npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2023; 73: 978-983

Published online November 30, 2023 https://doi.org/10.3938/NPSM.73.978

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Quantum Measurement under the Conditions of an Adiabatic Process on a D-Wave Quantum Annealer

D-Wave 양자 어닐러에서 Adiabatic 전개의 조건에 따른 양자측정

Hayun Park*, Hunpyo Lee

School of Liberal Arts, Kangwon National University, Samcheok 25913, Korea

Correspondence to:*hayun92@kangwon.ac.kr
hplee@kangwon.ac.kr

Received: October 30, 2023; Accepted: November 5, 2023

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

D-Wave quantum annealers offer the lowest possible energy for combinatorial optimization problems via the quantum adiabatic process, while the accuracy of their results is dependent on various parameters such as the embedding chain strength and the annealing time. In this study, we controlled the annealing time, annealing schedule, and reversible adiabatic process to observe the accuracy of the quantum annealing measurement in each situation on a D-Wave quantum annealer with 5000+ qubits. First, we verified that accuracy generally increases with increasing annealing time. However, it is difficult to markedly increase the quantum annealing time due to strong quantum error. We also found that the accuracy of the quantum annealing measurement increases if the annealing pauses for some time and then begins again. Finally, the reversible adiabatic process enhances accuracy.

Keywords: Quantum Mechanics, Condensed Matter Physics, Quantum annealing

D-Wave 양자 어닐러는 양자 Adiabatic 과정을 통해 조합 최적화 문제의 가능성이 있는 최저 에너지를 제공한다, 반면에 그것의 정확도는 Embedding 의 체인 강도, 어닐링 시간에 의존한다. 본 논문에서, 5000개 이상의 큐비트를 갖는 D-Wave 양자 어닐러를 이용하여 어닐링 시간, 어닐링 스케쥴 그리고 Reversible 어닐링 변수를 조절하여 양자 측정의 정확도를 확인하는 연구를 진행하였다. 처음에, 양자 어닐링 시간을 늘리면 정확도가 높아지는 것을 확인하였다. 단 양자오류가 발생하기 때문에 양자 어닐링시간을 크게 늘리는 것은 어렵다. 양자 어닐링의 Adiabatic 과정을 잠시 멈추었다 다시 진행하는 것으로 양자 어닐링 측정 정확도를 높이는 것을 확인하였다. 마지막으로, Reversible 어닐링을 사용하면 양자측정의 정확도가 높아지는 것을 확인하였다.

Keywords: 양자물리, 응집물질물리, 양자 어닐링

NP (Non-deterministic Polynomial time) 혹은 NP-hard의 어려움을 갖는 조합최적화문제 (Combinatorial optimization problem)는 경제학, 계산 과학 및 인공지능 분야 등에서 다양하게 활용되는 중요한 연구 주제다. 이런 조합 최적화 문제는 시스템 크기의 증가에 따라 지수 승 증가로 경우의 수가 발생하기 때문에 모든 상태의 경우의 수를 방문하는 방식의 고전 컴퓨터로는 현실적인 시간 안에 답을 찾기 어렵다. 따라서 정확한 답을 얻는 대신 현실적인 시간 안에 문제를 해결하는 휴리스틱 알고리즘 (Heuristic algorithm)들 중 대표적으로 담금질 기법 (Simulated annealing) 방법이 있다[1]. 이 담금질 기법 방법은 최적화 문제의 목적 함수 (Objective function)를 에너지 Hamiltonian 대응 시켜 열적 (Thermal) 담금질과 몬테칼로 추출에 의해 가능성이 있는 최저 에너지를 추측하는 방법으로, 다양한 문제의 계산 과학 및 공학에 응용되고 있다. 반면에, 시스템의 크기가 커질 경우 여전히 오랜 계산 시간이 요구되어 더 빠르고 믿을 만한 계산 (혹은 측정) 도구의 개발은 강하게 요구되는 흥미로운 연구 주제이다.

