2015 개정 과학 교육과정 교과 편찬기준에서 교수, 학습 및 평가의 방향을 살펴보면 다음과 같다. ‘과학’에서는 탐구 학습을 통하여 과학의 핵심 개념 이해 및 ‘과학적 사고력’, ‘과학적 탐구 능력’, ‘과학적 문제해결력’, ‘과학적 의사소통 능력’, ‘과학적 참여와 평생 학습 능력’ 등과 같은 과학과 핵심역량을 균형 있게 기를 수 있도록 지도 방향을 설정하였다. 특히, 학생의 이해를 돕고 흥미를 유발하며 구체적 조작 경험과 활동을 제공하기 위하여 소프트웨어, 컴퓨터나 스마트 기기, 인터넷 등의 최신 정보 통신 기술과 기기 등을 과학 실험과 탐구에 적절히 활용함에 주안점을 두어 지도하는 교수 학습 에 관한 내용을 제시하였다[1-4].

21세기 4차산업혁명 시대에 미래 교육의 방향은 문제 해결 능력과 변화에 능동적으로 대응하는 적응력 및 창의력을 배양할 수 있는 교육이 필요하다. 과학교육에 정보 소양 능력을 활용하며 과학교육의 효과적인 학습 목표에 부합할 수 있도록 정보통신기술 (Information & Communication Technology, 이하 ICT) 활용교육은 필요하다[5-7]. 과학 학습 자료와 관련된 인터넷을 통한 웹자료 유튜브 동영상 등은 학습자들의 시공간적 제약을 받지 않으며 과학 개념 원리와 실험 실습 적용에 매우 유용한 도구가 될 수 있다. 과학 교과 과정의 다양한 실험에서 촬영된 물체의 동영상은 실험 실습의 기초 자료가 되며 MBL 동영상 분석 프로그램을 사용하여 물체의 운동을 더욱 쉽게 분석할 수 있다. 학생들이 과학 교과서의 개념을 학습하기 위하여 물체의 운동 기술에 관한 동영상 자료로부터 데이터 자료를 수집하고 이를 토대로 그래프를 작성하여 그래프를 통한 합리적인 사고를 배양 할 수 있다. MBL 동영상 프로그램을 이용하면 물체의 운동에 따른 이동 거리 - 시간 그래프와 속력 - 시간 그래프를 바로 얻는 방법에 대하여 아래와 같은 사례를 탐구해 볼 수 있다[8-10].

예) 속력이 일정하게 증가하는 물체에서 “시간에 따라 이동 거리 그래프의 모양은 어떠한가?”

예) 속력이 점점 증가하는 경우 물체의 이동 거리 - 시간 그래프는 시간이 증가할수록 기울기가 점점 증가하는 곡선 모양이 됨을 학생들이 이해할 수 있는가?

예) 이동 거리 - 시간 그래프에서 기울기가 의미하는 것은 무엇인가?

예) 알짜힘이 물체에 가해졌을 때 물체 속력 변화 사이의 관계를 속력 - 시간 그래프의 기울기를 통하여 학생들이 어떻게 이해할 수 있는가 ?

두 입자의 2차원 충돌 실험은 고등학교를 비롯한 대학 물리 교육과정에서 실험실 좌표계의 운동으로 해석한다. 계의 충돌과정에서 하나의 입자는 정상적으로 움직이고 목표물 입자는 일반적으로 정지해 있다. 실제 측정은 관찰자가 정지한 실험실 좌표계에서 이루어지지만, 질량중심이 정지된 좌표계에서 충돌 현상을 기술하는 것이 비교적 간단해질 수 있다[11]. 소립자 물리학 연구의 경우 두 입자의 충돌과정에서 산란 각도와 산란 단면적에 대한 분석은 질량중심 계와 실험실 계로 구분하여 보고되었다[12-14]. 본 논문에서는 질량중심 좌표계에서 입자의 충돌에 관하여 위치, 속도, 충격량 등의 물리량에 관하여 해석하였다. 핵-입자 물리학 관점에서 가속되는 입자와 정지된 목표물 입자를 기술할 때 질량중심의 좌표계 변환이 필요하다[15]. 기존 대학 과학 실험 교육에서 시행하던 방법과 달리 학생들이 물체의 운동 좌표계에 대한 이해를 높이고 실험실 좌표계와 질량중심 좌표계에서 물체의 운동을 그려봄으로서 물리 학습 이해도를 도울 수 있음을 제안한다. 본 연구에서는 과학 교과 학습에 있어서 동영상 자료를 활용하여 물체의 운동에 대한 분석 기법을 그래프로 구현하고 위치, 속도, 충격량 등 물체의 운동 분석 방법에 대하여 제시하고자 한다. 또한 운동 좌표계의 회전 변환 및 실험실 좌표계와 질량중심좌표계에서 두 입자의 충돌 현상에 대한 운동 분석에 대하여 논의하였다.

