실제 전구로 구성된 전기회로 실험에서 실험결과가 예측되는 결과와 불일치하는 문제들이 나타난다. 또한 저항의 온도 의존 관련 경험식들을 계산하여 구한 전구의 온도들은 실제 측정한 온도들과 불일치하는 현상들이 나타난다[1-6]. 이러한 불일치 문제들은 전구가 Ohm의 법칙에 따르지 않은 비선형 전기소자임에도 불구하고, 전구 양단에 걸리는 전압, 전구를 통하여 흐르는 전류, 그리고 전구의 저항 등을 Ohm의 법칙으로 계산하며, Ohm의 법칙으로 계산된 이들을 사용하여 전구의 온도를 계산함에 의하여 발생하는 문제들이라고 할 수 있다.

전구가 Ohm의 법칙에 따르지 않은 비선형 전기소자라는 것은 이미 잘 알려져 있는 사실이다[7]. 그리고 Ohm의 법칙을 사용하여 전구 관련 물리량들을 계산함으로 인하여 많은 불일치 문제가 발생한다는 사실도 이미 잘 알려져 있는 사실이다. 그럼에도 불구하고 전구와 관련된 상황에서 Ohm의 법칙을 사용할 수 밖에 없는 이유는 이들을 해결할 수 있는 수학적인 방법이나 수식이 아직 없다는 것이다.

다이오드, 트랜지스터, 사이리스터 등과 같은 비선형 전자소자들에 대해서 이미 실험적으로, 이론적으로 많은 연구가 되어 이들 전자소자의 저항, 전류, 전압 등에 대한 관계 수식들이 알려져 있고[8], 이들을 사용하여 저항, 전류, 전압 등을 계산할 수 있다[8,9]. 이러한 비선형 전자소자들에 비하여 긴 역사를 가진 전구임에도 불구하고, 지금까지 전구 관련 물리량들을 계산할 수 있는 방법이 없다는 것은 아이러니한 일이라 할 것이다.

텅스텐 필라멘트 전구가 전기에너지를 빛에너지로 변환시키는 데에 매우 비효율적이라는 이유로 최근 점차적으로 그 활용도가 감소하고 있다. 그러나 물리교육에서 전구는 전기회로에 대한 개념 학습에서 전류나 전압의 분포를 시각적으로 탐색할 수 있는 저항체로서 활용해 왔으며[10], 쉽게 조작할 수 있는 기초적인 비선형 전기소자로서 비선형 전자소자들에 대한 학습을 위한 교두보 역할을 할 수 있는 훌륭한 학습 소재가 될 수 있다.

전구의 전류와 전압의 관계를 나타내는 전류-전압 특성 곡선은 수학적으로 명료하게 서술할 수 없는 비선형 함수로 나타낸다. Hyun and Park은 이 연구의 선행연구에서 전구의 전류-전압 특성 곡선으로부터 도해적으로 전구의 동적 저항을 구할 수 있는 방법인 도해법을 제안하였다[6]. 도해법으로 구해진 전구의 동적 저항들은 저항-온도 의존 관련 실험과 이론들이 제시하는 범위의 타당한 저항값을 갖는다[2,4]. 그러나 전구의 타당한 크기의 저항이 구하여지더라도, 이를 사용하여 Ohm의 법칙을 근거로 전구에 흐르는 전류를 예측할 수 없다. 전구에 인가되는 전압에 합당한 전구에 흐르는 전류를 예측하기 위해서는 Ohm의 법칙이 아닌 비선형의 전류-전압 관계를 서술할 수 있는 함수가 필요하다.

Legendre transformation은 복잡한 비선형 함수를 보다 조작이 쉬운 독립변수로 변환시킬 수 있는 기능을 가지고 있어 물리학에서 많이 사용하는 유능한 수학적 도구이다[11]. 이러한 Legendre transformation은 비선형 함수를 도해적으로 다룰 수 있는 장점이 있어, 전구에 인가되는 전압에 합당한 전구에 흐르는 전류를 예측하기 위해서 Hyun and Park[6]의 도해법과 연계시키는데 매우 용이한 면이 있다. 그리고 전류-전압 특성 곡선을 단순한 형태로 전환시키기 위하여, 비선형 함수의 문제에서 비선형 함수의 해에 가장 적절한 보조함수를 제시하여 문제를 해결하는 최적보조함수 방법(optima auxiliary function method)을 사용할 수 있다[12]. 이 방법은 수학적 관점에서 최적보조함수의 매개변수를 결정하는데 어려움이 있다. 그러나 전구의 전류-전압 특성 곡선인 경우에는 단순한 형태를 하고 있어, 도해적으로 어렵지 않게 최적보조함수를 결정할 수 있다.

이 연구의 목적은 전구에 흐르는 전류를 계산할 수 있는 두 가지 방법을 제안하는 것이다. 이러한 목적을 위하여, 물리교육에서 나타나는 전구의 전류에 대한 문제를 분석하는 한편, 한 사례를 통하여 전구에 흐르는 전류를 Ohm의 법칙으로는 계산할 수 없으며, 이로 인하여 불일치 문제가 발생함을 보일 것이다.

그리고 전구에 흐르는 전류를 계산할 수 있는 한 방법으로써, Hyun and Park의 전구의 동적 저항을 구하기 위한 도해법을 Legendre transformation을 통하여 확장하여[6], 전구의 양단전압에 따른 전구에 흐르는 전류를 계산할 수 있는 방법을 제안하는 것이다. 그리고 다른 한 방법으로는 최적보조함수 방법을 사용하여[12], 비선형 함수로 나타나는 전구의 전류함수를 도해적으로 단순한 선형 함수 형태의 최적보조전류함수를 구하여 효율적으로 전구에 흐르는 전류을 계산할 수 있는 방법을 제안하는 것이다. 그리고 이 연구에서 제안하는 방법들의 타당성을 검증하기 위하여 제안하는 방법들으로 계산된 전구의 전류와 실제 실험을 통하여 측정한 전구에 흐르는 전류를 비교하고 논의할 것이다.