최근에 양자 기술의 발전은 고전컴퓨터의 비트와는 다른 큐비트 기반의 양자컴퓨터가 출시되고 있는데, 아마존 등 클라우드 컴퓨팅 서비스를 사용하여 쉽게 접근 및 사용 할 수 있다. 이런 양자컴퓨터는 크게 회로 기반 양자컴퓨터와 Adiabatic 과정을 통한 양자어닐러라 불리는 양자컴퓨터 두 종류가 있다. 회로 기반 양자컴퓨터는 빠른 양자 기술 발전에도 제한된 큐비트 수 및 양자 오류 정정 등의 문제로 상업적으로 사용되기 까지 상당한 시간이 걸릴 것으로 판단된다[2]. 반면에 양자어닐러는 회로 기반 양자컴퓨터보다 더 쉽게 큐비트 수와 큐비트 사이의 연결 수의 증가가 용이하여 D-Wave 사는 현재 5000++ 큐비트 수를 가진 양자어닐러 (D-Wave Advantage)가 개발되어[3] 고전컴퓨터와 계산 속도 등에서 경쟁을 하고 있고 회로 기반 양자컴퓨터 보다 우선적으로 고전컴퓨터를 대신할 양자머신으로 기대되고 있다[4]. 반면에 양자어닐러 또한 오류 및 양자 측정 결과의 정확도를 높이기 위한 변수 등의 결정이 필요하기 때문에 물리학 관점에서 연구의 필요성이 요구된다.

D-Wave 양자 어닐러의 장점은 회로 기반 양자컴퓨터보다 Coherence time이 훨씬 짧아서, 양자역학적인 확률 오류는 매우 적다. 반면에 다른 방식의 양자 측정 오류가 발생하고, 다양한 최적화된 방법 및 최적화 변수 설정으로 양자 측정의 정확도를 높일 수 있다[5]. 먼저 양자어닐러에 발생하는 오류를 살펴본다면, 큐비트 수가 여전히 적고 이런 큐비트는 특정적인 구조 위에 설계 되어 있기 때문에, 특정적인 구조와 조합최적화 문제의 구조가 다르기 때문에 두 구조의 위상을 맞추기 위하여 Embedding이 발생한다. 이런 Embedding 안에는 조합최적화 문제의 하나의 요소를 표현하기 위하여 여러개의 부수적인 강자성 (Feromagnetic) 큐비트로 구성된 체인이 필요하다. 따라서 강자성 큐비트 사이의 상호작용과 조합최적화 문제의 큐비트 사이의 상호작용이 에너지 관점에서 경쟁하고 적절하지 못한 강자성 큐비트 사이의 상호작용 변수 설정은 체인 깨짐 등의 양자 측정 오류를 만드는데, 최적화된 체인 내부의 강자성 큐비드 사이의 상호작용 변수 결정은 양자 측정 정확도를 개선 할 수 있고 관련된 연구는 최근 본 논문의 저자들에 의해 수행되어졌다[6].

양자 측정의 정확도를 개선 할 수 있는 또 다른 방법은 양자 어닐링 시간 조절, 양자 어닐링 스케쥴 조절 및 Reversible 양자 어닐링 방법을 사용하여 양자 측정의 정확도의 결과를 높일 수 있는 것이 기대된다. 본 논문은 Pegasus 그래프[7] 위에 5000 이상의 큐비트가 설계된 D-Wave Advantage 양자 어닐러에서 어닐링 시간, 어닐링 스케쥴의 조절 및 Reversible 양자 어닐링을 통하여 양자 측정의 정확도 개선 연구를 진행하였다. 조합 최적화 문제로 담금질 기법에 의해 정확한 결과가 잘 알려지고 최저에너지와 첫번째 들뜸 에너지 사이의 간격이 쩔쩔맴의 강도에 의해 체계적으로 조절되는 쩔쩔맴이 있는 이징모델을 선택하였다.

