벡터와 운동 법칙을 쓰지 않고 역학을 가르칠 수 있다면 물리학습에 대한 장벽이 조금이나마 줄어들까? 슈뢰딩거 방정식을 도입하지 않는 양자역학 교수학습의 접근이 가능할까? 텐서와 장방정식없이 일반상대론의 핵심을 학부생들에게 설명하는 방안이 있을까? 고전물리학과 현대물리학을 통합적인 관점에서 이해하게 하는 관통 개념은 무엇일까?

물리학을 보다 쉽게, 하지만 본질적인 의미를 놓치지 않는 방식으로 가르치는 방안을 찾는 것은 물리를 가르치는 사람들에게는 늘 크나큰 바램이자 도전이다. 이는 물리교육학 연구 맥락에서나 물리교육의 실천 맥락에서 공통적으로 추구하는 목적이기도 하다. 그동안 물리교육과 관련된 연구에서는 학생의 선개념, 인지 갈등과 개념 변화, 인지적 과정과 심리적 구인의 영향, 물리 학습의 사회문화적 맥락 등 다양한 주제로 심화되면서 물리교육학에 대한 학문적 성과가 축적되고 있다. 이러한 연구 성과는 결과적으로 물리 교육 현장에 적용되어 물리를 보다 타당하게 가르치는 목적에 기여할 수 있다[1,2]. 실천적인 맥락에서 물리를 쉽고 타당하게 가르치려는 접근은 가르치는 내용의 재구성. 즉 교육과정 측면과 가르치는 방법의 재구성, 즉 교수학습 방법 측면으로 나누어 고려할 수 있다. 이 두 가지 측면은 서로 상보적으로 영향을 주지만, 물리교육을 개선하려는 많은 실천 노력은 주로 교수학습 방법 측면에 보다 집중되어 왔다[3,4]. 예를 들어 Knight는 그간의 물리교육학 연구 결과를 종합하여 전통적인 강의 방법에 대한 대안으로 물리 교수학습 방법의 개선 방안을 제안하였다[5].

한편, 가르치는 내용의 재구성에 대한 실천 제안은 물리학이라는 학문이 갖는 보편성으로 인해 교수방법의 개선 제안에 비해 상대적으로 어렵다. 물론 학습 대상과 교육 맥락에 따라 제시하는 내용이 달라질 수는 있겠으나, 그것이 가르쳐야할 물리학의 내용 지식 자체가 변할 것을 의미하지는 않는다. 과학 기술의 발달에 따라 산업 구조가 빠른 속도로 변하면서 학교 교육에 대해서도 변화가 요구되지만 이에 대한 물리교육의 내용 재구성 측면에서의 변화는 대체로 더디다. 1970년대와 2020년대의 물리 교과서를 비교해보면 편집 체제와 내용 요소 일부가 줄어든 것을 제외하고는 큰 차이가 없다는 것을 알게 된다. 지난 반 세기동안 과학기술과 생활 양상이 얼마나 달라졌는가와 비교해본다면 학교 물리교육과정은 사회 변화에 무심하거나 부응하지 못했다는 것을 알 수 있다. 대학 물리교육에 대한 연구 성과의 급속한 축적에도 불구하고 일반물리학의 교육 내용이 지난 수십 년간 거의 달라지지 않았다는 점은 교육과정 측면에서 물리교육의 개선이 쉽지 않다는 점을 잘 드러낸다.

가르쳐야하는 물리 내용을 재구성하는 것은 복잡하고 어려운 일이지만 물리를 가르치는 교육자들의 의미 있는 시도들은 꾸준히 있어왔다. 1956년에 시작하여 학문 중심 물리교육과정의 표본이 된 ‘PSSC(Physical Science Study Committee) 물리’는 대표적인 사례라고 할 수 있다. 고등학생을 위한 물리교육과정을 위해 노벨물리학상 수상자를 포함한 130여명의 최고 수준의 물리학자들과 더불어 300명에 가까운 전문가들이 참여하여 국가적인 지원을 바탕으로 수행했다는 점을 생각하면 물리교육과정을 개선하는 작업이 얼마나 많은 자원과 노력이 소요되는 것인지를 다시금 확인할 수 있다 [6]. 캘리포니아공과대학에서 학부생의 물리교육을 위해 새로운 교육과정을 개발한 Richard Feynman의 시도는 물리를 잘 가르치기 위한 접근으로서 물리교육 내용을 개선한 주요 예시라고 할 수 있다[7]. 대부분의 일반물리학 교재가 변위, 속도 등 운동학(kinematics)에서 시작하여 힘과 운동의 관계를 도입하는 동역학(dynamics)으로 전개되는 것에 비해, 파인만이 제시한 교재는 물리학의 첫걸음을 에너지 보존 개념에서부터 시작한다. 또한, 수학적 도구의 활용을 물리교육의 주요 내용으로 포함하면서 미적분 이전에 확률 개념을 먼저 소개한다. 파인만의 시도에 대한 교육적 효과에 대한 학술적 평가는 불분명하지만, 가르치는 물리 내용의 재구성 측면에서 대학 물리교육의 중요한 혁신 사례임에는 틀림없다.

