질량이 1 GeV 보다 작은 스칼라 중간자 9중항에 속하는 중간자들의 질량 분포, 큰 붕괴 폭 그리고 붕괴 과정 등에서 보이는 양상으로부터 그 스칼라 중간자들은 쿼크와 반쿼크의 속박 상태이기 보다는 두 개의 쿼크와 두 개의 반쿼크의 속박 상태로 이루어지는 테트라쿼크(tetraquark) 상태일 것이라는 제안들이 있어왔다[1-11]. 대표적인 제안으로 스칼라 중간자들이 가벼운 두 유사 스칼라 중간자들의 속박 상태일 것이라는 제안과 다이쿼크와 반다이쿼크의 속박 상태일 것이라는 제안을 들 수 있다. 본 논문에서는 다이쿼크와 반다이쿼크의 속박 상태일 것이라는 제안에 초점을 맞추고자 한다.

References[11,12]에서는 QCD(quantum chromodynamics)와 QCD의 진공 구조를 이용하는 QCD 합규칙 (QCD sum rule) 분석을 통해 스칼라 중간자 9중항 중 가장 가벼운 중간자 f0(500)(또는 σ(500))를 스칼라 다이쿼크(diquark)-반다이쿼크(antidiquark)와 유사 스칼라 다이쿼크-반다이쿼크의 속박 상태인 테트라쿼크 상태로 이해할 수 있다는 것을 보였다. 9중항의 다른 중간자들, 곧 f0(980), a0(980), K0*(800)(또는 κ)도 f0(500)와 유사한 구조의 테트라쿼크 상태를 이룰 것으로 기대되지만, 이 스칼라 중간자들에 대한 유사한 QCD 합규칙 분석에 따르면[2,13] 이 스칼라 중간자들의 질량은 700MeV 근방에서 거의 같게 된다. 이러한 점은 스칼라 중간자들을 스칼라 다이쿼크-반다이쿼크와 유사스칼라 다이쿼크-반다이쿼크의 속박 상태로 이해하기는 어렵다는 것을 의미한다고 할 수 있다.

최근에 Refs.[14-17]에서는 글루온(gluon)과 인스탄톤(instanton)에 의한 두 쿼크들 사이의 상호작용을 바탕으로 꾸며진 구성쿼크 모형을 이용한 질량 분석과 유효 라그랑지안을 이용한 붕괴과정 분석을 통해서 가장 가벼운 스칼라 중간자 9중항 f0(500), f0(980), a0(980), K0*(800)와 그 다음으로 가벼운 스칼라 중간자 9중항 f0(1370), f0(1500), a0(1450), K0*(1430)을 스핀이 0인 다이쿼크와 반다이쿼크 속박 상태와 스핀이 1인 다이쿼크와 반다이쿼크의 속박 상태가 섞여있는 상태로 이해할 수 있다고 제안하였다. 또한 두 속박 상태 중 스핀이 1인 벡터 다이쿼크와 반다이쿼크 상태가 더 중요한 역할을 한다는 것을 보였다. 그리고 그러한 제안을 QCD로 확인하기 위해서 O(αs)이며 에너지 차원이 10인 연산자까지 포함하는 연산자 곱 전개(operator product expansion, OPE)에 의한 기여(OPE에 의한 기여)로 꾸며진 QCD 합규칙을 이용해 붕괴 폭이 비교적 작은 a0(980)을 분석[18]의 결과는[14-17]의 결과를 뒷받침하는 것으로 보인다.

Reference[14]에서는 인스탄톤에 의한 두 쿼크들 사이의 상호작용에서 나오는 기여가 글루온에 의한 상호작용에서 나오는 기여에 비해 아주 작다는 것을 보였다. 그에 따라 Ref.[18]에서도 QCD 합규칙에 인스탄톤에 의해 두 쿼크들로부터 나올 수 있는 기여(인스탄톤에 의한 기여)를 포함하지 않고 OPE에 의한 기여만을 고려하였다. 그렇지만 다른 구조의 테트라쿼크 상태에 대한 QCD 합규칙을 이용한 분석[19]에 따르면 인스탄톤에 의한 기여가 OPE에 의한 기여보다 더 클 수도 있다. 따라서 Ref.[18]의 결과를 보다 더 명확하게 하기 위해서는[18]에서 고려된 QCD 합규칙에 인스탄톤에 의한 기여를 포함할 필요가 있어 보인다.