본 논문은 먼저 ‘측정 방법론 및 조합최적화 문제’ 단락에 Adiabatic 양자어닐러의 Time-dependent Hamiltonian, 양자어닐링 시간 및 Reversible 양자 어닐링 과정에 대해 소개한다. 이어서 양자어닐러로 풀고자 하는 조합최적화 문제로 기저에너지와 첫번째 들뜸에너지 사이의 차이가 체계적으로 조절되는 쩔쩔맴이 있는 이징 모델 (Frustrated Ising model)에 대하여 소개한다. ‘결과’ 단락에 본 논문은 어닐링 시간 및 어닐링 스케쥴에 따라서 양자 측정 결과의 정확도의 변화를 보여주고, Reversible 양자 어닐링 양자 측정 결과의 정확도에 대한 논의를 한다. 마지막으로 '양자 어닐러 전망' 달락에 양자 어닐러의 전반적인 발전과정, 당면문제 및 전망에 대한 소개로 논문을 마무리한다.

D-Wave 양자 컴퓨터는 5000개 이상의 큐비드를 보유한 D-Wave Advantage는 Pegasus 그래프위에 초전도 큐비트로 구성되어 Adiabatic 양자 어닐링을 수행하는데 다음과 같은 Transverse field Ising model을 시뮬레이션을 진행한다[8,9].

H=A(s)2(iσ ix)+B(s)2(ih iσiz+ i,jσ izσjz)

여기서 A(s)B(s)는 시간 s 에 따른 Annealing function으로 Adiabatic 과정을 결정한다. A(s)는 스핀을 무작위 상태로 만드는 Transverse field scale을 조절하고, B(s)는 조합최적화 문제의 Hamiltonian의 Strength를 조절한다. 양자 어닐링은 초기에 A(s)는 껴져있고 B(s)가 0인 시점에서 출발하는데 이 때 스핀 배열이 모두 무작위의 중첩된 상태이다. 여기서 A(s)를 천천히 줄여 나가면서 B(s)를 증가시키면 전체 시스템의 바닥 상태는 천천히 이동된다. 단열 정리 (Adiabatic theorem)에 의해 양자 어닐링 과정이 끝날 때 조합최적화 문제의 Hamiltonian의 가능성 있는 최저 에너지 상태에 도달한다. 즉 조합 최적화 문제의 가능성 있는 해답을 얻는다[10]. 따라서 A(s)B(s)의 양자어닐링 시간 s를 적절히 조절하는 것이 중요하며 D-Wave 양자 컴퓨터에서는 A(s)/B(s)를 어느 정도의 시간 동안 일정하게 유지하는 양자 어닐링 스케쥴 조절 가능하다.

양자 어닐링의 경우 바닥 상태를 가능한 전역적 (Global)으로 찾는다. 하지만 양자 하드웨어의 한계 및 Embedding 등으로 인해 국소 최저점들에 (Local minima) 갇힐 가능성이 존재한다. 휴리스틱 알고리즘의 경우 처음 찾은 해답을 시작점을 초기 상태로 다시 사용하여 더 좋은 해답을 찾는다. 이 과정을 국소적 최적화 (Local optimization) 라 한다. 그러나 복사 불가능 정리에 의해 양자 어닐러는 국소적 최적화 방법을 사용 할 수 없다[11]. 따라서 D-Wave에서는 Reversible 양자 어닐링 방법을 제공한다. 이는 다음과 같다. 먼저 무질서한 초기 상태에서 양자 어닐링을 시도하여 가능성 있는 최저에너지를 측정한 후, 역 방향의 Transverse field를 걸어 스핀 상태를 약간 무질서하게 만든 후, 다시 Transverse field를 줄여 새로운 가능서 있는 최저 에너지 상태에 도달한다. 이 과정을 Reversible 어닐링 방법이라 한다[12].