단순한 전기회로에서 전구들의 밝기를 비교하는 문제는 초등물리에서부터 일반물리에 이르기까지 반복적으로 다루어지는 것은 세계적으로 일반적인 일이다. 이것은 전구가 지니는 시각성을 통하여 추상적인 전기에 대한 개념들을 보다 체계적으로 접근하기가 용이하기 때문이다. 즉 전구는 전기회로에 흐르는 전류를 제한하고 전기에너지를 열과 빛으로 전환시키는 부하저항으로써, 그 밝기의 정도를 관찰함에 의하여 전구의 양단전압, 전구를 통해서 흐르는 전류, 그리고 전구에서 소모되는 전력의 양들을 시각적으로 어림할 수 있는 장점을 가지고 있다. 이러한 전구는 현상적이고 정성적으로 다루어지는 초등물리에서 전류, 전압, 저항 등의 전기요소에 대한 개념들과 전지의 연결, 저항의 연결 등의 전기회로에 대한 개념들을 초등학생들이 개론적으로 습득하는 데는 교육적이고 효과적인 학습소재이다.

중등물리에서는 Kirchhoff의 법칙을 근간으로 전기회로에서의 전기의 개념들의 보존성과 Ohm의 법칙을 근간으로 전기에 대한 개념들 사이의 관계성이 정량적으로 다루어진다. Ohm의 법칙은 전도체의 양단전압 V과 전도체를 통하여 흐르는 전류 I가 정비례하는 관계인 선형임을 나타내는 것으로, 전압 V[V], 전류 I[A], 저항 R[Ω]사이의 관계를 다음 Eq. (1)과 같이 전압 V를 전류 I의 1차 선형 함수로 나타낸다.

여기에서 저항 R은 전류 I에 대한 전압 V의 비율로 구할 수 있는 비례상수이다. 그리고 전류 I에 의해 단위시간당 할 수 있는 일의 양으로, 전기에너지가 열이나 빛 등의 다른 형태의 에너지로 변환될 때 전도체에서 매초당 소모되는 양을 소모전력(electric power consumption) P이라고 한다. 전도체 양단전압 V[V]인 전도체를 통하여 전류 I[A]가 흐르는 경우, 소모전력 P[W]는 다음 Eq. (2)와 같이 나타낸다.

전도체의 양단전압 V와 전도체를 통해서 흐르는 전류 I를 Eq. (1)로 나타내는 Ohm의 법칙에 따르는 전도체를 선형 전도체(linear conductor)라고 하며, 그 저항 R을 선형 저항(linear resistance) R=Rlinear 또는 오믹저항(ohmic resistance) R=Rohmic이라고 한다. 선형 저항 R은 항상 일정한 상수값으로 나타내므로 고정저항 또는 정적 저항이라고도 한다.

반면 Ohm의 법칙에 따르지 않는 전도체를 비선형 전도체(nonlinear conductor)라고 하며, 그 저항 R을 비선형 저항(nonlinear resistance) R=Rnonlinear 또는 논오믹저항(nonohmic resistance) R=Rnonohmic이라고 한다. 비선형 전도체에서는 양단전압 V에 따라 비선형 전도체를 통해서 흐르는 전류 I가 비선형적으로 변하므로 비선형 저항 Rnonlinear은 일정한 상수값으로 나타낼 수 없으므로 동적 저항이라고도 한다.

Ohm의 법칙에 따르는 선형 전도체인 경우, 전압 V, 전류 I, 저항 R의 세 요소 중에서 두 요소에 대한 값만 알고 있다면 나머지 한 요소의 값을 Eq. (1)의 Ohm의 법칙을 사용하여 구할 수 있다. 그러나 Ohm의 법칙에 따르지 않는 비선형 전도체인 경우, 옴의 법칙을 적용할 수 없으므로 측정된 전압 V과 전류 I을 근거로 작도된 전류-전압 특성 곡선을 통하여 전압 V, 전류 I, 저항 R 등에 대한 정보를 얻어야 한다. 일반적으로 다이오드, 트랜지스터, 사이리스터 등과 같은 비선형 소자인 경우 전류-전압 특성 곡선이나 정격전류(rated current: I_r), 정격전압 (rated voltage V_r), 정격전력(rated power: P_r) 등의 비선형 소자의 특성을 나타내는 datasheet가 제조사로부터 제시된다[8]. 그러나 일반적으로 물리교육에서 사용하는 시판 전구인 경우 datasheet가 제시되지 않으며, 정격전류(rated current: I_r), 정격전압(rated voltage V_r), 정격전력(rated power: P_r)이 표시된다[3,13,14].

텅스텐 필라멘트 전구는 비선형 전도체이다. 즉 전구의 양단전압 V(이하 전구전압 V), 전구를 통해서 흐르는 전류 I(이하 전구전류 I), 그리고 전구의 저항 R(이하 전구저항 R)은 옴의 법칙인 Eq. (1)과 같은 선형 함수로 나타낼 수 없으며, Eq. (1)을 사용하여 구할 수 없다. 그럼에도 불구하고 물리교육이나 물리학 분야에서 Ohm의 법칙인 Eq. (1)을 사용하여 전구전압 V, 전구전류 I, 전구저항 R 등을 구하고 있음을 쉽게 찾아볼 수 있다[3,15]. 한편으로는 전구에 사용되는 텅스텐 금속 전도체인 경우에는 전류가 증가하여 발열량이 증가하고 온도가 올라가면서 저항이 증가한다. 이 때문에 전압과 전류가 비례하지는 않지만, 변하는 각 온도에서의 저항은 그 온도에서의 전압을 그 온도에서의 전류로 나눈 것으로 정의되기 때문에 Eq. (1)의 Ohm의 법칙을 사용할 수 있다라고 서술된 문헌도 찾아볼 수 있다[16].