2000년대 초반에 MIT의 테일러(Edwin Taylor) 교수는 고전역학, 양자역학, 일반상대론을 하나의 틀로 설명할 수 있는 접근 방안을 주장하며 이른바 ‘작용량 물리(action physics)’를 제안한 바 있다[8]. 작용량(action)은 프랑스의 수학자 모페르튀이(Pierre de Maupertuis, 1698-1759)에 의해 ‘정지한 물체로 이루어진 계는 작용이 최소화되는 위치에 도달하는 경향’이 있음을 주장하면서 처음으로 제안되었다. 이후 오일러(Leonhard Euler, 1707 – 1783) 와 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805 – 1865)을 거치며 현재와 같은 개념으로 정의되었다. 작용량은 입자의 운동을 설명하기 위해 도입된 추상적 물리량으로서, 시공간 좌표의 상태 A에서 상태 B까지 입자의 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 차, 즉 라그랑지안을 시간에 따라 적분한 값으로 정의된다. 고전역학에서 입자는 작용량이 인접한 다른 경로에 비해 극소가 되는 경로, 즉 정상 경로(stationary path)를 따라 움직인다, 즉 작용량을 구하면 사건 사이의 경로를 알 수 있다. 이를 해밀턴의 원리 또는 정상 작용 원리라 하며, 이로부터 고전역학의 주요 법칙을 도출하고 설명할 수 있다.

이러한 내용은 대학의 물리학 전공 수준의 역학 강좌에서 라그랑주 역학을 도입할 때 잠시 소개된다. 하지만 라그랑주 방정식을 도입하기 위해 잠시 언급될 뿐이며, 작용량 개념 자체에 대한 강조는 거의 없다. 대학 물리교육에서 작용량 개념의 도입 가능성을 탐색하는 연구들이 일부 있었으나[9-13], 작용량 개념이 물리교육에서 갖는 의의나 교수학습 실천 방안에 대한 논의는 여전히 부족하다[14]. 따라서 이 연구에서는 대학 물리교육에서 작용량 개념의 교수학습 가능성과 의의를 탐색하고자 하였다. 이를 위해 연구자는 다음과 같은 구체적인 연구 문제를 설정했다.

첫째, 물리교육에서 작용량 개념의 도입이 갖는 유용성은 무엇인가?

둘째, 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가?

이중 첫째 문제는 이론적 고찰에 근거하는 탐색적 문제이며, 둘째 문제는 학습자의 반응을 수집하여 분석하는 실험적 문제이다. 첫째 문제에 대해서는 이 논문의 2장에서 선행연구 고찰을 바탕으로 이론적 탐색 결과를 소개하였다. 둘째 문제에 대해 답하기 위해서는 예비 물리교사를 대상으로 개념 이해를 실시하였고, 그 과정과 결과에 대해서 각각 논문의 3장과 4장에서 소개한다.

먼저 작용량 개념이 기존 물리학에서 갖는 의미와 의의에 대한 것으로 고전역학 맥락에서 작용량 개념을 살펴본다. T를 운동에너지, V를 퍼텐셜에너지, A와 B를 각각 입자의 처음과 나중 상태 또는 사건(event)이라고 할 때, 작용량 S(action)는 다음과 같이 정의된다.

이때 입자의 운동은 작용량의 변분 δS=0을 만족하는 경로를 따른다. 이를 해밀턴의 ‘최소 작용 원리(least action principle)’이라고 한다. δS=0은 경로를 무한히 작게 변화시켜도 작용량은 변하지 않는다는 것을 의미하므로 이를 만족하는 S를 정상 작용량(stationary action)이라고 부를 수 있다. 따라서 최소 작용 원리는 ‘정상 작용 원리(stationary action principle’)라고 부르는 것이 타당하다. 정상 작용 원리는 ‘운동하는 입자들로 이루어진 어떠한 계가 따를 수 있는 수많은 경로 중에 실제로 자연이 선택하는 경로는 작용량(action)을 최소화시키는 경로’라는 것을 알려준다.

작용량에 기초한 역학은 뉴턴 역학과 동일한 결론을 주지만 스칼라량만을 다룬다는 점에서 수학적으로 뉴턴 역학보다 단순하다. 특히 여러 입자로 구성된 입자계의 경우 뉴턴 역학으로 미분방정식을 푸는 것에 비해 한결 단순하게 문제를 해결할 수 있다[9]. 작용량 개념은 고전역학에서 먼저 제안되었으며, 정상 작용 원리로부터 라그랑주 방정식을 비롯하여 운동량 보존이나 에너지 보존 등 고전역학의 주요 법칙들을 유도할 수 있다. 이는 힘 개념과 운동 법칙을 중심으로 하는 뉴턴 역학과 전혀 다른 접근 방식이지만 뉴턴 역학과 동일한 결과를 준다. 뉴턴 역학에서는 각 사건의 초기 조건과 알짜힘으로부터 인접한 다음 사건을 예측하는 접근이지만, 정상 작용 원리는 입자의 처음과 나중 상태를 알면 그 사건 사이의 과정이 결정된다는 방식으로 접근한다는 점에서 물리학에 대한 근본적인 관점을 달리 한다. 즉, 작용량 개념은 뉴턴 역학과 전혀 다른 방식으로 고전역학을 설명하는 대안적 설명 체계를 제공할 수 있다.

