 동맥(small arteries)이나 소동맥(arterioles)에서 푸아즈이유의 법칙(Poiseuille’s law)에 의해 혈액의 점성(viscosity)이나 혈관의 굵기에 따라 변하므로 말초저항(peripheral resistance)이라 하고 전기회로에서의 전기저항에 해당한다. 대동맥의 유연성은 대동맥의 강성(stiffness)에 반비례하는 양으로 전기회로에서 축전기의 전기용량에 해당한다. 대동맥은 유연성에 의해 수축기(systolic stage) 때 심장에서 공급된 혈액을 임시 저장하였다가 심장의 이완기(diastolic stage) 때 인체에 혈액을 보충하여 인체에 지속적으로 혈액이 공급되도록 하는 역할을 한다. 노화나 운동부족 등에 의해 혈관 지름이 줄어들거나 점성이 증가하면 말초저항이 증가하고 탄력소(elastin)나 교원질(collagen) 성분의 변화에 의해 혈관의 반지름이나 두께가 줄어들면 대동맥의 유연성은 감소한다.

2-원소 Windkessel 모델은 전자기시스템과의 유사성에 의해 동맥시스템을 직관적으로 이해할 수 있게 해주지만 심장의 수축기 때 나타나는 혈압과 혈류 사이의 파동적 관계를 예견하는 데는 미흡하다 [2–5]. Westerhof 등 [3]은 이러한 2-원소 Windkessel 모델의 단점을 보완하기 위해 파동전송이론에서 나타나는 특성임피던스 (characteristic impedance)를 2 원소 Windkessel 모델에 직렬로 연결한 3-원소 Windkessel 모델을 제시하였다. 특성임피던스는 비록 저항과 단위는 같지만 실제 저항은 아니다. 그것은 혈류나 전압의 진동현상을 기술하기 위한 것으로 동맥시스템의 파동 현상을 2-원소 Windkessel 모델에 추가한 것이다. 3-원소 Windkessel 모델은 실제 혈압과 혈류 사이의 파동적 관계를 기술할 뿐만 아니라 실체 생체 관측치에도 비교적 잘 부합하므로 심혈관계를 분속하는 데 널리 사용되어지는 모델이지만 [3–5], 대동맥의 유연성과 특성임피던스 값이 표준 모형으로 계산한 값과는 조금 다르다는 단점이 있다 [3]. 즉, 유연성은 크게, 전달임피던스는 작게 나타난다. 또한, 3-원소 Windkessel 모델은 임력 임피던스의 작은 진동수 영역에서 약간의 오차가 발생하고 대동맥 혈압의 굴곡 부분을 정확히 기술하지 못한다는 단점이 있다 [6–8].

3-원소 Windkessel 모델의 단점을 보완하기 위해 동맥의 관성을 추가한 것이 4-원소 Windkessel 모델이다 [9–11]. 이 모델에서 특성임피던스는 대동맥의 유연성과 관성에 관련되고 동맥의 유연성과 관성은 전체 동맥의 유연성과 관성의 합이다. 전기회로의 유도기(inductor)가 전류량을 일정하게 유지하려는 성질(관성)을 갖고 있듯이 인체(동맥)도 항상성(homeostasis)에 의해 혈류를 일정하게 유지하려는 성질인 관성을 갖는다. 이것은 혈액의 밀도와 속도 그리고 혈관의 굵기에 의해 결정된다. 동맥의 관성은 혈관 지름(r)의 제곱(r²)에 반비례하고 말초저항은 r⁴ 에 반비례하므로 관의 굵기가 클수록 저항보다 관성의 영향이 크다.