전구전압 V에 따른 전구전류 I를 구하는 방법들을 살펴보면, 기본적으로 전구가 Ohm의 법칙에 따르는 선형 전도체로 간주하는 것으로, 그 하나의 방법은 전구의 정격전압-전류 V_r[V] - I_r[A]이나 정격전압-전력 V_r[V] - P_r[W]로부터 전구저항 R=RrOhm을 구한다. 그리고 전구저항 R=RrOhm을 전구의 저항으로 간주하여 Ohm의 법칙인 다음 Eq. (3)을 사용하여 전구전류 I를 계산하여 구하는 것이다[17-22].

여기에서 전구저항 R=RrOhm은 다음과 같이 구한다. 정격전압-전류 V_r[V] - I_r[A]가 제시되었을 경우, 전구저항 R=RrOhm을 전구의 정적 저항, 즉 고정저항으로 간주하고 정격전압-전류 V_r[V] - I_r[A]으로부터 Ohm의 법칙인 Eq. (1)을 사용하여 전구저항 R=RrOhm을 구한다. 여기에서 전구의 정격전압-전류 Vr[V]−Ir[A]에서 구한 전구저항 RrOhm는 Eq. (4)와 같다.

그리고 Eq. (1)과 (2)을 사용하여 정격전압-전력 Vr[V]−Pr[W]으로부터 전구저항 RrOhm을 다음 Eq. (5)로 구할 수 있다.

또 하나의 방법은 전구저항 R을 인가전압이 없이 실온(room temperature) T0=293 K에서 측정한 실온저항(room temperature resistance) R₀을 전구의 고정저항 R=R0으로 사용하여 전구전압 V에 따른 전구전류 IR0를 Eq. (6)을 사용하여 계산하는 것이다.

한 과학교사가 실온저항 R₀이 R0=7.9 Ω이고 정격전압-전류이 6 V−0.1 A인 전구전압 V에 따라 전구전류 I_m를 측정한 결과를 인터넷 상에서 찾을 수 있다[23]. 이 과학교사는 Eq. (2)를 사용하여 구한 전구저항 RrOhm=60 Ω을 전구저항 R로 놓고 옴의 법칙인 Eq. (1)으로 계산하여 얻은 전구전류 I_{r O hm}, 그리고 전구의 실온저항 R0=7.9 Ω을 전구저항 R로 놓고 옴의 법칙인 Eq. (1)으로 계산하여 얻은 전구전류 IR0을 측정한 결과와 비교하였다[23]. 실험 결과를 잘 비교해 볼 수 있도록 연구자가 정리한 결과는 Fig. 1과 Table 1과 같다. Figure 1에서 보여주는 그래프들의 형태에서 측정된 전구전류 I_m이 비선형이며, 옴의 법칙으로 계산한 전구전류 I_{r O hm}와 IR0는 인가전압 V에 정비례하여 증가하는 선형임을 확연히 구별할 수 있다. Table 1에서는 전구의 정격전압-전류 6 V−0.1 A으로부터 구한 전구저항 RrOhm=60 Ω을 사용하여 전구전압 V=1.4 V일 때 계산된 전구전류 I_{r O hm}는 IrOhm=0.023 A으로써 측정된 전구전류 Im=0.043 A에 비하여 0.543 배인 양이다. 그리고 이에 상당하는 전구의 소모전력 P_{r O hm}은 PrOhm=0.033 W으로써 측정된 전구전류 Im=0.043 A에 상당하는 전구의 소모전력 Pm=0.060 W의 0.543 배인 양이다. 그리고 전구전류 I_{r O hm}은 전구전압 V에 비례하여 증가하여 전구전압 V=5.6 V에서 전구전류 IrOhm=0.093 A로 증가한다. 이것은 전구전압 V=5.6 V에서 측정한 전구전류 Im=0.095 A의 0.982 배가 되는 양이며, 이에 상응하는 전구의 소모전력 P_{r O hm}은 PrOhm=0.523 W로서 측정한 전구전류 Im=0.095 A에 상당하는 전구의 소모전력 Pm=0.532 W의 0.982 배가 되는 양이다.

Table 1 The numerical comparison of the measured I_m, the calculated current I_{r Ohm} by Ohm’s law with the R=RrOhm, and the calculated current IR0 by Ohm’s law with the R=R0 in a tungsten filament electric bulb of 6 V−0.1 Awith R0=7.9 Ω.

V[V]	0	1.4	2.8	4.3	5.6	7.1	8.3	9.8	11.0	12.5
Im[A]	0	0.043	0.065	0.081	0.095	0.106	0.117	0.128	0.136	0.146
Pm[W]	0	0.060	0.182	0.348	0.532	0.753	0.971	1.245	1.496	1.825
IrOhm[A]	0	0.023	0.047	0.072	0.093	0.118	0.138	0.163	0.183	0.208
IrOhm/Im	-	0.543	0.718	0.885	0.982	1.116	1.182	1.276	1.348	1.427
PrOhm[W]	0	0.033	0.131	0.308	0.523	0.840	1.148	1.600	2.017	2.604
PrOhm/Pm	-	0.543	0.718	0.885	0.982	1.116	1.182	1.276	1.348	1.427
IR0[A]	0	0.177	0.354	0.544	0.709	0.899	1.051	1.241	1.392	1.582
IR0/Im	-	4.121	5.453	6.720	7.462	8.479	8.980	9.692	10.238	10.838
PR0[W]	0	0.248	0.992	2.341	3.970	6.381	8.720	12.157	15.316	19.778
PrOhm/Pm	-	4.121	5.453	6.720	7.462	8.479	8.980	9.691	10.238	10.838

Figure 1. (Color online) The graphical comparison of the measured I_m, the calculated current I_{r Ohm} by Ohm’s law with the R=RrOhm, and the calculated current IR0 by Ohm’s law with the R=R0 in a tungsten filament electric bulb of 6 V−0.1 A with the room temperature resistance R0=7.9 Ω.