두 물체가 2차원 평면에서 비스듬히 충돌하여 산란되는 경우의 운동을 Fig. 1에 나타내었다.

Figure 1. (Color online) Schematic of an elastic collision of two particles in laboratory coordinate system.

실험실 좌표계에서 Fig. 1과 같이 질량 인 입자가 의 속도로 정지된 입자를 향해 진행한다고 가정하면 운동량보존 법칙에 따라 두 물체의 충돌 전후의 운동량 식은 다음과 같다[16,17].

에너지 보존 법칙을 적용하면 운동에너지 식은 다음과 같다.

만약 두 물체의 질량이 서로 같다고 하면 (m = m₁ = m₂) 다음과 같다.

Equation (2)과 (3) 을 비교하게 되면 다음과 같다

만약, 두 물체의 충돌이 에너지 손실이 없는 탄성충돌 (Q = 0) 이라고 하면 p1′⋅p2′=0가 되어 충돌 후 두 입자는 서로 직각으로 진행하여 나아간다[18].

Figure 2 (a) 는 질량중심 좌표계에서 두 입자의 충돌에 관하여 나타낸 그림이다. Figure 2 (b)에서 나타난 바와 같이 입자계에서 임의 한 입자의 위치벡터 과 질량중심의 위치벡터 , 질량중심에 대한 입자의 위치벡터 의 관계식은 다음과 같다.

Figure 2. (Color online) (a) Schematic of an elastic collision of two particles in center of mass coordinate system. (b) These are the position vector r₁ of a particle in the particle system, the position vector r_CM of the center of mass, and the position vector r₁ of the particle with respect to the center of mass.

질량중심 좌표계의 위치벡터와 속도벡터는 각각

이다.

입자 1과 입자 2의 질량중심에 대한 상대 속도벡터는 각각

이므로 Eq. (8)을 Eq. (7)에 대입하여 전개하게 되면

이 된다.

마찬가지로 입자 1과 입자 2가 충돌후 운동량 합은 0이 된다.

실험실 좌표계에서 표적구 입자 2가 정지상태 (v₂ = 0)이므로 질량중심 속도는

이며 질량중심에 대한 입자 1과 입자 2의 상대속도는 Eq. (8)에 의하여

이 된다.

1. 동영상 촬영

• 당구공을 입자라고 가정하고 두 입자의 충돌 전후 운동을 동영상으로 촬영할 수 있도록 준비한다[19].

• 두 공의 거리 약 35 cm 정도 가량 띄어둔 정지상태에서 한 개의 공을 출발시켜 정지된 공의 방향으로 입사시켜 두 공의 운동을 동영상으로 촬영한다.

• 촬영한 동영상을 컴퓨터에 저장하고 동영상 프로그램을 이용하여 재생시킨다.

• 동영상 재생 프로그램에서 각각의 프레임 화면을 그림 파일로 저장한다.

• Vernier사의 Logger Pro3 동영상 분석 프로그램을 사용하여 동영상 파일을 불러오기 한 후 저장된 화면을 보고 시간에 따른 공의 이동 거리를 읽는다.

⟨동영상 분석에서 유의할 사항⟩

1초 동안 촬영되는 프레임 수에 따라 공의 위치를 표시하는 시간 간격을 조절하여야 한다. 예를 들어, 1초 동안 30프레임이 찍힌 동영상이면 3프레임마다 0.1초의 간격이 된다.

2. 동영상 데이터 수집

Figure 3.는 MBL 동영상 분석기를 사용하여 두 입자의 위치변화를 나타낸 것이다. 초당 30 프레임의 정지된 화면에서 2차원 평면에서 x-y 직각좌표계의 원점을 설정한 후 두 공의 위치 좌표를 설정하였다. 그리고 1/30 초 간격으로 프레임마다 생성된 화면의 xy 좌표를 ASCII 데이터화 하고 시간에 따른 xy 위치 성분들의 데이터 자료를 수집하였다.

Figure 3. (Color online) Data collection on the position of two particles using MBL video analyzer.