본 연구에서는 4-원소 Windkessel 모델을 사용하여 말초저항, 동맥의 유연성과 관성, 그리고 특성임피던스가 인체 안에서 순환하는 혈류에 미치는 영향을 조사한다. 0.15초 정도로 짧은 시간에 급격히 증가하는 수축기 혈압은 혈류정점(peak)의 위치에만 약간의 영향을 미치므로 무시하고 이완기 때의 지수함수적으로 감소하는 혈압을 선택하여 위의 인자들이 혈류에 미치는 영향을 조사한다. 심장의 혈압은 주기적이므로 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙에 의해 주어지는 미분방정식의 해를 라플라스 변환(LT : Lapace transform) 방법을 적용하여 급수형태로 구하고 노화가 고혈압에 미치는 영향 등을 논의한다.

3-원소 Windkessel 모델 [13]에 특성임피던스를 추가한 4-원소 Windkessel 모델은 Fig. 1과 같다. P(t)는 동맥혈압, C는 동맥의 유연성, R_p 는 말초저항에 대응하고 Q₂ 와 Q₁ 는 각각 단위 시간당 말초혈관과 동맥을 흐르는 혈액의 양을 나타내는 혈액 흐름율에 대응한다. C는 심장의 이완기 때 말초혈관에 혈액을 재공급하는 역할을 하도록 설정한 모델이므로 그림과 같이 배치되고 L은 동맥에서의 혈액의 관성을 나타낸다. L과 C 가 그림과 같이 고려되었으므로 본 연구에서는 특성임피던스로 동맥의 저항 R_c 를 고려하고 L과 마찬가지로 동맥에서 나타나므로 둘은 그림과 같이 병렬로 연결된다. 동맥 흐름율 Q₁ 은 저항 흐름율 (resistive flow rate) Q₁₁ 과 관성 흐름률 (inertial flow rate) Q₁₂ 로 구분된다.

Figure 1. (Color online) Four-element Windkessel model for the human arterial system.

Figure 1의 회로에 키르히호프의 법칙(Kirchhoff’s law)을 적용하면

이므로 지수함수적으로 감소하는 혈압 P(t) = P₀e^-λt 를 선택하여 정리하면 다음과 같다. P₀ 는 이완기가 시작될 때의 혈압으로 최대치이고 λ는 한 주기(T) 후 즉, 이완기 끝에서 혈압이 최소가 되도록 하는 상수이다.

여기서 a₁ ≡ L/CR_pR_c, a₂ ≡ 1/CR_p, a3 ≡ R_p/L, f₀ ≡ P₀/L이다. 라플라스 변환(LT) 방법으로 해를 구하기 위해 도함수와 주기함수의 LT 공식을 사용하여 식 (2)와 (3)을 LT하면 다음이 된다.

이것을 라플라스 역변환하여 해를 구하기 위해 부분분수로 고치면 다음이 된다.

여기서 상수값들은 다음과 같이 정의된다.

정상상태(steady state)에서의 혈류를 예측하기 위해 Q₁(0)와 Q₁₂(0)항은 무시하였고 마지막 단계에서는 테일러 전개 (1 - x)^-1 = Σ_n=0xⁿ 를 사용하였다. 따라서 식 (7)와 (8)을 라플라스 역변환하면 최종 결과는 다음과 같다.

여기서 u(t)는 계단함수(step function)이고 t_n ≡ t - nT이다. Figure 1의 회로에 키르히호프의 법칙 (Kirchhoff’s law)을 적용하면 P(t) = R_cQ₁₁ + R_pQ₂ 로부터

이므로 이것과 식 (11)로부터 동맥혈류는

에 대입하면 얻을 수 있고 주기함수 P(t) 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

본 연구에서 고련한 4-원소 Windkessel 모델의 해인 식 (10), – (13)을 사용하여 동맥혈류와 말초혈류를 수치적으로 구하기 위해 심장의 박동주기를 T = 0.85 [s]로 선택하고 정상인의 최대 혈압 120 [mmHg]와 최소 혈압 80 [mmHg]를 고려하면 P₀ = 120 [mmHg], · = 0.477 [s^-1]이다. 나머지 값들은 정상인인 경우 대략 C = 0.15 [ml/mmHg], R_p = 1 [mmHg·s/ml], L = 0.025 [mmHg·s²/ml] 정도로 알려져 있으므로 [12,13] 이를 고려하여 L;Rp;C;R_c 들을 맞춤모수(fitting parameter) 로 사용하여 계산한 결과를 관측값에 맞춤하여 비교한다.