전구의 실온저항 R0=7.9 Ω을 전구의 고정저항 R으로 계산한 전구전류 IR0인 경우, 전구전압 V=1.4 V에서 전구전류 IR0=0.177 A으로, 측정된 전류 Im=0.043 A의 4.121 배가 큰 양이며, 전구의 소모전력 PR0은 PR0=0.248 W으로써 측정된 전구전류 Im=0.043 A에 상응하는 전구의 소모전력 Pm=0.060 W에 비하여 4.121 배가 크다. 그리고 전구전압 V=5.6 V에서는 전구전류 IR0=0.709 A으로, 측정된 전구전류 Im=0.095 A의 7.462배가 되는 큰 양이며, 전구의 소모전압 PR0은 PR0=3.970 W으로써 측정된 전구전류 Im=0.095 A에 상당하는 전구의 소모전력 Pm=0.532 W의 7.462배로 매우 크다. 전구의 소모전압 PR0=3.970 W는 6 V−0.1 A인 전구의 정격전력 Pr=VrIr=0.6 W에 비하여 너무 큰 양으로 허용할 수 없는 양이다.

Figure 1과 Table 1에서 측정된 전구전류 I_m와 옴의 법칙으로 계산된 전구전류 IRr과 전구전류 IR0의 비교 결과는 전구의 전류는 옴의 법칙을 사용하여 계산할 수 없다는 것을 명백히 시사하고 있다. Figure 1의 전구의 정격전압 Vr=6 V과 정격전류 Ir=0.1 A를 나타내는 P점에서 측정된 전구전류 I=Im와 Ohm의 법칙으로 계산된 전구전류 I_{r O hm}가 같아진다. 이러한 이유는 정격전력(rated power) P_r이란 일반적으로 선형 전기소자이거나 비선형 전기소자에 관계없이 전기소자가 허용할 수 있는 소비전력으로, 전기소자의 정격전압(rated voltage) V_r과 정격전류(rated current) I_r의 곱으로 나타내는 물리량이기 때문이다. 여기에서 정격전압 V_r은 전기소자가 허용할 수 있는 전구전압 V이며, 정격전류 I_r는 정격전압V_r에 상응하는 전류이다. 따라서 선형 전기소자인 경우, Eq. (4)나 (5)를 사용하여 선형 소자의 저항 R_{r Ohm}을 구할 수 있다. 그러나 비선형 소자인 전구의 경우는 옴의 법칙을 근간으로 Eq. (4)나 (5)를 사용하여 전구의 저항을 구할 수 없다. 이 연구의 선행연구에서 Hyun and Park[6]은 도해법으로 사용하여 정격전압 Vr=6 V이고 정격전류 Ir=0.1 A인 점 P의 저항 R이 R=118.5 Ω임을 보였다. 그리고 전구의 정격전압 Vr=6 V이상의 전압에서는 전구전류 I_{r O hm}은 전구전압 V에 비례하여 증가하는 선형의 관계를 보이며, 또한 이에 상응하는 전구의 소모전력 P_{r O hm}는 전구전압 V에 제곱비례하여 증가한다.

다이오드, 트랜지스터, 사이리스터 등과 같은 비선형 소자들에 대해서는 이미 실험적으로 이론적으로 많은 연구가 되어 이들 소자의 저항, 전류, 전압 등에 대한 관계 수식들이 알려져 있다[8]. 그리고 이들을 사용하여 저항, 전류, 전압 등을 계산할 수 있다. 그러나 전구인 경우, 그 긴 역사에도 불구하고 지금까지 전구의 저항, 전류, 전압 등에 대한 관계 수식들이 알려져 있지 않다. 이러한 까닭으로 전구의 저항, 전류, 전압 등에 대한 관계를 정량적으로 논하는 문제들에서 Ohm의 법칙을 사용하여 문제를 해결하는 것은 차선의 방법이라고 생각할 수도 있다.

텅스텐 필라멘트 전구는 옴의 법칙을 따르지 않는 비선형 전기소자이다. Figure 2의 그래프는 전구전압 V에 따라 전구전류 I를 측정한 결과를 바탕으로 작도한 전구의 비선형 I - V 특성 곡선을 보여준다. 전구의 I - V 특성 곡선은 전류함수 I=f(V)로 취급할 수 있다. 임의의 전압 V_Q에 상당하는 전구의 전류함수 I=f(V)위의 Q점에서 기울기 G_Q는 다음 Eq. (7)과 같이 나타낼 수 있다.

Figure 2. (Color online) The graphical method for the current I_gQ at a point Q on the I -V characteristic curve of an tungsten filament electric bulb.

여기에서 G_Q는 물리적으로는 전기전도(electric conductance)라고 하며, 전압 V=VQ에서의 저항 R_Q의 역수로서 단위는 저항 R의 단위 Ω(Ohm)에서 역수꼴을 취한 Ω^-1(siemens)이다.

전구의 전류함수 I=f(V)를 V=VQ인 Q점에 대하여 Taylor 급수 전개하면, 전류함수 I=f(V)는 다음 Eq. (8)과 같이 나타낼 수 있다.

그리고 GQ=dfdV|V=VQ에 대하여 정리하면 다음 Eq. (9)과 같이 나타낼 수 있다.

즉, 텅스텐 필라멘트 전구의 I -V특성 곡선을 나타내는 비선형 전류함수 I=f(V)의 인가전압 V=VQ인 Q점에서 전기전도 G_Q는 Fig. 2에서 보여주는 것과 같이 도해법을 사용하여 구할 수 있다[6]. 이 연구에서는 도해법으로 구한 전기전도 G를 도해전기전도(graphical electric conductance)라고 정의하고 G_g로 표기한다. Q점의 도해전기전도 G_gQ를 다음 Eq. (10)으로 정리할 수 있다.

또한 전압 V=VQ인 점 Q에서 전류 변화량 ΔI에 대한 전압 변화량 ΔV의 비율을 점 Q의 동적 저항인 도해저항 R_gQ이라고 하면, 도해저항 R_gQ은 점 Q의 도해전기전도 G_gQ의 역수로 정의되는 물리량으로 다음 Eq. (11)과 같이 나타낼 수 있다[6].