또한 작용량은 상급 물리학에서 다루는 개념(예: 상태, 경로 등)을 내포하고 있어 현대물리학으로 확장 가능성이 있다[8]. 한편 광자나 전자의 운동을 설명하기 위해서는 고전역학과 전혀 다른 설명 체계를 요구하는 양자역학을 도입할 수 밖에 없으며, 이러한 현상은 고전역학적인 정상 작용 원리로는 설명할 수 없다. Richard Feynman은 작용량 개념을 도입하여 양자역학을 설명하는 접근 방식을 제안했다. 이 접근에 따르면 입자의 운동은 임의의 가능한 모든 경로를 따르며 양자 세계의 상태 변화는 오직 확률적으로만 기술할 수 있다[12]. 고전역학과 비교하여 다른 점이 있다면 자연 세계가 유일한 경로가 아닌 가능한 모든 경로를 따른다는 점과 각 경로의 진폭의 제곱에 비례하는 확률 개념이 동원된다는 점이다. 경로의 확률은 확률 분포 함수의 진폭 제곱에 비례하며, 각 경로의 확률 진폭은 해당 경로에 대한 작용량으로 기술할 수 있다. 즉 α를 전이 진폭이라고 하면 A 상태에서 B 상태로 전이하는 경우의 확률 진폭은 식 (2)와 같이 기술된다[9].

여기서 N은 표준화 상수, Spath는 각 경로의 작용량, exp(iSpath/ℏ)는 위상이다. 즉 작용량과 플랑크 상수의 비가 위상을 결정한다. 한 상태에서 다른 상태로 전이하는 확률 진폭은 두 상태 사이에 가능한 모든 경로에 대한 적분으로 결정되는데, 이는 개념적으로는 파동의 중첩과도 같다. 이러한 접근은 슈뢰딩거 방정식과 그 해를 구하는 방식과 다른 방식이지만 같은 결과를 주는, 양자 세계를 설명하는 대안적 접근 방식이라 할 수 있다 [12].

양자역학에서 작용량 개념을 도입한 설명 방식은 고전역학의 정상 작용 원리도 설명할 수 있다. 즉, 고전역학은 양자역학에서 S/ℏ≫1인 특별한 경우라 할 수 있다. S/ℏ≫1이라면 각 경로마다 확률 진폭의 위상이 크게 다르므로, 중첩 결과 대부분의 경로에 대한 진폭은 0에 수렴하고 하나의 경로만 살아남게 되는데, 이는 정상작용을 만족하는 경로만 따른다는 고전역학의 정상 작용 원리와 일치하게 된다. 작용량 개념에 기반한 양자역학으로 고전역학의 정상 작용 원리를 설명한다는 점에서 작용량 개념은 양자역학과 고전역학을 연계하는 설명체계가 될 수 있다[16]. 이에 대해 Hanc, Tuleja, and Hancova는 이를 손목시계 초침의 운동과 마이크로 프로세서 칩 내부의 전자의 운동에서의 작용량을 차원 분석을 통해 비교하여 설명하였다[9]. 손목시계에서 초침의 경우 변위 d≈10−4 m , 질량 m≈10−4 kg, 시간 간격 t≈1 s 라고 근사하면 차원 분석을 통해 S md2t−1 10−12 Js 1022ℏ 라고 어림할 수 있다. 따라서 S/ℏ≫1 이므로 이는 고전 역학의 정상 작용 원리로 수렴하게 된다. 반면 같은 방식으로 마이크로 프로세서 내부의 전자의 움직임에 적용하여 작용량을 구해보면 변위 d≈10−6 m , 질량 m≈10−30 kg, 시간 간격 t≈60 MHz를 대입하여 S md2t−1 10−34 Js 1ℏ를 얻게 된다. 이 경우는 이므로 오직 양자역학으로만 설명할 수 있다.

한편 상대론 학습을 위해서는 고전물리학 접근과는 근원적인 관점의 변화가 필요하다. 이때 시공간(space-time) 좌표와 사건(event) 개념은 유용한 도구이다¹. 일반 상대론에서는 자연계의 현상을 시공간 좌표(space-time)의 상태(event) 변화로서 이해한다고 할 수 있는데, 이는 시간과 공간을 독립적인 변수로 놓고 유클리드 기하학에 기초한 고전 물리학 접근의 개념적 변화를 요구한다. 예를 들어 물체 간의 상호작용으로서 중력 개념을 시공간의 왜곡으로 해석한다. 시간지연이나 길이수축 등의 개념은 로렌츠 변환식을 통해 수학적으로 도출되기도 하지만, 시공간 좌표계와 세계선(world line) 개념을 적용해서 이해할 수도 있다. 상대론에서 정상 작용 원리를 적용하면 작용량은 S=−mc2∫ABdτ로 정의될 수 있으며, 이때 실제 세계선을 따르는 작용량을 최소화하는 경로는 총 고유시간(τ=∫dτ)을 최대화한다. 따라서 최대 고유시간의 원리 또는 최대 노화 원리(maximal aging principle)라고 할 수 있다[8, 17].

이와 같이 작용량 개념은 고전역학과 양자역학은 물론 상대론에 이르기까지 하나의 틀에서 설명할 수 있는 관통 개념(crosscutting idea)으로서 대학 물리교육에 적용될 수 있다. 그러나 2003년 Taylor 교수가 작용량 개념의 도입을 주장한 이래 이를 호응하는 일련의 연구가 있었으나 기초물리학 수준에 실제 교수학습에 적용한 사례는 아직까지 드물다[14].

1. 연구 대상

이 연구에서는 국내 모 사범대학 물리교육과에 재학 중인 학부 2학년부터 4학년까지 예비 물리교사 39명의 응답 결과를 연구 자료로 활용하였다. Table 1은 연구에 참여한 응답자 39명의 분포를 나타낸다. 전제 응답자 중 2학년이 13명(35%), 3학년 15명(32%), 4학년 12명(32%)으로 학년별로 고르게 분포한다. 한편 작용량 개념과 관련하여 대학에서의 관련 교과목 이수를 확인하기 위해 고전역학, 현대물리, 양자역학 과목의 이수 여부를 살펴본 결과, 고전역학만 이수한 경우(CM)는 14명(32%), 고전역학과 현대물리까지 이수한 경우(MP)가 15명(38%), 그리고 고전역학, 현대물리와 더불어 양자역학까지 이수한 경우(QM) 10명(26%)이다.