Figure 4는 두 물체의 충돌 전후에 대한 그래프로서 공의 궤적을 나타낸 것이다. 두 공의 충돌이 탄성 충돌이라고 가정하면 실험실 좌표계에서 충돌 후 두 공의 진행 방향 각도는 약 90°정도 된다. Figure 3에서 각도기로 측정된 결과값이 약 90°정도가 되는 것을 보여주는데 이것은 이론 수식 유도를 하게 되면 다음과 같다. 닫힌 고립계에서는 입자들의 충돌 전후에서 선운동량은 보존된다. 에너지 손실이 없다는 가정에서는 탄성 충돌에서 운동에너지가 보존된다. 2차원 충돌에서 정지된 목표물 m₂를 향해 입자 m₁이 비스듬하게 충돌한다. Figure 1에서 충돌 후 선운동량 보존과 운동에너지 보존 법칙을 사용하여 다음과 같이 x성분과 y성분으로 구분하여 정리할 수 있다.

Figure 4. (Color online) Trace trajectory of the two balls A and B before and after the collision.

당구공은 색깔만 다르고 질량이 같다 (m₁=m₂)고 하면 다음과 같이 요약될 수 있다.

Eq. (8) 를 Eq. (10)에 대입하고 Eq. (9) 의 관계를 이용하게 되면 다음과 같은 수식으로 유도된다.

∴θ+ϕ=π2가 된다[16].

Equation (2) 에서 탄성 충돌이 아닐 경우에는 Q ≠ 0이 되며 Q > 0 즉, 에너지 손실이 있을 때는 발열 충돌(exoergic collision)이 된다[11]. 두 입자의 충돌 후 열 또는 소리 에너지 등의 에너지 손실이 발생하게 되기 때문에 이상적인 탄성 충돌이 성립되지 않아 충돌 후 두 입자의 진행 방향은 직각이 되지 않는다[20]. 두 공의 실제 충돌 실험에서 입자인 공이 부피를 가지고 있으므로 질량중심의 반 정도 서로 겹치게 하여 충돌 실험을 진행하였다[21].

Figure 5. 는 2차원 좌표계를 반시계 방향으로 90° 회전하였을 때 (a) 실험실 좌표계 (b) 질량중심 좌표계에서 두 공 A, B의 충돌 전후 위치를 나타낸 것이다.

Figure 5. (Color online) (a) The position before and after the collision of the two balls in the laboratory coordinate system by the coordinate system transformation (b) The position before and after the collision of the two balls in the center of mass coordinate system by the coordinate system transformation.

기존의 2차원 xy 좌표계를 각도 θ = 90°만큼 반시계 방향으로 회전시켜 변환된 XY 좌표계 사이의 관계는 Eq. (21) 으로 표현될 수 있다.

Figure 5 (b) 에서 질량중심의 좌표계에서 충돌후 두 공 A, B의 진행 방향 각도가 거의 약 180° 정도가 되는 것을 볼 수 있다.

Figure 6은 실험실 좌표계에서 두 물체의 충돌 전후 시간에 따른 속도의 성분과 성분을 그래프로 나타낸 것이다. 공 A가 표적구 B를 향하여 진행할 때 시간이 약 111.8 s에서 112.3 s 사이에 충돌 현상이 발생한다. 공 A는 충돌 직후 속도의 x축 방향 성분이 급격하게 증가하면서 감소하고 마찬가지로 속도의 y축 방향 성분은 급격히 커지면서 감소하다가 일정하게 된다. 두 물체가 충돌하면서 짧은 만남의 순간 동안에는 공 A의 각각 속도 성분 변화가 급격하게 증가하거나 감소하는 현상을 보여준다. 반면 정지상태의 표적구 B는 충돌 후 급격한 속도 증가 있음을 보여준다.

Figure 6. (Color online) (a) Time-dependent graph of the and velocity components of ball A before and after collision in laboratory coordinate system (b) Time-dependent graph of the and velocity components of ball B before and after collision in laboratory coordinate system.

Figure 7은 Eq. (12)에 의하여 질량중심 좌표계에서 각각 충돌 전후 공 A와 B의 속도 성분을 시간의 함수로 나타낸 것이다. 공A와 공 B의 질량이 같다면 (m_A = m_B) 질량중심에 대하여 공 A의 상대속도 v¯A와 공 B의 상대속도 v¯B는 크기는 같으며 방향만 다르게 된다. 즉, v¯A=−v¯B 이 된다. 또한 v¯A=12vA로 기술될 수 있다.

Figure 7. (Color online) (a) Time-dependent graph of the x and y velocity components of ball A before and after collision in the center of mass coordinate system (b) Time-dependent graph of the x and y velocity components of ball B before and after collision in the center of mass coordinate system.