1. 동맥 혈류 Q₁

Figure 2는 본 논문의 이론적 타당성을 조사하기 위해 오른쪽 장골(iliac)과 대퇴골(femoral) 사이에서 측정한 혈류량 [14], 3-원소 모델을 사용하여 예측한 정상상태에서의 동맥혈류 [13] 그리고 4-원소 모델을 사용하여 본 논문에서 예측한 정상상태에서의 동맥혈류를 비교한 결과이다. 참고문헌 13과 본 논문은 인체의 모든 동맥혈류를 한 덩어리(lump)로 취급하여 계산한 이상적인 모델이고 실제 관측값은 인체의 한 부분에서 측정한 값이므로 이론값들은 1/30배로 축소하여 비교하였다. 그림에서 알 수 있듯이 관측값은 첫 번째 정점(P₁), 두 번째 정점(P₂) 그리고 중복절흔(dicrotic notch) DN으로 진동하는 양상이 이론결과들과 비교적 일치함을 알 수 있다. A와 B 지점 등에서 관측값과 이론값들이 차이가 나는 것은 이완기 혈압에서 나타나는 중복절흔과 수축기 혈압을 추가한 혈압을 수식으로 표현하고 [6–8] 본 논문의 방법을 적용하여 계산하면 개선될 것으로 예상된다.

Figure 2. (Color online) Flow rates in artery. The blue and red lines, respectively, indicate the result by our previous 3-element model [13] and the result by the present 4-element model for C = 0.19 [ml/mmHg], R_p = 0.8 [mmHg·s/ml], L = 0.015 [mmHg·s²/ml], R_c = 5.0 [mmHg·s²/ml]. The black line indicates the experimental result reported of Alastruey et al. [14] for the flow rate in right iliac-femoral.

Figure 2에서 DN과 P₂ 가 생기는 이유는 심장의 이완기 때 혈압이 감소함에 따라 감소하던 혈류가 동맥의 유연성(C)에 의해 혈관이 팽창하면서 혈액의 일부가 저장소(tank) 역할을 하는 동맥에 일부 저장되므로 과도하게 감소하다가 회복되면서 나타날 수 있는 현상으로 이해할 수 있다. 정상인에 대한 측정값과 비교한 것이므로 3-원소 모델과 4-원소모델의 결과에 차이가 없지만 동맥시스템에 이상이 있는 환자의 측정값이 주어진다면 두 모델을 비교할 수 있을 것이고 다양한 상태에 대한 4-원소 모델의 예측 결과는 Fig. 3과 같다.

Figure 3. (Color online) Flow rates in artery for various artery resistances [(a)], artery inertances [(b)], arterial compliances [(c)], and peripheral vascular resistances[(d)].

Figure 3은 Fig. 2에서 나타나는 동맥 혈류의 진동현상이 동맥의 저항(R_c), 동맥 안에서의 혈액의 관성(L), 동맥의 유연성 (C), 그리고 말초저항 (R_p) 에 따라 어떻게 달라질 수 있는 지를 보여주는 그림이다. Figure 3(a)는 Fig. 2와 마찬가지로 R_c 가 감소할수록 혈관의 탄력이 떨어져 저항흐름률은 증가하여 진동현상이 감소할 수 있음을 나타내고 Fig. 3(b)는 혈액의 관성(L)이 감소하면 혈액을 일정하게 흐르게 하는 능력이 떨어지므로 진동폭이 증가할 수 있음을 나타낸다. Figure 3(c) 는 동맥의 유연성 (C) 이 떨어지면 혈액의 저장 능력도 떨어지므로 진폭이 감소할 수 있음을 나타내고 Fig. 3(d) 는 말초저항 (R_p) 이 증가할수록 혈류량은 줄어들지만 위상(phase)은 변함이 없음을 의미한다. Figure 3(a)에서 R_c 가 10.0 [ml/mmHg] 이상이 되면 진동폭은 더 이상 증가하지 않는데 이것은 R_c 가 증가하면 저항성 혈류는 사라져 개방상태가 되고 따라서 유도성 혈류만 흐르므로 4-원소 모델은 3-원소 모델과 같게 됨을 의미하지만 노화나 질병 등에 의해 진동폭이 줄어들면 R_c 가 작은 경우에 해당하므로 3-원소 모델보다 4-원소 모델이 더 나은 모델이 될 수 있다.