Table 1 Distribution of research participants .

Grade			Subjects			Total
2	3	4	CM	MP	QM
13	14	12	14	15	10	39
35%	32%	32%	32%	38%	26%	100%

2. 검사 도구 및 적용

이 연구에서는 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 이해 정도를 조사하기 위해 McGinness and Savage가 개발한 ‘작용량 개념 검사(Action Concept Inventory; ACI)’를 활용하였다[18]. ACI는 고전역학적인 정상 작용 원리로부터 양자역학의 다중 경로 개념에 이르기까지 작용량과 관련된 물리 개념 이해를 조사하는 문항으로 구성된 검사 도구로서 총 19개의 선택형 문항으로 이루어져있다. ACI의 문항들은 에너지 보존(conservation of energy), 경로(path), 정상 작용 원리(principle of stationary action), 정상(stationary), 페르마의 원리(Fermat's principle), 정상 퍼텐셜 에너지 원리(principle of stationary potential energy), 다중 경로(explore all paths), 복소 진폭(complex amplitude), 확률(probability)의 9개의 하위 개념으로 분석될 수 있다. 이 검사지는 문헌 분석과 내외부 전문가 피드백, 검사지 초안 개발과 적용, 개발자-전문가-학생의 피드백 과정을 순환하는 다단계 반복 순환(multistage iterative cycle) 과정을 거쳐서 제안되었으며 2014년부터 2015년도까지 호주국립대학(Australian National University) 학생들을 대상으로 적용되어 개발되었다. 선행연구에서 ACI의 평균 곤란도(difficulty index)는 0.35 – 0.43이며, 문항 변별도는 0.24 – 0.38로 보고된다. 또한 Kuder-Richardson 20 계산식으로 구한 문항내적합치도는 0.53 – 0.64로서 일반적인 심리검사도구에 비해서는 다소 낮은 신뢰도를 보인다.

이 연구에서는 ACI를 한글로 번역하였으며, 번역한 문항에 대해서 전문가 2인의 독립적인 검토를 통해 검사지 문항을 최종 확정하였다. 한글로 번역된 ACI는 온라인 검사 도구 형태로 변환되어 역학 이상의 과목을 수강한 예비 물리교사 39명을 대상으로 적용하였다. 온라인 검사 도구는 응답자 개인 정보를 묻는 섹션(학년 및 물리학 과목 이수 정도), 작용량에 대한 기초 개념을 설명하는 섹션, 작용량 개념 이해를 묻는 문항 섹션으로 구성되었다. 학생들에게 주어진 문항 풀이 시간은 30분이었으며, 실제 대부분의 응답자는 20분 내외로 검사를 완료하였다.

3. 분석 방법

수집한 자료에 대해서는 문항별 및 개념 범주별로 응답 분포를 확인하기 위해 기술 통계(descriptive statistics)를 실시하였으며, 응답자의 개인 변인에 따른 개념 이해 차이를 확인하기 위해 변량 분석(analysis of variance)을 실시하였다.

기술 통계는 응답자의 개념 이해 정도를 확인하기 위해 개인별 획득 점수(score)의 평균과 표준편차를 구하였으며, 문항별 획득 점수는 각 문항에 대한 평균 정답률(Ratio of Correct Answer; RCA)을 구하여 이를 %p로 환산하여 나타내었다. 또한 문항별로 답지 선택의 분포를 확인하기 위하여 응답집중지수(Concentration factor; c-factor)를 구하였다. 응답집중지수는 m개의 답지를 선택할 수 있는 선다형 문항에서 특정 답지에 대한 응답자의 집중 정도를 나타내는 지표로서 0에서 1까지의 값을 가진다. m 이 답지의 개수, n_i가 해당 답지를 선택한 응답자의 수, N을 전체 응답자의 수라고 할 때 응답집중지수는 식 (3)으로 표현된다. 즉, 응답집중지수가 1에 가까울수록 특정 답지에 응답이 집중되어있음을 알 수 있다.

개념 검사의 결과를 분석하는 도구로서 응답집중지수를 제안한 Bao와 Redish[19]에 따르면 문항별 정답률과 응답집중지수를 각각 3수준으로 구분함으로서 이들의 조합으로 각 문항에 대한 학생의 반응을 몇 가지 유형으로 나타낼 수 있다 (Table 3). 예를 들어 정답률과 응답집중지수가 모두 높은 문항(HH 유형)은 정답에 응답이 집중된 경우로서 문항이 쉬워서 대부분의 학생들이 옳은 정답을 한 ‘하나의 정답 모형(one correct model)’이며, 반면 정답률이 낮지만 응답집중지수가 높은 문항(LH)은 특정 오답에 학생들의 응답이 집중된 경우로서 ‘하나의 지배적 오답 모형(one dominant incorrect model)’이라 한다. 해당 문항에 대해서 대부분의 학생들이 특정 오개념을 지니고 있음을 알 수 있다. 그 외에도 낮은 정답률과 중간 수준의 응답집중지수를 보이는 LM 유형, 중간 정답률과 중간 응답집중지수를 보이는 MM 유형은 모두 지배적인 응답 유형이 2가지로 구분되는 ‘두 모형(two model)’, 그리고 정답률과 응답집중지수가 모두 낮은 LL 유형은 문항이 너무 어려워서 대부분의 학생들이 추측으로 답을 하였다고 간주할 수 있는 ‘무작위 모형(random model)’으로 구분한다. 이와 같은 모형 구분을 하면 선택형 개념 검사 문항에서 학생들이 보이는 반응으로부터 개념 이해 정도와 더불어서 특정 오개념 유형의 유무를 검토할 수 있다[20,21].