본 논문에서는[18]에서 고려된 QCD 합규칙에 인스탄톤에 의한 기여를 포함해 a0(980)에 대해서 분석하고자 한다. 다음 장에서는 QCD 합규칙을 이용해 강입자 상태를 분석하는 방법에 대해서 간략히 설명하고 인스탄톤에 의한 기여를 계산한다. 그 다음 장에서는 인스탄톤에 의한 기여가 포함된 QCD 합규칙을 분석하고 결과를 논의한다.

QCD 합규칙[20,21]에 대해서[2,11,19]에 있는 논의를 따라 간략하게 설명하고[18]에서 고려된 QCD 합규칙에 필요한 인스탄톤에 의한 기여를 계산하고자 한다. QCD 합 규칙를 이용한 강입자 분석은 고려하는 강입자의 예상되는 쿼크 구조에 맞게 쿼크 장(field)으로 꾸며진 상대론적인 국소 전류(local interpolating current) J(x)를 이용해 아래에 있는 상관자(correlator) Π를 계산하는 것에서 출발한다.

여기에서 |0〉는 QCD의 진공이다. −q2<0인 아주 깊은 유클리디안 영역에서 계산된 상관자는 OPE에 의한 기여를 포함하는 ΠOPE(q2)와 인스탄톤에 의한 기여를 포함하는 ΠINS(q2)으로 구성되고, 그 기여들에는 QCD 진공 |0〉때문에 쿼크와 글루온으로 이루어지는 다양한 연산자들의 QCD 진공 응축들이 나타난다. 상관자가 만족하는 분산관계를 이용하면 −q2<0인 영역에서 계산된 상관자는 강입자들이 존재하는 q2>0인 영역에서 강입자 상태들의 합(spectral sum)이 되는 상관자의 허수 부분과 연결된다. 그 상관자의 허수 부분을 고려하는 강입자 상태와 연속상태의 합으로 근사한 후 OPE에 의한 기여를 이용해 강입자-쿼크 이중성을 적용하고 연속 상태에 의한 기여를 줄이기 위해서 보렐 변환(Borel transform)을 하면

와 같은 QCD 합규칙을 얻는다. 여기에서 s₀는 연속상태가 시작되는 문턱에너지의 제곱이다. λ=〈0|J(0)|B〉이며, m_B는 고려하는 강입자의 질량이다. M은 보렐 질량(Borel mass)이라고 불리며, B^[ΠINS]는 보렐 변환된 인스탄톤에 의한 기여로 M의 함수이다. 여러 연산자들의 진공 응축들을 계수로 갖는 M의 다항식과 지수함수의 형태가 되는 이 QCD 합규칙의 왼쪽을 Π^(M)이라고 하면, 강입자의 질량은

으로 구할 수 있다. 이렇게 구해진 m_B가 s0 보다 작은 M의 영역에서 실험값과 모순 없으며 M에 크게 관계없이 안정적으로 있게 되면, 고려하는 강입자가 예상한 쿼크 구조를 갖는다고 할 수 있다. 이러한 M의 영역을 보렐 창(Borel window)이라고 한다.