Fig. 8은 실험실 좌표계에서 충돌 전후의 질량중심의 속도 성분을 시간의 함수로 나타낸 것이다. 표적구 B가 정지상태이므로 충돌 과정에서 VCM=12vA이며 공 A 속도성분 크기는 반이며 같은 방향으로 진행됨을 알 수 있다.

Figure 8. (Color online) Time-dependent graph of the x and y velocity components of the center of mass (CM) before and after collision in the laboratory coordinate system.

Figure 9 (a)는 실험실 좌표계에서 두 공 A와 B의 충돌 전후 각각의 위치에 따라 속도벡터를 표시하였다. 속도벡터는 v=(vx,vy)=i^vx+j^vy로 기술될 수 있으며 속도의 크기는 |v|=vx2+vy2이며 방향은 θ=tan−1vyvx가 된다. 충돌과정에서 공 A의 속도벡터의 크기가 매우 증가하였으며 충돌 이후 오른쪽 아래의 방향으로 일정하게 진행됨을 보여준다. Figure 9 (b)는 질량중심 좌표계에서 두 공 A와 B의 충돌 전후 위치에 의존하는 속도벡터를 나타낸다. 이미 전술한 바와 같이 Eq. (12)에 의하여 각각의 속도벡터는 크기는 같으며 방향은 반대이므로 충돌 전후 대칭성을 가지고 있다.

Figure 9. (Color online) (a) Position dependence of the velocity for balls A and B before and after collision in the laboratory coordinate system (b) Position dependence of the velocity for balls A and B before and after collision in the center of mass coordinate system

Figure 10두 공의 충돌 전⋅후의 선운동량의 변화 Δp=∫dp=∫F(t)dt 이므로 즉, 충격량으로 정의할 수 있다[16,18]. 상기 그래프에서 속도를 시간 함수로 미분한 가속도를 얻어 후 가속도-시간 그래프로 그려보고 면적을 계산하여 질량을 곱해주면 두 공의 충돌에서 충격량을 알 수 있다[22]. 공의 질량이 약 230 g 일 때 두 공의 충돌 전후의 충격량은 Fig. 10.에서 그래프 면적에 해당하며 크기는 약 0.1776 Ns 정도 된다.

Figure 10. (Color online) The impulse in the collision of two objects.

운동하는 물체를 동영상을 촬영한 후 '시간-위치', '시간-속도＇로 나타낼 수 있음을 확인하였다. 2차원 평면에서 두 물체의 충돌 동영상을 획득한 이후 동영상 분석 프로그램을 사용하여 원점 설정, 시간 . 위치의 데이터를 xy 직각좌표계에서 얻을 수 있었다. 스마트 기기를 활용하여 실험의 동영상을 촬영하거나 인터넷 유튜브의 동영상으로부터 물체의 운동에 관한 데이터 획득 및 그래프로 해석할 수 있음을 보여주었다. 과학 교과 및 비교과 과학 실험에서 학생들이 물리 실험 동영상 분석을 통하여 그래프로 표현하고 물리 개념을 적용하여 정량적인 분석을 수행할 수 있다. 본 연구에서는 과학 교과 학습에 있어서 동영상 자료를 활용하여 물체의 운동에 대한 분석 방법을 그래프로 표현하고 위치, 속도, 충격량 등의 물리량으로 양산할 수 있음을 제시하였다. 뿐만 아니라, 직접 촬영하지 않은 영상이라도 Traker와 같은 동영상 분석 프로그램을 이용하여 운동 분석이 가능함을 보여준다[23]. 학생들의 과학 개념 원리의 이해도를 향상시키고 과학 실험의 흥미와 친밀감을 높여 과학 교과에 대한 긍정적 학습 동기를 유발하기에 충분할 것으로 본다. 두 입자의 2차원 충돌 실험 실습은 고등학교 및 대학교 교육과정에서 실험실 좌표계의 운동으로 해석하고 있다. 본 논문에서는 좌표계의 변환, 질량중심 좌표계에서 입자의 충돌에 관하여 위치, 속도, 충격량 등의 물리량에 관하여 해석할 수 있음을 시사하였다. 기존 현장 교육에서 시행하던 방법과 달리 학생들이 물체의 운동 좌표계에 대한 이해를 높이고 실험실 좌표계와 질량중심 좌표계에서 물체의 운동을 도표로 그려봄으로서 중등교육과정 뿐만 아니라 대학교육 과정에서 물리실험 수업의 이해도를 높일 수 있음을 제안한다.

이 논문은 2020년도 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업입니다. (No. 2020R1I1A3A04038112 & 2019R1A6A1A10072987)