비선형 전기소자인 전구의 동적 저항을 구하기 위하여 도해법[6]과 Legendre transformation[11]을 사용하여 비선형 전기소자의 전류를 계산할 수 있다. Legendre transformation은 비선형 함수 위의 임의의 점을 그 점의 기울기와 절편으로 구성하는 방정식으로 변환시킬 수 있다. 즉 Fig. 2에서와 같이 I=f(V)의 곡선 위의 V=VQ인 점 Q의 접선인 기울기 G_gQ를 직선으로 연장한 직선 함수 I_QT은 다음 Eq. (12)와 같이 나타낼 수 있다.

여기에서 I_{Q i}는 직선 함수 I_QT의 절편으로써 다음 Eq. (13)과 같다.

그리고 점 Q에서에서 기울기 G_gQ와 그 연장선 I_QT와 전류 I축이 만나는 절편 I_{Q i}으로부터 Q점에서의 전류, 즉 인가전압 V=VQ일 때의 전류 I_Q는 다음 Eq. (14)과 같이 얻을 수 있다.

전구의 I -V특성 곡선을 나타내는 전구의 전류함수 I=I(V)위의 모든 점에 대하여 Legendre transformation을 사용하여 절편 I_i는 전압 V와 전기전도 G_g로 이루어지는 집합으로써 Ii=Ii(Gg,V)으로 다음 Eq. (15)와 같이 나타낼 수 있다[11].

여기서 전구의 전류함수 I=I(V)는 모든 전구전압 V에 상응하는 전구전류 I의 집합이며, G_g는 임의의 전구전압 V에서의 도해전기전도로서 다음 Eq. (16)과 같다.

그리고 임의의 전구전압 V에서의 도해저항 R_g는 다음 Eq. (17)과 같다.

그리고 전구의 전류함수 I=I(V)에 대하여 Eq. (15)을 정리하면, 전구의 전류함수 I=I(V)는 다음 Eq. (18) 또는 (19)와 같이 전구전압 V의 일차함수 형태로 구할 수 있다. 이 연구에서 이를 전구의 도해전류함수 Ig(V)라고 정의한다.

또는

비선형 전기소자인 전구의 저항을 구하기 위한 또 하나의 방법은 최적보조함수 방법(optimal auxiliary function method)를 사용할 수 있다[12]. 이 방법은 복잡한 비선형 함수을 단순한 선형 함수 형태의 보조함수를 선택하여 문제를 해결하는 방법이다. Figure 3에서와 같이 비선형 함수로 나타나는 전구의 I -V특성 곡선의 전압 변화에 따른 전류 변화에 최적화된 추세선(trend line)을 도해적으로 결정하여 최적보조전류함수(optimal auxiliary current function)로 정의한다. 그리고 최적보조전류함수를 사용하여 전구전류 I_a를 계산할 수 있다[12]. 이 연구에서 최적보조전류함수를 Ia(V)로 표기하며, 최적보조전류함수 Ia(V)는 전구전압 V의 일차함수의 형태로 다음 Eq. (20)과 같이 나타낼 수 있다.

Figure 3. (Color online) The graphical method for the determination of the optimal auxiliary current function Ia(V) on the I -V characteristic curve of an tungsten filament electric bulb.

여기서 G_a는 최적보조전류함수 Ia(V)의 기울기이며, I_ai는 최적보조전류함수 Ia(V)의 절편이다. 최적보조전류함수 Ia(V)의 기울기 G_a는 항상 상수로 구해지기 때문에 전구의 전기전도로서는 의미가 없다. 최적보조전류함수 Ia(V)에서 기울기 G_a는 최적보조전류함수 Ia(V)의 전구 전압 V에 대한 1차항의 계수라는 수학적인 의미만을 가진다.

Figure 3에서 최적보조전류함수 Ia(V)의 기울기 G_a는 전구의 I -V특성 곡선의 전압 변화에 따른 전류 변화를 최적화시킬수 있는 영역인 전압 V=VS이고 전류 I=IS인 시작점 S과 전압 V=VE이고 전류 I=IE인 끝점 E을 잇는 최적보조전류함수 Ia(V)의 기울기이다. 최적보조전류함수 Ia(V)의 기울기 G_a는 다음 Eq. (21)을 사용하여 구할 수 있다.

여기에서 ΔIa는 최적보조전류함수 Ia(V)의 시작점 S과 끝점 E 사이의 전류변화량으로 ΔIa=IE−IS이며, ΔVa는 최적보조전류함수 Ia(V)의 시작점 S과 끝점 E 사이의 변화량으로 ΔVa=VE−VS이다. 그리고 최적보조전류함수 Ia(V)의 절편 I_ai는 다음 Eq. (22)로 구할 수 있다.

이 연구에서 제안하는 전구의 전류를 계산하는 두 가지 방법을 검증하기 위하여 실제의 전구에 적용하고 그 결과를 논의할 필요가 있다. 전구의 전류를 계산하는 데에 근거가 되는 전구의 I -V 특성 곡선은 다음과 같은 절차와 방법에 의하여 얻을 수가 있었다. 시료전구는 물리교육의 실험수업에서 흔히 사용되는 정격전압-전류 2.5 V−0.3 A인 시판 텅스텐 필라멘트 전구를 사용하였다[24, 25]. 그리고 전구의 I -V특성 곡선을 얻기 위하여 직류전원공급장치를 사용하여 전구를 포함하는 단순한 전기회로를 구성하고, 전기회로에 공급전압(supply voltage) V_s를 Vs=0 V에서 0.1 V간격으로 증가시키면서 공급하였다. 동시에 전구에 인가되는 전구의 양단전압 Vterminal (이하 전구전압 V)과 전구를 통해서 흐르는 전류 I(이하 측정전류 I_m)를 측정하였다. 또한 전구의 실온저항 R₀는 R0=1.3 Ω으로 측정되었다. 이 연구의 측정실험에서 사용한 직류전원공급장치는 UNICORN UP-3003T이며, 전류와 전압 및 전구의 실온저항을 측정하기 위하여 MASTECH MAS838 Digital multimeter와 더불어 LG DM-432B Digital Multimeter를 사용하였다.