Reference[18]에서는 가벼운 스칼라 중간자 9중항 상태를 스핀이 0인 다이쿼크와 반다이쿼크의 속박 상태와 스핀이 1인 다이쿼크와 반다이쿼크의 속박 상태가 섞여있는 상태로 이해할 수 있다는[14]의 제안을 따라 아이소 벡터 스칼라 중간자 a0+(980)에 대해서 OPE에 의한 기여를 포함한 QCD 합규칙을 구성하고 분석하였다. 그 분석을 위해서 a0+(980)에 대한 전류 는[14]에서 구성쿼크 모형을 이용해 고려한 두 속박 상태의 파동 함수에 대응하는 두 개의 전류 J₀와 J₁으로

와 같이 이루어진다. 곧, J₀는 u쿼크와 s쿼크로 이루어지는 스핀이 0인 다이쿼크와 d¯쿼크와 s¯쿼크로 이루어지는 스핀이 0인 반다이쿼크의 속박 상태의 파동함수에 대응하는 전류이고, J₁는 u쿼크와 s쿼크로 이루어지는 스핀이 1인 다이쿼크와 d¯쿼크와 s¯쿼크로 이루어지는 스핀이 1인 반다이쿼크의 속박 상태의 파동함수에 대응하는 전류이다. 스핀이 0인 다이쿼크의 색전하(color charge)와 맛깔(flavor) 구조가 각각 3¯c와 3¯f이고 스핀이 0인 반다이쿼크의 색전하와 맛깔 구조가 각각 3c과 3f이기 때문에 J₀는

이 된다. 같은 쿼크들로 이루어지는 스핀이 1인 다이쿼크와 반다이쿼크의 색전하와 맛깔 구조는 각각 6c와 3¯f 그리고 6¯c와 3f이기 때문에 J₁는

이 된다. 여기에서 a,b,c,⋯는 색전하에 대한 지수이고 위 첨자 T는 스핀 공간에서의 행렬의 자리바꿈(transposition)이다. 그리고 Γ0=Cγ5이고 Γ1=Cγμ이며 각 Γ에 대해 Γ˜는 Γ˜=γ0Γ†γ0이다. Equation (4)의 J에서 두 속박 상태의 섞임 정도를 알려주는 계수 β와 α는

이다[14]. 이 전류 J와 〈0|J(0)|a0+〉=λa0를 이용하면, Eq. (2)으로부터 a0+(980)에 대한 합규칙은

의 형태로 구해진다. 여기에서 Eq. (1)의 상관자에 Eq. (4)의 전류 J를 대입했을 때 나타나는 〈0|TJi(x)Jj†(0)|0〉 (i,j=0,1)가 Eq. (2)의 QCD 합규칙 왼쪽에 기여하는 것을 Π^i,j으로 표시하였다. Equation (2)에서 위 첨자 OPE와 INS로 표시되어 있는 것과 같이 Π^i,j에는 OPE에 의한 기여와 인스탄톤에 의한 기여가 있을 수 있어서 Π^i,j(M)=Π^i,jOPE(M)+Π^i,jINS(M)으로 쓰기로 한다. 곧, Π^i,jOPE는 OPE에 의한 기여로 Eq. (2)에 있는 앞의 항에 대한 것이고, Π^i,jINS는 같은 식의 뒤의 항 B^[ΠINS]에 대한 것이다. 앞서 논의하였듯이 Ref.[18]에서는 O(αs)이며 에너지 차원이 10인 연산자까지 포함하는 OPE에 의한 기여만을 포함하는 QCD 합규칙을 분석해[14-17]의 결과를 뒷받침하는 결과를 얻었다.

이제 Eq. (8)의 QCD 합규칙에 두 쿼크들로부터 나오는 인스탄톤에 의한 기여를 계산하기 위해서 우선 Eq. (1)의 상관자에 있는 전류의 시간 순서곱을 쓰면

이 된다. Equation (5)와 쿼크 퍼뜨리개(propagator)를 이용하면 첫 항으로부터

을 얻는다. 여기에서 Sabq(x,y)=−i〈0|Tqa(x) q¯b(y)|0〉는 맛깔이 q인 쿼크의 퍼뜨리개이고, 실제 계산에서는 고려되는 ϵabcϵadeϵa′b′c′ϵa′d′e′과 J₀에 있는 1/12를 편의상 생략하였다. 이 식에서 모든 쿼크들이 0에서 x로 또는 그 반대로 연결되어 있는 항이 테트라쿼크 상태에 해당된다. 쿼크 퍼뜨리개들이 0과 x에 관계하는 것을 보면 첫 번째 항만이 테트라쿼크 상태에 해당됨을 알 수 있다.