본 논문에서는 풀고자 하는 조합 최적화 문제로 2차원 사각 격자의 쩔쩔맴 있는 이징 모델을 선택했다. Hamiltonian은 다음과 같이 주어진다

H=J1 <i,j>σizσjz + J2 <<i,j>>σizσjz

여기서 J1는 바로 옆 (Nearest neighbor) 스핀의 상호작용, J2는 대각선 방향 스핀의 상호작용을 나타낸다. J2/J1의 크기는 쩔쩔맴의 강도를 나타나는데, 쩔쩔맴의 강도는 최저 에너지와 첫 번째 들뜸 에너지 사이의 간격을 조절하는데 쩔쩔맴이 없는 J2/J1=0.0일 때 에너지 간격이 가장 크고 J2/J1=0.5가 될 때 에너지 간격이 사라지게 된다. 따라서 본 쩔쩔맴이 있는 이징 모델은 에너지 간격 (혹은 쩔쩔맴의 크기) 와 Adiabatic 과정에서 발생하는 Annealing 시간 및 정확한 정답을 찾을 확률 사이의 관계를 체계적으로 보여주는 좋은 모델이다[13, 14]. 본 연구의 양자 어닐링의 모든 결과는 큐비트가 Pegasus 그래프에 설계된 D-Wave Advantage 6.2를 사용하였다. 간단히 여기서 사용된 Embedding 에 대하여 논의하면, Pegasus 그래프 위에 설계된 큐비트는 평균적으로 15개의 다른 큐비트와 연결되어 있는데, 최적화된 Embedding 구조는 D-Wave Ocean 라이브러리인 minorminer 모듈을 사용하였다[15].

처음에 고려한 최적화 문제의 쩔쩔맴이 있는 L=8 이징 모델의 변수는 J2/J1=0.46로 고정하고, 체인 강도 강자성 상호작용 변수를 Jc/J1=1.5로 고정하였다. 양자 어닐러는 D-Wave Advantage 6.3을 사용하였으며 양자 어닐링 측정은 어닐링 시간과 어닐링 스케쥴을 조절하는 방식을 사용하여 5000번의 측정을 수행하였다.

먼저 Fig. 1은 Annealing fraction FF=B(s)B(smax)에 의하여 계산되는 양자 스케쥴을 의미한다. 여기서 B(s)s=0로부터 smax=800 μs까지 변하고 τ=s/smax는 변화하는 시간의 비율을 의미한다. τ 가 0 부터 1까지 선형적으로 증가하는 양자 스케쥴은 B(s)를 일정하게 증가하면 양자 어닐링 측정을 의미하고 (Fig. 1의 푸른색 선), τ13 부터 23까지 변하지 않는 측정은 B(s)' 변하지 않는 지점에서 멈추어진 양자 스케쥴의 변화를 의미한다. B(s)가 변하지 않더라도 큐비트의 양자요동에 의해 여전히 이징 스핀의 야자 요동이 기대되고, 목적함수 (Objective function)의 관점에서 장벽이 높지 않다면 양자 터널링 현상에 의해 최저 에너지가 발견된 Minimum 계곡으로 갈 확률이 높아지게 될 것을 기대한다.

Figure 1. (Color online) Annealing fraction F as function of τ. Here, τ is s/smax, where smax=800 μs.

Figure 2(a) 와 (b)는 양자 어닐링 시간 s의 함수로 측정된 (a) 평균 최저 에너지 <E>와 (b) 가능한 최저 에너지가 발견된 확률 p이다. 예상되는 기대처럼 양자 어닐링 스케쥴을 일정하게 변화하거나 중간에 멈춘 후 다시 변화시킨 경우 모두 양자 어닐링 시간 s가 증가될수록 평균 최저 에너지도 더 낮아지고 양자 어닐링 측정의 정답에 갈 확률도 높아진다는 것을 확인했다. 또한, 양자 어닐링 스케쥴을 일정하게 변화하는 경우보다 양자 어닐링 시간을 멈추어 자발적인 양자 요동 과정을 거친 후에 양자 어닐링 측정을 수행하면 더 정답에 가는 좋은 결과를 얻을 수 있는 것을 확인하였다[16, 17]. 고전 담금질 시뮬레이션과 비교하여 설명하면 고전 담금질 기법은 온도를 높여 무질서한 스핀 상태에서 온도를 낮추어 정답을 찾아가는데 양자 어닐링 시간은 낮추어 가는 온도 간격과 관련된 물리량이다. 또한, 양자역학적으로 양자 어닐링 시간을 무한히 증가하면 정답을 얻을 확률이 높아지나, 반대로 양자 어닐링 시간 동안 양자 오류가 들어올 가능성이 커지기 때문에 양자컴퓨터 하드웨어 관점에서 양자 어닐링 시간을 무한히 늘리는 것은 불가능하고 D-Wave Advantage 6.3에서는 1000번 측정시 800 μs가 최대의 양자 어닐링 시간으로 설정되어 있다.