Table 2 The concepts tested by the ACI

Concept	Description	Questions
Conservation of energy	Energy is conserved.	1, 2
Path	A path is a curve in space, with each of its points occurring at a specific time.	10, 11
Principle of stationary action	The classical (observed) path is the one for which the action is stationary.	7, 9, 16
Stationary	A first order variation of the path makes no first order difference to the action.	4, 6, 12
Fermat's principle	When travelling from point A to point B a light ray will take the path for which the time is stationary.	13
Principle of stationary potential energy	A particle placed at rest at a point of zero slope in the potential energy curve will remain at rest.	3, 5
Explore all paths	In quantum physics a particle takes all possible paths when moving between two states.	8, 19
Complex amplitude	Each path has a complex amplitude determined by the action, with equal magnitudes, and different phases.	15, 18
Probability	The probability of a transition is calculated by squaring the modulus of the total amplitude.	14, 17

Table 3 Three-level coding scheme for score and concentration factor. [19]

Score (RCA)	Level	Concentration (c-factor)	Level
0-0.4	L & 0-0.2	L
0.4-0.7	M & 0.2-0.5	M
0.7-1.0	H & 0.5-1.0	H

변량 분석의 경우 응답자의 학년 및 물리 과목 이수 정도를 각각 고정 요인으로 하고 문항별 정답률을 하나의 종속 변수로 하는 일변량 분산 분석(ANOVA)을 실시하였다. 즉, 응답자의 학년에 따라 작용량 개념 이해에 차이가 있는지, 응답자가 이수한 물리 과목에 따라 작용량 개념 이해에 차이가 있는지를 검토하고, 통계적으로 유의한 차이가 발견되면 사후 검증(post hoc test)을 적용하여 집단별로 어떤 차이가 있는지 검증하였다. 사후 검증 방법으로는 각 집단의 수가 동일하지 않으므로 Scheffe 검정을 활용하였다.

이 연구에서 기초적인 자료 수집과 정리는 MS-Excel을 활용하였고, 그 외의 모든 통계 분석은 SPSS Statistics 25를 활용하였다.

1. 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 이해 분포

작용량 개념 검사에 대한 예비 물리교사들의 평균 점수는 19점 만점에 5.10(± 0.35)점이며, 이를 평균 정답률로 환산하면 0.27(± 0.02)점, 즉 27%p로서 전체적으로 작용량 개념에 대해서 낮은 이해도를 보인다고 할 수 있다 (Table 4). 문항별로 가장 높은 정답률을 보인 문항은 에너지 보존 개념을 묻는 Q01 문항(77%p)이며 가장 낮은 정답률을 보인 문항은 정상 퍼텐셜 에너지 원리 개념을 묻는 Q03 문항(5%p)이었다. 전체 19문항 중 12개의 문항에서 정답률이 0.4 이하로서, Bao와 Redish[19]가 제시한 물리 개념 조사 문항의 분석 기준에 따르면 전체 문항의 약 63%에서 ‘낮은(L)’ 이해를 보였다. 특히 전체 문항 수의 과반이 넘는 10개 문항에서 정답률이 0.2 이하인 매우 낮은 정답률을 보였다. 한편, 작용량 개념 검사를 개발하면서 국립호주대학 학생들을 대상으로 이를 적용한 선행연구에 따르면 학생들의 작용량 개념 검사에 대한 평균 점수는 교수학습 이전에는 총점 19점 기준으로 5.1(± 0.2)점에서 5.2(± 0.2)점이며 작용량 개념에 대한 3주 모듈 학습을 한 이후에는 6.3(± 0.3)점에서 8.2(± 0.3)점이었다[18]. 동일한 검사 도구를 적용했을 때의 결과 수치 중에서 특히 작용량 개념에 대한 체계적인 교수학습 이전에 학생들이 보인 점수는 이 연구에서 얻는 응답자의 작용량 개념에 대한 이해 평균 점수와 매우 유사하다. 이 결과는 작용량 개념 검사 도구가 해당 개념을 명시적으로 학습하지 않은 학생들에게 어렵다는 사실과 더불어, 다른 한편으로 다른 맥락과 다른 대상을 적용했을 때 유사한 결과가 나온다는 점에서 작용량 개념 검사의 신뢰도를 나타낸다고 할 수 있다.

Table 4 Descriptive statistics of the ACI.

	RCA	Std. Error	Std. Deviation.
Q01	0.77	0.07	0.43
Q02	0.15	0.06	0.37
Q03	0.05	0.04	0.22
Q04	0.13	0.05	0.34
Q05	0.49	0.08	0.51
Q06	0.51	0.08	0.51
Q07	0.13	0.05	0.34
Q08	0.23	0.07	0.43
Q09	0.44	0.08	0.50
Q10	0.13	0.05	0.34
Q11	0.18	0.06	0.39
Q12	0.18	0.06	0.39
Q13	0.40	0.08	0.50
Q14	0.10	0.05	0.31
Q15	0.18	0.06	0.39
Q16	0.64	0.08	0.49
Q17	0.13	0.05	0.34
Q18	0.28	0.07	0.46
Q19	0.38	0.08	0.49
Score	5.10	0.35	2.17