Figure 4는 실온저항 R0=1.3 Ω인 정격전압-전류 2.5 V−0.3 A텅스텐 필라멘트 전구의 I -V특성 곡선이다. 그리고 전구의 I -V특성 곡선 위에서 발광전압 V_l과 발광전류 I_l를 나타내는 점을 발광점(luminous point)이라고 하여 P_l으로 표시하였다. 전구의 발광전압 V_l인 Vl=0.449 V에서의 측정전류 I_m, 즉 전구의 발광전류 I_l는 Il=0.153 A이다.

Figure 4. (Color online) The I -V characteristic curve of a tungsten filament electric bulb of 2.5 V−0.3 A with the room temperature resistance R0=1.3 Ω.

실온저항 R0=1.3 Ω인 2.5 V−0.3 A텅스텐 필라멘트 전구의 I -V특성 곡선은 전구전압 V=0 V에서 전구전압 V가 증가함에 따라 측정전류 I_m가 급격히 증가한다. 그러나 전구의 발광전압 V_l 직전에서 측정전류 I_m의 증가율이 급격히 감소하여 발광전압 Vl=0.449 V에서 발광전류 I_l는 Il=0.153 A에 이르며 그 곡선이 심하게 변곡된다. 그리고 발광전압 Vl=0.449 V 이상에서는 전구전압 V가 증가함에 따라 전구전류 I_m가 정격전압 Vr=2.5 V 부근인 전구전압 V=2.464 V에서 측정전류 Im=0.298 A인 점을 지날 정도로 거의 선형적으로 완만하게 증가한다. 즉, 실온저항 R0=1.3 Ω인 2.5 V−0.3 A텅스텐 필라멘트 전구의 I -V특성 곡선은 전구의 전형적인 I -V특성 곡선의 형태를 하고 있다[24].

Figure 5는 전구의 I -V특성 곡선 위의 모든 측정값에 대한 도해전기전도 G_g와 도해저항 R_g를 구하고, 이들이 전구전압 V에 따른 분포를 보여준다. Equation (14)와 (15)에서 전구의 도해전기전도 G_g와 도해저항 R_g는 임의의 전압과 전류의 측정점 Q(VQ,IQ)의 도해전기전도 G_Q는 측정점 Q(VQ,IQ)에 전구전압 V의 크기에 따라 순차적으로 이웃하는 측정점 M(VM,IM)과 N(VN,IN)을 선택하여(VM>VQ>VN), 이들 사이의 전압변화량 ΔV인 ΔV=VN−VM과 전류변화량 ΔI인 ΔI=IN−IM의 비율로 구한다.

Figure 5. (Color online) The graphical comparison of the conductance G_g and resistance R_g of an tungsten filament electric bulb of 2.5 V−0.3 A with the room temperature resistance R0=1.3 Ω according to the terminal voltage V of the electric bulb.

Figure 4에서 전구의 발광전압 Vl=0.449 V부근에서 전구전류 I_m가 증가하는 비율이 급격히 감소하는 현상은 Fig. 5의 낮은 전압 영역에서 도해전기전도 G_g가 급격하게 감소하기 때문인 것으로 해석할 수 있다. 즉 V=0 V일 때 Gg=0.769 Ω−1에서 V=0.449 V일 때 Gg=0.068 Ω−1로 급격하게 감소한다. 동시에 도해저항 R_g는 전구전압 V=0 V일 때 Rg=1.767 Ω에서 발광전압 Vl=0.449 V일 때, Rg=14.678 Ω으로 급격하게 커진다. 이처럼 도해저항이 커지는 것은 전자가 텅스텐 이온과의 충돌이 심하게 일어난다는 것을 시사한다. 또한 전구의 발광전압 V_l 이상인 전구의 작동영역에서는 전구전압 V이 증가함에 따라 측정전류 I_m는 거의 선형적으로 서서히 증가한다는 것은 전구전압 V=3.435 V에서 도해전기전도 Gg=0.054 Ω−1로서 발광전압 V_l 부근인 전구전압 V=0.449 V에서 도해전기전도 Gg=0.068 Ω−1에 비해 도해전기전도 G_g의 변화량 ΔGg가 ΔGg=−0.014 Ω−1으로 작기 때문이다. 그리고 도해전기저항 R_g의 전구전압 V에 따른 분포의 변동폭이 도해전기전도 G_g의 변동폭에 비하여 크게 나타난다. 이것은 도해전기저항 R_g을 구하는 도해법의 기하적인 구조, 즉 전구의 전류-전압 특성 곡선이 어떤 특정한 함수로 나타낼 수 없다는 것과 관련이 있다. 이러한 까닭으로 전구의 전류-전압 특성 곡선 각 점에서 정확한 기울기 값을 제공하지 못하고, 각 점에서의 기울기 값이 측정된 전압과 전류의 값을 근거로 근사적으로 계산했다는 데에 기인하는 것으로 볼 수 있다.

Figure 6에서 2.5 V−0.3 A텅스텐 필라멘트 전구전압 V에 따라 측정전류 I_m, 도해법으로 구한 전류 I_g(이하 도해전류 I_g), 그리고 최적보조전류함수를 근거로 구한 전구전류 I_a(이하 보조함수 전류 I_a)를 비교하였다. 그리고 Fig. 7에서는 보조함수전류 I_a와 Ohm의 법칙을 사용하여 구한 전구전류 I_{r Ohm}(이하 오믹전류 I_{r Ohm})를 비교하였다. 도해전류 I_g는 전구의 I -V 특성 곡선 위의 모든 전압과 전류의 측정점에 대하여 도해법으로 유도된 Eq. (18)을 사용하여 계산된 전류이다.