C와 L이 작아질수록 두 번째 정점(P₂)이 빨리 나타나는 것은 수학적으로는 식 (10)의 a2a3−a2이 증가하여 빨리 진동하기 때문이고 물리적으로는 탄력과 관성이 줄어들어 P₁ 과 P₂ 의 간격이 줄어드는 것으로 이해된다.

Zahedi 등 [15]은 노화가 진행이 될수록 혈압의 첫 번째 정점이 나타나는 시기가 늦어지고 높이는 내려가고 중복절흔(DN)의 깊이도 올라가는 것을 관측한 바 있다. 따라서 Fig. 3과 5에서 R_c; L;C;Rp 변화에 따라 진동폭이 줄어드는 것은 노화와 관련이 있을 것으로 판단된다. 특히, 노화가 진행되어 탄력소(elastin)나 교원질(collagen)이 감소하게 되면 혈관의 탄력이 줄어들어 혈관의 유연성(C)이 줄어들고, 혈관의 지름이 줄어들고 점성이 증가하게 되면 말초저항 R_p가 증가하게 되는데 Fig. 3의 (c)와 (d)에서 C가 줄어들고 R_p 가 증가하게 되면 진동폭이 감소하는 것을 확인 할 수 있다. 이 부분은 3-원소 모델과 4-원소 모델의 차이가 없지만, Fig. 3 (a)에서 R_c 가 감소할수록 진동폭이 줄어드는 것도 노화와 관계가 있을 것으로 판단되는데 이것은 3-원소 모델에서는 설명 할 수 없는 부분이다. 따라서 노화가 진행이 될수록 진동폭이 줄어드는 현상을 설명하는 데는 Fig. 3 (a) 에 의해 4-원소 모델이 3-원소 모델보다 더 적합한 모델이 된다. 노화에 의해 혈류의 진동폭이 감소하게 되고 혈류량도 줄어들 수 있으므로 키르히호프의 전압법칙을 고려하면 인체에 필요한 혈액을 충분히 보충해주기 위해 혈압이 증가하게 된다.

2. 말초 혈류 Q₂

Figure 4는 3-원소 모델을 사용하여 계산한 정상상태에서의 말초혈류 [13]와 4-원소 모델을 사용하여 본 논문에서 계산한 정상상태에서의 말초혈류를 오른쪽 정경골(anterior tibial)에서 측정한 혈류량 [16]과 비교하여 나타낸 결과이다. 동맥혈류와 말초혈류를 명확히 구분하는 것은 불가능하므로 비교적 동맥에서 멀리 떨어진 지점(정경골)에서 측정한 값과 이론의 말초혈류를 비교하였다. 동맥혈류(Fig. 2)와 마찬가지로 이론값은 인체의 모든 말초혈류를 한 덩어리(lump)로 취급하여 계산한 결과이고 관측값은 인체의 한 부분에서 측정한 값이므로 이론값들은 1/50배로 축소하여 비교하였다.

Figure 4. (Color online) Flow rates in peripheral blood vessel. The blue and red lines, respectively, indicate the result by our previous 3-element model [13] and the result by the present 4-element model for C = 0.19 [ml/mmHg], R_p = 0.8 [mmHg·s/ml], L = 0.015 [mmHg·s²/ml], R_c = 5.0 [mmHg·s²/ml]. The black line indicates the experimental result reported of Matthys et al. [16] for the flow rate in right anterior tibial.