한편, 19개 문항을 9개의 하위 개념으로 범주화하여 문항별 평균 점수와 응답집중지수에 따라 Bao와 Redish[19]가 제안한 문항 유형으로 분석한 결과는 Table 5와 같다. 먼저 개념 범주별로 평균 점수를 살펴보면 에너지 보존(46%p), 페르마 원리(40%p), 정상 작용 원리(40%p) 순으로 개념 이해 정도가 상대적으로 높고, 확률(10%p)과 경로(15%p)에서는 평균 점수가 20%p 미만으로 개념 이해가 가장 낮음을 볼 수 있다. 에너지 보존과 페르마 원리의 경우는 일반물리학과 고전 역학, 기초 광학 등의 수업을 통해서 학생들이 비교적 친숙하게 접하므로 상대적으로 양호한 이해를 보인다고 볼 수 있다. 정상 작용 원리의 경우 일반물리학에서 소개되는 경우는 거의 없고 고전역학에서 해밀톤 역학을 다루면서 선택적으로 소개되는 것에 비해서 응답자의 개념 이해도는 다른 개념 범주에 비해 상대적으로 양호하다. 하지만 평균 점수가 상대적으로 높은 개념의 하위 문항을 살펴보면 문항별 점수 폭이 13%p부터 77%p까지 넓게 분포함을 볼 수 있다. 따라서 개념 범주별로 학생들이 보다 이해를 잘 하는지 보다는 문항에 따라서 학생들의 이해 정도가 다르게 나타난다고 해석하는 것이 보다 타당하다. 그에 비해 확률, 경로, 복소함수 등 전체적으로 정답률이 낮게 나타난 개념들은 상대적으로 응답자들에게 생소한 개념이라 할 수 있다. 그런데 해당 개념의 하위 문항들은 문항별 정답률의 폭이 10%p부터 30%p까지 그리 크지 않다. 즉 이 개념에 대해서는 문항에 크게 의존하지 않고 개념 자체에 대해 응답자들의 개념 이해가 낮음을 추측할 수 있다.

Table 5 Item analysis by RCA and C-factor .

Concept	Question	RCA	C-factor	Pattern	Mean RCA
Conservation of energy	Q01	0.77	0.56	HH	0.46
	Q02	0.15	0.05	LL
Path	Q10	0.13	0.25	LM	0.15
	Q11	0.18	0.14	LL
Principle of stationary action	Q07	0.13	0.21	LM	0.40
	Q09	0.44	0.20	MM
	Q16	0.64	0.35	MM
Stationary	Q04	0.13	0.21	LM	0.27
	Q06	0.51	0.29	MM
	Q12	0.18	0.07	LL
Fermat's principle	Q13	0.40	0.16	LL	0.40
Principle of stationary potential energy	Q03\quad	0.05	0.21	LM	0.27
	Q05\quad	0.49	0.26	MM
Explore all paths	Q08	0.23	0.04	LL	0.37
	Q19	0.38	0.26	MM
Complex amplitude	Q15	0.18	0.04	LL	0.25
	Q18	0.30	0.16	LL
Probability	Q14	0.10	0.14	LL	0.10
	Q17	0.13	0.06	LL

점수(정답률)와 응답집중지수의 조합으로 문항의 유형을 분석하고 문항 유형별 분포를 점수-응답집중지수 도표(Score-Concentration plot)에 나타내면 Fig. 1과 같다. 응답자의 반응이 하나의 답지로 집중되는 ‘한 모형(one model)’ 중에서 다수의 응답자가 정답을 맞추는 하나의 정답 유형(HH)은 에너지 보존 관련된 문항 하나뿐이며, 다수의 응답이 특정 오답에 집중되어 지배적인 오개념을 보이는 유형(LH)은 나타나지 않았다. 다수의 문항이 정답률과 응답집중지수가 모두 낮은 ‘무작위 응답 모형’(LL)에 해당한다. 한편 일부 문항에서는 응답집중지수가 0.20 이상으로서 응답이 두 개의 답지에 비교적 집중되어 있는 ‘두 모형(two model)’에 해당하는 LM 또는 MM 유형으로 나타났다. 특히 응답집중지수가 0.26 – 0.35 수준으로 다른 문항에 비해 상대적으로 높은 Q05, Q06, Q16, Q19은 정답률도 상대적으로 높은 MM 유형으로서 이 문항에 대해서 응답자들의 반응은 정답이 아니면 특정 오답에 집중되어 있음을 알 수 있다. 이중 Q06와 Q16은 모두 정상(stationary) 또는 정상 작용에 대한 문항으로서 정답을 선택하지 않은 학생들은 정상 작용을 만족하는 경로를 최단 경로와 동일하게 인식하는 경향을 보인다. Q05는 퍼텐셜 에너지와 미분의 물리적 의미에 대한 문항으로서 정답을 선택하지 않은 학생들은 퍼텐셜이 상수인 경우에만 그 지점에서 알짜힘이 0이 된다고 이해하는 경향이 있다. Q19는 양자역학에서 작용 개념을 적용한 문항으로서, 정답을 선택하지 않은 응답자들은 두 사건 사이의 전자의 경로는 최단 경로만 가능하다고 인식하는 경향이 있다.

Figure 1. (Color online) S-C plot to show the score and concentration results of individual multiple-choice questions. (Due to the constraint between the score and concentration factor, data points can only exist in the area between the two boundary lines.)