Figure 6. (Color online) The graphical comparison of the measured current I_m of the I -V characteristic curve, the graphical current I_g by the graphical method, and the current of auxiliary function I_a with the auxiliary current function Ia(V) according to the terminal voltage V in a tungsten filament electric bulb of 2.5 V−0.3 A with the room temperature resistance R0=1.3 Ω.

Figure 7. (Color online) The graphical comparison of the measured current I_m of the I -V characteristic curve, the current of auxiliary function I_a with the auxiliary current function Ia(V), and the ohmic current I_{r Oh m} by Ohm’s law according to the terminal voltage V in a tungsten filament electric bulb of 2.5 V−0.3 A with the room temperature resistance R0=1.3 Ω.

Equation (20)의 보조함수전류 I_a를 구하기 위하여 최적화 영역을 선정해야 한다. Figure 4의 전구의 I -V특성 곡선 위에 나타나는 발광전압 Vl=0.449 V에서 발광전류 I_l는 Il=0.153 A인 전구의 발광점 P_l을 시작점 S으로 하고 전구의 정격전압-전류점 P_r 부근의 전구 전압 V=2.464 V, 측정전류 Im=0.298 A인 전압-전류 측정점을 끝점 E로 하는 영역을 최적화 영역으로 하였다. 그리고 최적보조전류함수 Ia(V)는 도해적으로 이 두 점을 잇는 일차함수 형태의 함수로 다음 Eq. (23)으로 나타낼 수 있다.

전구전압 V=0 V에서 발광전압 Vl=0.449 V사이의 한 점인 V=0.149 V에서 도해전류 I_g와 측정전류 I_m를 비교한 결과는 다음과 같다. V=0.149 V에서 측정전류 I_m는 Im=0.085 A이다. 그리고 도해전류 I_g는 Ig=0.131 A로서 측정전류 I_m의 155.3%이나, 전구전압 V가 커질수록 그 차이가 감소하여 V=0.449 V에서 Ig=0.153 A로서 측정전류 Im=0.153 A와 거의 같아진다.

Table 2는 전구전압 V가 작동영역 즉, 발광전압 V_l 과 정격전압 사이 V_r인 한 점 V=1.527 V에서 도해전류 I_g와 측정전류 I_m를 비교한 결과이다. V=1.527 V에서 측정전류 Im=0.236 A이며, 그리고 이때 도해전류는 Ig=0.241 A이다. 즉, 도해전류 I_g는 측정전류 I_m의 102.26%이다. 전구전압 V에 따라 도해전류 I_g는 측정전류 I_m의 101.07%에서 105.95%로 변동은 있었으나, 평균적으로 작동영역에서 도해전류 I_g는 측정전류 I_m의 102.88%였다. 즉, 전구의 작동영역에서 도해전류 I_g는 평균적으로 측정전류 I_m에 비해 약 2.88%만큼 크다는 것이다.

Table 2 The numerical comparison of the measured current I_m, tthe graphical current I_g by the graphical method, the current of auxiliary function I_a, and the ohmic current I_{r Oh m} by Ohm’s law according to the terminal voltage V in a tungsten filament electric bulb of 2.5 V−0.3 A with R0=1.3 Ω.

V[V]	0.262	0.449	1.016	1.527	2.012	2.464	2.948
Im[A]	0.130	0.153	0.198	0.236	0.270	0.298	0.325
Ig[A]	0.148	0.162	0.204	0.241	0.273	0.304	0.334
ΔIg%	13.80	5.95	3.06	2.26	1.07	2.05	2.75
Ia[A]	0.139	0.153	0.194	0.230	0.265	0.296	0.354
ΔIa%	7.41	0.01	-2.08	-2.44	-1.67	0.02	2.30
IrOhm[A]	0.031	0.054	0.122	0.183	0.241	0.296	0.354
ΔIrOhm%	-75.74	-64.70	-38.29	-22.37	-10.44	-0.64	8.86

전구의 작동영역에서 발광전압 Vl=0.449 V일 때 보조함수전류 Ia=0.153 A이다. 보조함수전류 I_a는 측정전류 I_l의 100.01%이고, 보조함수전류 I_a는 평균적으로 측정전류 I_m의 98.77%이다. 즉 전구의 작동영역에서 보조함수전류 I_a는 평균적으로 측정전류 I_m에 비해 약 1.23%만큼 작다는 것이다.

Figure 7에서 오믹전류 I_{r O hm}인 경우, 전류 I_{r O hm}는 정격전압-전류점 Pr(2.5,0.3)부근을 제외하고는 측정전류 I_m에 근접하지 못한다. 이것은 Ohm의 법칙을 사용하여 전구전압 V에 따른 전구전류 I를 예측하지 못한다는 것을 의미한다. 이것은 물리교육의 관련 실험수업에서 전구전류 I를 Ohm의 법칙을 근거로 예측함에 의하여 실제 실험결과와 불일치하는 문제를 야기하고 있다[24, 25].

2.5 V−0.3 A텅스텐 필라멘트 전구전압 V에 따라 측정전류 I_m, 도해전류 I_g, 보조함수전류 I_a, 그리고 오믹전류 I_{r Ohm}를 Table 2에서 비교하였다. 전구의 발광전압 Vl=0.449 V이하의 전압 V=0.262 V에서 측정전류 Im=0.130 A에 비해 도해전류 Ig=0.148 A로 13.80%, 보조함수전류 Ia=0.139 A로 7.41%, 오믹전류 IrOhm=0.031 A로 -75.74%의 오차율을 보인다. 그리고 발광전압 Vl=0.449 V 이상의 작동영역에서는 측정전류 I_m에 비해 도해전류 I_g는 5.95% 이하의 오차율, 보조함수전류 I_a는 2.44% 이하의 오차율, 그리고 오믹전류 I_{r O hm}인 경우 64.70%의 큰 오차율을 보인다.