동맥혈류 (Fig. 2) 와 마찬가지로 첫 번째 정점 (P₁), 두 번째 정점(P₂) 그리고 중복절흔 DN으로 진동하는 양상이 이론 예측값들과 비교적 일치함을 알 수 있고 동맥혈류와 마찬가지로 4-원소 모델이 3원소 모델보다 노화에 의해 혈관의 탄력이 줄어들어 진동폭이 줄어드는 현상을 설명하는 데는 더 유용할 것으로 예상된다. 동맥의 유연성(C)에 의해 동맥혈류(Q₁)와 말초혈류(Q₂)에서 DN과 P₂ 가 나타나는 것은 같지만 Q₁ 에서의 P₂ 는 동맥으로 혈액의 일부가 저장되므로 과도하게 감소하다가 회복되면서 나타나는 것이고 Q₂ 에서의 P₂ 는 동맥에 저장되었던 혈액이 말초혈관으로 재공급되면서 나타나는 것이 차이이다. 따라서 동맥의 이러한 완충작용(buffer action)에 의해 P₂ 는 Q₁ 보다 Q₂ 에서 조금 늦게 나타나고 진동폭은 줄어드는 것으로 이해된다. 이론값들은 말초 흐름률이고 측정값은 동맥혈관에 가까운 지점에서 측정한 값이므로 첫 번째 정점 P₁ 의 이론값들이 측정값보다 늦게 나타나는 것으로 이해 할 수 있다. 동맥 흐름률 Q₁ 과 마찬가지로 동맥시스템에 이상이 있는 환자에 대해 측정한 말초 흐름률이 주어지면 3-원소 모델과 4-원소 모델의 결과를 비교할 수 있고 다양한 상태에 대한 4-원소 모델의 예측 결과는 Fig. 5와 같다.

Figure 5. (Color online) Flow rates in peripheral blood vessel for various artery resistances [(a)], artery inertances [(b)], arterial compliances [(c)], and peripheral vascular resistances [(d)].

Figure 5는 동맥의 저항(R_c), 동맥 안에서의 혈액의 관성(L), 동맥의 유연성(C), 그리고 말초저항(R_p)에 따라 Fig. 4에서 나타나는 말초혈류의 진동현상이 어떻게 영향을 받는지를 나타내는 그림이다. R_c 가 감소할수록 혈관의 탄력이 떨어져 진동폭이 감소할 수 있고, L이 감소할수록 관성이 줄어들어 진동폭이 증가할 수 있고, C 가 감소할수록 동맥의 혈액 저장 능력도 떨어지므로 진폭이 감소할 수 있음을 나타내고 R_p 가 증가할수록 혈류량이 줄어드는 것은 동맥 혈류(Fig. 3)와 같다. 말초혈류이므로 동맥의 저항(R_c)과 유연성(C) 그리고 동맥에서의 혈액의 관성(L)의 영향(진동폭)은 동맥혈류보다 작고 말초저항(R_p)의 증가에 의한 혈류의 감소폭은 크게 나타나는 것을 알 수 있다. 동맥의 유연성이 떨어지고 말초저항이 증가하여 혈류량이 줄어들고 동맥에서 혈액의 관성이 줄어들어 혈류량이 증가하는 것은 동맥혈류[Fig. 5]와 마찬가지로 노화와 관련 있을 것으로 예상된다.

지금까지 4-원소 Windkessel 모델에 지수함수 형태로 감소하는 주기적인 혈압이 작용하는 경우 키르히호프의 법칙으로 주어지는 미분방정식의 해를 라플라스 변환 방법을 적용하여 급수해를 구한 후 말초저항과 동맥의 유연성, 관성, 저항이 혈류에 어떻게 영향을 미칠 수 있는 지를 조사하였다. 혈류의 진동현상은 동맥의 유연성에 의해 심장의 수축기 때 방출된 혈액의 일부가 동맥에 저장되었다가 이완기 때 재공급되는 현상으로 설명할 수 있었고 동맥의 유연성이 감소할수록 혈류량은 감소할 수 있는 것으로 나타났다. 동맥의 저항이 증가할수록 진동폭은 감소할 수 있고 혈류의 관성이 줄어들수록 혈류량은 증가할 수 있고 말초저항이 커질수록 혈류량은 감소할 수 있는 것으로 나타났다.