2. 예비 물리교사들의 개인 배경에 따른 작용량 개념 이해의 차이

학년별 및 선수 과목별 집단별 모수가 비교적 작으므로 집단 분포가 등분산 조건을 만족하는지 먼저 확인하였다. 등분산 조건 확인 결과 모든 집단은 등분산 조건을 만족하였으므로 등분산을 가정한 사후 검증을 실시하였다. 사후 검증은 각 집단별 모수가 다르므로 Scheffe 검증을 실시하였다.

학년별로는 평균 점수를 비교해보면 2학년 21%p, 3학년이 29%p, 4학년이 31%p의 정답률로 학년이 올라갈수록 평균 점수가 증가하는 경향을 보인다 (Table 6). 하지만 이러한 집단별 차이는 변량 분석 결과 통계적으로 유의하지 않은 것으로 드러났다 (p > 0.05).

Table 6 Distribution of mean scores according to respondents’ grade.

Grade	Mean(%p)	Std. Deviation	N	F	Sig.
2nd	21.05	12.15	13	2.944	0.065
3rd	28.57	8.18	14
4th	31.14	12.18	12
Total	26.86	11.44	39

응답자의 선수 물리과목에 따라서는 집단별 평균 점수를 정답률로 비교한 결과 역시 학년에 따른 집단 비교와 비슷한 형태를 나타낸다 (Table 7). 즉, 고전역학만 이수한 집단(CM)의 평균 정답률은 21%p, 고전역학과 현대물리까지 이수한 집단(MP)은 28%p, 고전역학, 현대물리와 더불어 양자역학까지 이수한 집단(QM)은 33%p로서 통계적으로 유의한 차이를 나타낸다 (p<0.05). 즉, 이수한 물리 과목이 현대물리학에서 양자역학으로 심화될수록 응답자의 작용량 개념에 대한 이해도가 높은 것으로 드러난다. 집단별로 어떤 차이가 있는지 확인하기 위해 사후 검증으로 Scheffe 검증을 실시한 결과, 통계적으로 유의한 집단 간 차이는 QM 집단과 CM 집단 사이에서만 나타났으며, QM 집단이 CM 집단에 비해 평균 점수가 12.1% 더 높음을 알 수 있다 (p = 0.033).

Table 7 Distribution of mean scores according to respondents’ course-taking subjects.

Subject	Mean(%p)	Std. Deviation	N	F	Sig.
CM	21.05	11.68	14	3.926	0.029
MP	28.07	8.36	15
QM	33.16	12.17	10
Total	26.86	11.44	39

응답자의 개인 변인으로서 학년과 선수 물리학 이수 과목은 서로 독립적이지 않다. 예비 물리교사 교육과정상 학년이 올라갈수록 선수 물리학 이수 과목이 더 많고 심화된다. 예를 들어 2학년생들은 대부분 고전역학까지만 이수한 것에 비해 4학년생들의 다수는 고전역학 뿐 아니라 현대물리학과 양자역학까지 이수한다. 하지만 학년과 물리학 이수 과목이 정확히 일치하지는 않는다. 학년과 선수 물리학 이수 과목에 따른 집단별 작용량 개념 이해의 분포가 유사하지만, 통계적으로 유의한 차이는 학년이 아니라 선수 물리학 이수 과목에서만 나타났다. 즉, 학년이 올라가는 요인보다는 선수 물리학 과목을 얼마나 이수했는가에 따라서 작용량 개념에 대한 이해가 달라진다고 해석할 수 있다.

이 연구에서는 작용량 개념을 대학 물리교육에서 적용 가능성을 탐색하기 위해 작용량 개념과 기존 물리학습과의 관계를 이론적으로 고찰하였으며, 예비 물리교사를 대상으로 작용량 개념에 대한 이해를 조사하였다.

작용량 개념이 대학 물리교육에서 갖는 의의에 대한 이론적 고찰 결과를 정리하면, 첫째 작용량 개념을 도입하는 고전역학은 힘 개념과 운동 법칙을 중심으로 하는 뉴턴역학과 전혀 다른 접근 방식이지만 스칼라량에 기반한다는 점에서 수학적으로 단순하면서 뉴턴 역학과 동일한 결과를 준다. 둘째, 작용량은 경로적분에 기반하는 양자역학의 대안적 접근의 기초 개념을 제공하며 작용량 개념에 기반한 양자역학으로 고전역학의 정상 작용 원리를 설명한다는 점에서 양자역학과 고전역학을 연계하는 설명체계가 될 수 있다. 셋째, 작용량은 시공간 좌표계의 상태 변화로 자연계를 기술하는 일반 상대론의 이론적 기초가 될 수 있다는 점에서 대학의 학부생 물리교육 수준에서 고전물리학부터 현대물리학에 이르기까지 물리학을 정합적인 체계로서 파악하는데 기여할 수 있다. 결론적으로 작용량 개념은 고전역학과 양자역학에 대한 대안적 설명 체계를 제공할 뿐 아니라 고전물리학과 현대물리학을 통합적으로 연계하는 관통 개념이 될 수 있다.

예비 물리교사를 대상으로 작용량 개념에 대한 이해 정도를 조사한 결과를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 이해 정도를 조사한 결과 평균 정답률이 27%p로 다소 낮은 편이며 특히 확률, 경로, 복소함수 등의 개념에서 가장 낮은 이해도를 보였다. 정답률과 응답집중지수의 조합으로 문항별 유형을 분석한 결과 다수의 문항에서 문항 자체가 어려워서 정답률과 응답집중지수가 모두 낮은 ‘무작위 모형’을 보였으나, 정상(stationary), 경로(path) 등 일부 개념에서는 정답과 특정 오답이 공존하는 ‘두 모형’에 해당함으로서, 해당 개념에서 오개념이 존재할 수 있음을 확인하였다. 둘째, 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 평균 정답률은 응답자의 학년이 올라감에 따라 증가하는 경향을 보였으나 통계적으로 유의하지 않다. 하지만 선수 물리학 이수 과목에 따라서는 유의한 차이가 나타났다. 특히 고전역학만 이수한 응답자에 비해 양자역학까지 이수한 응답자의 개념 이해 정도가 통계적으로 유의하게 높았다.