Figure 2. (Color online) (a) Average energy <E> and (b) probability p as function of annealing time with linearly increasing schedule (blue line) and midpoint pause (red line). Here, p is the probability that find the possible ground state energy.

Figure 3은 reversible 어닐링 스케줄 두개를 타나낸 것이다. τFig. 1에서와 같이 변화하는 시간의 비율이다.

Figure 3. (Color online) Two reversible annealing schedules with different reversal distance.

Y축은 기존 어닐링에서 초기 Tranverse field에 대한 역방향 Transverse field에 대한 비율이다. 역방향으로 Transverse field를 증가시켜 나가면서 시스템은 적당히 무질서한 상태에 이르게 된다. Transverse field를 증가시킬수록 시스템의 상태가 더 많이 중첩 상태에 이르게 된다. 따라서 Reversible 어닐링은 고전적 휴리스틱 알고리즘 처럼 해답을 국소적 개선하기 위해 국소 최소점에 빠지기 전 상태 만큼 Transverse field를 증가시켜 중첩된 상태를 만든 다음 다시 field를 감소시켜 국소 최저점을 빠져 나오게 만든다. Reversal distance는 얼만큼 역방향 Transverse field를 걸어 시스템의 상태를 중첩시킬지를, 또는 되돌아갈지에 대한 정규화 된 거리로 정의되는데 만약 Distance가 너무 작을 경우 국소 최저점 근처에서만 중첩 상태에 이르게 되어 문제에 대한 해답을 개선시킬 수 없다. 반대로 너무 큰 Distance는 다시 Transverse field를 줄여 나가는 과정에서 다른 국소 최저점에 빠지게 될 수 있게 만든다. 따라서 최적의 Distance는 시스템의 국소 최저점 얼마나 많은지에 따라 달라지게 된다[12].

Figure 4는 각 J2/J1 지점마다 어닐링한 결과다. 초록색 그래프는 어닐링만 한 결과이고 파란색, 빨간색 그래프는 각각 Reversal distance가 0.5, 0.25이다. Reversible annealing에 의해 에너지 상태가 개선된 것을 알 수 있다. 또한 Distance가 적은 것이 더 낮은 에너지 상태에 있는 것을 확인했다. 더 높은 Distance에서 Reversible 어닐링 과정에서 샘플들이 다른 국소 최저점에 가기 때문이기 때문이다.

Figure 4. (Color online) Average energy <E> as function of J2/J1 with (green line) annealing, (blue line) reversible annealing with reversal distance of 0.5, and (red line) reversible annealing distance reversal distance of 0.25

Figure 5J2/J1=0.46 지점에서 각 Reversal distance마다 에너지 값을 나타낸 것이다. 어닐링만 한 결과는 검은색 수직선으로 나타냈다. Reversal distance가 0.75보다 커지게 되면 다른 국소 최적점에 빠져서 어닐링만 한 결과보다 더 나쁘게 나온 것을 확인했다. Distance가 짧아짐에 따라 에너지가 감소하였고 0.25가 더 짧아지면 에너지가 더 감소하지 않는 것을 확인했다. 이는 이미 초기 어닐링 상태가 최저점에 도달해 있기 때문이다. Reversal distance가 0.25 이상 부터 결과가 변하지 않았다.