전구의 작동영역에서는 측정전류 I_m에 비해 도해전류 I_g는 5.95% 이하의 오차율, 특히 보조함수전류 I_a는 2.44% 이하의 오차율를 가진다는 것은 매우 의미가 있다. 즉 전구의 정격전압-전류 즉 Vr[V]−Ir[A]와 발광점 P_l에서의 발광전압 Vl[V]과 발광전류 Il[A]에 대한 정보만 주어진다면 Eq. (20)의 최적보조전류함수 Ia(V)을 다음 Eq. (24)이나 (25)과 같이 변환시킬수 있으면, 이들 식에 의하여 임의의 전구전압 V에서 전구전류 I를 구할 수 있다.

Equation (25)를 사용하여, 즉 최적보조함수 방법을 사용하여 전구에 흐르는 전류를 계산하기 위해서는 정격전압-전류(Vr−Ir)과 함께 발광전압과 발광전류, 즉 발광점에 대한 정보가 필요하다. 그리고 동일한 규격의 전구일지라도 전구의 실온저항 R₀이 다를 수가 있으며, 또한 실온저항 R₀이 달라짐에 따라 발광전압 V_l와 발광전류 I_l는 달라진다[24,25]. 전구의 실온저항 R₀의 변화는 전구의 전류-전압 특성 곡선을 변화시켜 정격전압 V_r에서 명시된 정격전류 I_r와는 다른 크기의 전류가 나타나며, 전구의 실온저항 R₀은 전구의 온도와 밝기에 영향을 준다[6]. 이러한 전구의 실온저항 R₀, 발광전압 V_l, 발광전류 I_l 등은 전구의 정격전압-전류(Vr−Ir)과 함께 전구의 작동특성을 결정하는 요소로 보아야 할 것이다. 비선형 전기소자인 전구의 전류-전압 특성 곡선과 그 실온저항 R₀이 비선형 전자소자의 datasheet와 같이 제조사에서 제공되거나 관련 연구자들에 의하여 제공된다면 전구의 전류를 계산하는 데에 매우 유용할 것이다[24,25]. 또한 전구의 정격전압-전류(Vr−Ir)과 실온저항 R₀에 대한 정보는 전구를 작동시키기 전에 제공될 수 있는 것이다. 전구의 실온저항 R₀이 발광전압 V_l과 발광전류 I_l, 정격전압 V_r에서의 전류 I_r에 미치는 영향 등이 조사되고 제공된다면, 전구의 밝기 비교 실험에서 발생하는 불일치 현상을 미리 방지하거나 그 원인이나 이유를 이해하는 데에도 큰 도움이 될 수 있다.

전구가 Ohm의 법칙을 따르지 않는 비선형 전기소자임에도 불구하고 Ohm의 법칙을 사용하여 전구를 통해서 흐르는 전류를 계산하고 예측함으로 인하여 많은 실험수업에서 실험 결과가 예상하는 것과 다르다는 불일치 문제가 발생해왔다. 그럼에도 불구하고 전구에 관련된 상황에서 Ohm의 법칙을 사용할 수 밖에 없는 이유는 비선형 전기소자인 전구를 통해서 흐르는 전류를 계산할 수 있는 수학적인 방법이나 수식이 아직 없다는 것이다.

비선형 전기소자인 전구에 관련된 문제들에 대한 해결책을 제시하는 일환으로써, 선행연구인 ‘물리교육에서 나타나는 전구에 대한 문제들에 대한 연구 (I): 전구의 저항’에서 전구의 저항을 구하는 방법으로 도해법을 제안하였다[6]. 그리고 이 연구에서는 전구의 저항을 구하는 도해법을 확장하여 전구를 통해서 흐르는 전류를 구하는 방법들을 제안하고자 하였다.

전구의 양단전압에 따른 전구를 통해서 흐르는 전류를 계산하기 위하여 두 가지 방법이 제안되었다. 그 하나는 Legendre transformation을 사용하여 전구의 저항을 구하는 도해법을 확장한 전구에 흐르는 전류를 구하는 방법으로써 ‘전류의 도해법’이라 부를 수 있다. 전류의 도해법은 전구의 전류-전압 특성 곡선 위의 모든 전압-전류점에 대하여 계산해야 하는 다소 번거로운 점을 가지고 있다. 그리고 다른 하나는 전류의 도해법의 번거로운 점을 해결할 수 있는 방법으로 최적보조함수 방법(optimal auxiliary function method)을 사용하여 전구를 통해서 흐르는 전류를 구하는 방법으로써 ‘전류의 최적보조전류함수 방법’이라고 부를 수 있다. 전류의 최적보조전류함수 방법인 경우 전구의 전류-전압 특성 곡선이 매우 단순한 형태를 하고 있어, 도해적으로 매우 쉽게 최적보조전류함수를 결정할 수 있다.

정격전압-전류가 2.5 V−0.3 A(R0=1.3 Ω)인 전구의 측정전류와 전류의 도해법으로 구한 도해전류, 전류의 최적보조전류함수 방법으로 구한 보조전류함수 전류, 그리고 Ohm의 법칙으로 계산한 오믹전류들을 전구의 작동영역인 발광전압과 정격전압 사이의 영역에서 비교할 수 있다. 실온저항 R0=1.3 Ω인 정격전압-전류 2.5 V−0.3 A인 전구의 발광전압과 정격전압 사이의 영역에서 측정한 전류에 비해, Ohm의 법칙으로 계산한 오믹전류인 경우 -64.70%에서 -0.64% 범위의 매우 큰 오차율을 가진다. 그러나 반면 전류의 도해법으로 구한 도해전류는 5.95% 이하의 오차율을 가지며, 전류의 최적보조전류함수 방법으로 구한 보조전류함수 전류는 2.44% 이하의 오차율을 가진다. 이러한 이 연구에서 제안하는 두 방법에 의한 전류의 오차율이 낮다는 것은 매우 의미가 있으며, 그 타당성과 실용성을 보여준다.

이 논문은 2022년도 제주대학교 교원성과지원사업에 의하여 연구되었습니다.