인스탄톤에 의한 기여는 그 기여가 맛깔이 다른 쿼크들 사이에서 나올 수 있다는 점과 정상 게이지(regular gauge) 조건에서 인스탄톤 위에서의 쿼크의 퍼뜨리개[22]

를 이용하면 계산할 수 있다. 여기에서 U,τμ±는 각각 빛깔 SU(3) 공간에서 인스탄톤의 방향과 빛깔 SU(2) 공간에서 정의되는 행렬이며, z₀, ρ, mq*는 각각 인스탄톤의 중심, 인스탄톤의 크기, 그리고 인스탄톤 위에서 전파하는 쿼크의 유효질량이다[23]. References[2,13,19]에 논의되어 있는 것과 같이 Eq. (10)에 있는 맛깔이 다른 두 쿼크들의 퍼뜨리개에는 Eq. (11)에 있는 퍼뜨리개를 이용하고 나머지 두 쿼크들의 퍼뜨리개에는 섭동론적인 퍼뜨리개를 이용하고 또한 QCD 진공에 대한 인스탄톤 액체 모형[13]을 이용하면 Eq. (9)의 첫 항에서 나오는 인스탄톤에 의한 기여를

와 같이 구할 수 있다. 여기에서 neff,ρc는 각각 인스탄톤의 평균 밀도와 크기를 의미하고 〈q¯q〉은 맛깔이 q인 쿼크의 진공응축이며, 〈u¯u〉=〈d¯d〉와 mu*=md*을 이용하였다. 그리고 이 식에 같은 기여를 하는 반인스탄톤(antiinstanton)에 의한 기여도 포함하였다.

Equation (9)의 나머지 항들에서 나오는 인스탄톤에 의한 기여는 전류를 구성하는 다이쿼크들의 스핀 구조를 고려하여 같은 방법으로 계산할 수 있다. 반인스탄톤에 의한 기여를 포함해 그 결과를 정리하면

이 된다. 함수 I0(M), I2(M), I6(M)는 각각

이다[19]. 여기에서 K_n은 맥도날드(McDonald) 함수이고 Y(y)의 정의는

이다.

인스탄톤에 의한 기여가 포함된 a0+(980) 중간자에 대한 QCD 합규칙을 분석하기 위해서 앞에서와 같이 Eq. (8)의 왼쪽을 Π^(M)이라고 하고 OPE에 의한 기여와 인스탄톤에 의한 기여로 이루어지는 QCD 합규칙을 아래와 같은 형태로 다시 쓰자:

Π^OPE(M)와 Π^INS(M)는 각각

이다. OPE에 의한 기여에서도 Π^0,1OPE=Π^1,0OPE이 만족됨을 이용하였다. Reference[18]의 분석에 이용된 s0=(1.45 GeV)2인 경우의 OPE에 의한 각 기여 Π^i,jOPE(M)와

을 이용해[24] 얻어지는 인스탄톤에 의한 각 Π^i,jINS(M)를 M의 함수로 Fig. 1과 Fig. 2에 각각 보였다. 이 그림들로부터 인스탄톤에 의한 기여 중 2βαΠ^0,1INS와 β2Π^0,0INS는 그에 대응되는 OPE에 의한 기여보다 훨씬 크다는 것을 알 수 있다. 그렇지만 그 두 기여는 반대 부호의 비슷한 값을 가지므로 각 기여를 합하여 얻어지는 인스탄톤에 의한 기여 Π^INS에 크게 기여하지 못할 것으로 보인다. 결과적으로 Fig. 3에 보인 것처럼 인스탄톤에 의한 기여 Π^INS는 1.0 GeV 보다 큰 M의 영역에서 OPE에 의한 총 기여 Π^OPE보다 아주 작게 된다. 이 결과는 인스탄톤에 의한 기여가 작다는 구성쿼크 모형 분석[14]의 결과에 해당한다고 할 수 있다. 또한, Fig. 3에서 인스탄톤에 의한 기여 Π^INS는 전반적으로 양의 값을 가지며 그 기울기 ∂Π^INS/∂M는 M>1.0 GeV인 M의 영역에서 아주 작은 양의 값 또는 음의 값을 갖는다는 것을 알 수 있다.