Figure 5. (Color online) Average energy <E> as function of reversible distance. Annealing result represented by dashed black horizon line

본 연구는 쩔쩔맴이 있는 사각격자 위에 이징 모델을 조합 최적화 문제로 설정하여 양자 어닐링 시간, 스케쥴 및 Reversible 어닐링을 수행 하였을 때 양자 어닐링 측정 결과가 어떻게 변하는지 확인하였다. 여기 쩔쩔맴이 있는 이징 모델은 쩔쩔맴의 크기가 최저 에너지와 첫 번째 들뜸 사이의 간격을 조절하고 이 간격과 양자 어닐링 측정에서 정답을 찾을 가능과 관련이 있기 때문에 에너지 간격에 (혹은 쩔쩔맴의 강도) 따른 체계적인 결과를 보여 줄 수 있는 장점이 있다. 정리하면 쩔쩔맴이 있는 이징 모델이 에너지 간격, 어닐링 시간 등 다른 변수 혹은 방법에 따른 체계적인 변화를 보여주는 조합최적화 문제이므로 본 연구에서 선택을 하였으며, 다른 조합최적화 문제에서도 본 논문에서 보여지는 결과는 동일하다.

먼저, 양자 어닐링 시간이 증가하면 양자 측정의 정확도가 높아지는 것을 확인 할 수 있다. 여기 D-Wave 양자 컴퓨터는 최대 양자 어닐링 시간이 설정되어 그 이상의 시간 보다 더 커지면 양자 오류가 들어오는 것을 방지하였다. 또한 양자 어닐링 스케쥴을 조절하면 또한 최저 에너지를 얻을 가능성이 높아지는 것을 확인하였으며, Reversible 양자 어닐링 또한 국소 최소값 보다 대역 최소값에 갈 수 있는 확률을 높이는 것을 확인하였다.

양자 어닐러는 2010년 100개의 큐비트를 가지는 양자 어닐러를 시작으로 매년 대략 2배씩 큐비트 수가 증가되어 2022년 5000+ 큐비드 양자 어닐러가 출시되어 아마존 AWS 및 D-Wave Leap 클라우드 서비스를 통하여 사용이 가능하고, 2023년 7000+ 큐비트의 새로운 양자 어닐러 출시를 앞두고 있다. 또한 양자 어닐링 측정 시간이 최대 800 μs 안에 수행되기 때문에 이론적으로 25000개의 경우의 수를 가진 조합최적화 문제를 수초 안에 해결이 가능한 양자 머신이다. 반면에 양자오류 정정을 위한 큐비트가 더 필요한 회로 기반 양자 컴퓨터와 마찬가지로 Embedding에 의한 문제를 해결하기 위한 큐비트가 더 필요하여 여전히 큐비트가 작은 크기의 조합최적화 문제에서는 고전 담금질 방법보다 훨씬 더 빠르게 최저 에너지 값을 얻을 수 있으나, 크기가 큰 조합최적화 문제는 양자 측정이 불가능 하기 때문에 여전히 큐비트 수의 증가가 요구되는 상황이다. 또한, 양자역학적 오류는 크지 않지만 Embedding 및 본 연구에 진행된 최적화된 양자 어닐링 시간, 스케쥴 및 Reversible 어닐링에 대한 더 많은 연구가 필요하고 이런 최적화된 변수를 설정해주는 계산 코드의 개발 또한 요구되는 상황이다. 그럼에도 불구하고 D-Wave 사 기반 양자 어닐러는 양자 Coherence 시간이 짧기 때문에 큐비트의 수의 증가가 용이하여, 멀지 않은 기간에 수만 큐비트를 가진 양자 어닐러가 출시되어 공학적 (혹은 상업적) 으로 이용 가능한 양자 계산 도구가 될것으로 기대한다.

이 논문은 대한민국 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단 양자정보과학 연구개발생태계 조성사업 (과제번호 2020M3H3A1110365)과 정보통신기획평가원 (과제번호 RS-2023-0022952422282052750001, 양자 성능 검증 및 양자 SW 응용)의 지원을 받아 수행된 연구입니다.

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