작용량 개념을 명시적으로 학습하지 않은 예비 물리교사들의 작용량 개념 검사 결과, 정상 작용 원리, 다중 경로 등 학부생에게 생소한 개념에 대해서 비교적 양호한 이해를 보였다는 점은 작용량 개념의 학부 수준에서 도입 가능성을 시사한다고 할 수 있다. 또한 양자역학 이수 여부에 따라서 작용량 개념에 대한 정답률이 의미있게 달라진다는 점에서 작용량 개념 도입의 시기와 도입 방법에 대한 시사점을 제공한다고 볼 수 있다.

한편 이 연구에서 예비 물리교사들의 작용량 개념에 대한 낮은 정답률과 개념별 반응 유형을 통해 특정 개념에 대한 오개념 가능성은 확인하였으나, 그 어려움의 근원을 파악하고 그에 따라 학부 물리교육 맥락에서 교수학습 방법을 제안하기에는 이 연구의 결과만으로는 부족하며 추후 후속 연구가 요청된다. 작용량은 물리학의 기초 개념이라기보다는 계산을 위한 인위적으로 도구로서 간주되어 주로 상급 수준의 전공 물리교육에서 도입된다. 작용량 개념을 대학 물리교육에 도입하는 데에는 수학적인 어려움과 개념적인 어려움이 뒤따른다. 먼저 수학적인 어려움으로는 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다루는 변분(variation) 개념을 이해하고 적용할 수 있어야한다. 개념적인 어려움으로는 첫째 작용량 개념이 힘 개념에 비해 추상적이어서 학생들이 직관적으로 이해하기 어렵다는 점이고, 둘째 마찰력과 같은 비보존력을 다루기 힘들다는 점도 고려해야한다[8]. 따라서 작용량 개념에 기초한 물리 교수학습 적용을 위해서는 수학적 측면과 개념적 측면에서 학습자들에 대한 준비를 고려해야한다. 이는 다른 의미에서는 개념적 측면과 수학적 측면에서의 고려를 바탕으로 학부 물리교육 수준에서 작용량 개념을 도입할 가능성이 있음을 시사한다. 예를 들어 에너지 개념에서 출발하여 개념적 유사성에 기초하여 소개하는 개념적 접근을 고려할 수 있다. 변분은 고등학교 수학을 벗어나는 개념이지만 미분과 적분은 공통교육과정에 포함되어 모든 고등학생들이 학습한다. 작용량을 최소화한다는 개념은 작용량으로 정의되는 함수가 극값을 갖는 경우로 환원하여 설명할 수 있으며, 이는 미분을 학습한 고등학생들에게는 접근 가능한 방법이다. 경로(path), 사건(event), 세계선(world line) 등의 주요 개념은 수학을 사용하지 않은 정성적인 개념 설명이 필요하다. 학생이 일반 미적분학을 이해한다면 변분에 기초한 정상 작용 원리를 정성적으로 소개할 수 있다. 또한 학생들이 직접 변분을 요구하는 수학적인 계산 대신 컴퓨터를 활용하여 시각화함으로서 정성적으로 접근 가능하다[13, 16].

하지만 이러한 접근이 작용량 개념 자체의 추상성과 수학적 어려움을 온전히 해소하는 것은 아니며, 또 비보존력이 개입되는 상황에서 적용하기 어렵다는 약점은 여전히 존재한다. 안 그래도 학생들이 어렵게 여기는 물리학을 더욱 어렵게 하는 것이 아닌가 하는 비판도 가능하다. 또한 작용량 개념 검사를 통해 학습자의 어려움에 대한 정보는 파악할 수 있었으나, 어려워서 해결할 수 없는 문항과 특정한 사고 유형으로 오개념이 있는 문항을 구분하기 위해서는 개념 검사 결과를 보완할 수 있는 보다 자세한 검토와 보강 연구가 필요하다. 한편 작용량에 기초한 물리학은 자연 현상을 수학적으로 기술하는 방식의 차이 뿐 아니라 자연 현상에 대한 철학적인 접근의 차이로서도 의미있다. 뉴턴 역학이 원인(힘)에 따른 결과(가속도)로서 설명하는 인과론적 해석을 취하는 것에 비해, 정상 작용 원리는 처음 상태와 나중 상태를 알면 그 중간 경로가 특정한 ‘경향’에 따라 정해진다는 목적론적 입장과 유사하다. 이러한 관점에서 작용량 개념을 물리학습에 도입하는 또 다른 의의는 물리학 지식의 철학적 의미를 풍부하게 할 여지가 있다는 점이다. 이 연구는 작용량 개념 도입에 대한 탐색적 연구로서 다양한 후속 논의 과제를 유발한다는 점에서 도전적이고 흥미롭다. 이 주제에 대한 물리교육 연구자들의 관심을 기대한다.

¹ 작용량 개념의 도입을 주장한 E. F. Taylor는 이보다 훨씬 일찍이 J. A. Wheeler와 함께 한 저서 “Space Time Physics”(1966년 초판 출간)에서 시공간 좌표를 기반으로 학부(기초물리학) 수준에서 상대론 교수학습이 가능함을 역설한 바 있다.