Figure 1. Contributions from OPE to the left hand side of the QCD sum rule Eq. (17) with s0=(1.45 GeV)2. Solid line corresponds to the contribution from 2βαΠ^0,1OPE and the long(short) dashed line to α2Π^1,1OPE(β2Π^0,0OPE).

Figure 2. Contributions from instanton to the left hand side of the QCD sum rule Eq. (17). Solid line corresponds to the contribution from 2βαΠ^0,1INS and the long(short) dashed line to α2Π^1,1INS(β2Π^0,0INS).

Figure 3. Π^OPE and Π^INS given in Eqs. (17,18) as functions of M.

이러한 양상으로부터 인스탄톤에 의한 기여는 OPE에 의한 기여만을 고려했을 때에 비해 질량에 대한 Eq. (3)의 분모에 있는 Π^를 키우고 분자에 있는 ∂Π^/∂M를 아주 작게 키우거나 줄일 것으로 보인다. 그로부터 인스탄톤에 의한 효과까지 포함하는 QCD 합규칙으로 얻어지는 a0+(980) 중간자의 질량은 OPE에 의한 기여만을 고려했을 때에 비해 작아질 것으로 예상된다. Figure 4에 인스탄톤에 의한 기여까지 포함하는 QCD 합규칙으로 구한 a0+(980)의 질량(실선)과[18]에서 OPE에 의한 기여만을 포함하는 QCD 합규칙으로 구한 a0+(980)의 질량(파선)을 M의 함수로 보였다. 앞에서 예상했던 것처럼 인스탄톤에 의한 기여는 OPE에 의한 기여만을 포함했을 때 얻어지는 a0+(980)의 질량을 작게 만듦을 볼 수 있다. 특히 1.0 GeV<M<s0인 M의 영역에서 인스탄톤에 의한 기여를 포함해 얻어진 ma0는 OPE에 의한 기여만을 포함해 얻어진 결과가 M에 따라 서서히 커지는 것에 비해 M에 보다 더 크게 관계하지 않으며 실험값인 0.98 GeV에 보다 더 가까운 값을 갖게 된다. 반면에 M<1 GeV인 영역에서는 인스탄톤에 의한 기여는 M>1 GeV인 영역에 비해 더욱 커지고 또한 그 기울기는 절대값이 더욱 커지는 음의 값을 갖기 때문에 OPE에 의한 기여만을 포함했을 때에 비해 a₀의 질량은 더욱 작아진다. 곧, a0+(980)에 대한 QCD 합규칙에 대한 인스탄톤에 의한 기여는 1.0 GeV<M<s0인 M의 영역에서 OPE에 의한 기여보다 작지만 그 기여는 OPE에 의한 기여만을 포함해[18]에서 얻었던 결과에 비해 ma0를 보다 더 안정적이게 그리고 실험값에 가까운 값을 갖게 함을 알 수 있다. 따라서 인스탄톤에 의한 기여는[18]에서 얻어진 결과를 더욱 명확하게 함을 알 수 있다.

Figure 4. Mass from the QCD sum rule Eq. (17) as a function of M. Solid(Dashed) line corresponds to mass from the QCD sum rule including contributions from OPE and instanton(from OPE only). Straight line in the middle corresponds to the value of 0.98 GeV.

이 논문은 대학민국 교육부와 한국연구재단의 개인기초연구사업(기본연구)의 지원을 받아 수행된 연구입니다(NRF-2020R1F1A1077276).