일반적으로, 나이가 들수록 동맥의 탄성은 줄어들고, 혈액의 점성은 증가하고, 혈관의 지름은 줄어드는 것으로 알려져 있다 [15]. 인체는 말초혈관의 평활근에 의해 혈관의 지름을 조절하는 기능이 있지만 스트레스, 흡연, 비만, 운동부족 등에 의해 혈관 지름이 줄어들 수 있고 단백질들의 응집에 의해 점성이 증가할 수도 있다. 동맥의 유연성은 동맥의 강성이 증가할수록 감소하고, 말초저항은 점성이 증가할수록 증가하고, 혈액의 관성은 혈관의 지름이 줄어들수록 감소한다. 따라서 나이가 들수록 동맥의 강성이 증가하여 동맥의 유연성이 줄어들고, 혈관의 지름이 가늘어져 혈액의 관성이 줄어들고, 혈액의 점성의 증가하여 푸아즈이유의 법칙(Poiseuille’s law)에 의해 말초저항이 증가하면 고혈압의 위험이 발생한다. 즉, 나이가 들수록 동맥의 유연성이 감소하고 저항이 증가하여 혈류량이 감소하는 것이 관성이 줄어들어 혈류량이 증가하는 것보다 크므로 나이가 들수록 심장은 더 많은 혈액을 동맥에 공급하기 위해 혈압이 증가하는 것으로 이해되었다. 또한, 동맥의 저항이 증가할수록 혈류의 진동폭이 감소하는 것은 나이가 들수록 혈관의 엘라스틴 성분과 콜라겐 성분이 변하여 혈관의 지름과 두께가 줄어들게 되면 혈관의 탄력이 줄어드는 것과 관련이 있을 것으로 예측되었다.

따라서 나이가 들거나 질병이 있어 저항이 증가하고 유연성과 관성이 변하는 경우에 개인별로 관측된 혈류량에 본 연구의 결과를 비교하면 고혈압, 당뇨 등을 진단하는데 도움이 될 것이다. 본 연구에서는 0.15초 정도로 짧은 시간에 일어나는 수축기 혈압은 제외하고 이완기 혈압만 고려하여 혈류를 분석하였지만 실제 혈압은 대동맥판(aortic valve)이 열리면서 급격히 증가하다가 승모판(mitral valve)이 닫히면서 감소한다. Zahedi 등 [15]에 의하면 나이가 들수록 혈압의 정점 (수축기 혈압) 에 도달하는 데 걸리는 시간이 길어지고 수축기 혈압의 기울기도 완만해져 진동폭이 줄어드는 것으로 알려져 있는데, 본 연구자는 수축기 혈압을 고려한 혈압을 모델링하여 3-원소 모델에 적용하여 계산한 결과 노화가 진행이 될수록 혈류의 진동폭이 줄어들 수 있음을 확인 한 바 있다 [17]. 본 연구에서 비교한 측정값들은 정상인들에 대한 것들이므로 3-원소 모델과 4-원소 모델의 장단점을 비교할 수 없었고 4-원소 모델의 다양한 상태에 대한 결과를 예측하였지만 동맥시스템에 이상이 있는 환자에 대한 측정값들이 주어지면 두 모델을 비교할 수 있을 것이다. 이것과 참고문헌 17에서 사용한 좀 더 실제적인 혈압 모델을 사용하고 본 연구에서 사용한 Laplace 변환 방법과 급수해 방법을 4-원소 모델에 적용하여 동맥시스템을 분석하는 것은 앞으로의 연구에서 계속될 것이다.

이 과제는 부산대학교 기본연구지원사업(2년)에 의하여 연구되었습니다.