중성미자나 암흑 물질 등 보이지 않는 입자의 존재는 고에너지 입자 가속기 실험에서 입자 붕괴 신호를 재구성하는 데 큰 도전을 낳는다. 입자 가속기 실험의 검출기는 입자 붕괴 최종 상태의 전체 위상 공간을 관측할 수 있는 가시적 입자 운동량의 공간으로 투영하고, 그 투영은 근본적으로 비가역적 매핑이다. 보이지 않는 입자의 존재는 가시적 입자 운동량 합의 불균형, 즉 손실 에너지를 통해 그 존재를 유추할 수 있다. 손실 에너지가 있는 입자 붕괴 신호의 재구성은 입자 가속기 실험 분석에서 난해한 문제이다. 이러한 문제에 대응하여, 보이지 않는 입자와 관련한 입자 붕괴 과정의 정보를 가능한 한 많이 추출하기 위한 많은 방법론과 알고리듬이 개발되어왔다[2].

무거운 입자가 쌍으로 생성되고, 각각 관측할 수 있는 입자와 보이지 않는 입자로 붕괴하는 경우를 생각해보자.

위 이벤트 토폴로지(event topology)에서 v_i는 전하를 띈 렙톤이나 QCD 제트처럼 에너지와 운동량을 관측할 수 있는 표준모형 입자들의 집합이고, χ는 중성미자나 암흑 물질처럼 관측되지 않고 손실 에너지를 통해서만 그 존재를 유추할 수 있는 입자들에 해당한다. LHC와 같은 강입자 충돌 실험에서는 충돌한 파톤들의 종방향 운동량을 알 수 없으므로 손실 에너지는 아래와 같이 수직방향(“T”) 운동량에 대해서만 알 수 있다.

여기서 UT는 initial state radiation 등 이벤트 토폴로지 (1)에 포함되지 않은 입자들이 지니는 수직방향 모멘텀에 해당한다. 이 이벤트 토폴로지는 초대칭 모형 등 표준모형을 뛰어넘는 새로운 입자물리 모형에서 빈번하게 나타날 뿐 아니라 쌍으로 생성되어 최종적으로 렙톤으로 붕괴하는 꼭대기 쿼크 등 표준모형에서도 자주 등장한다.

LHC 실험과 마찬가지로 Belle, LHCb 등 고강도 입자가속기 실험에서도 쌍으로 생성된 후 각각 보이지 않는 입자로 붕괴하는 이벤트 토폴로지를 많이 찾아볼 수 있다. 예를 들어, Belle 실험에서는 Υ(4S) 공명을 통해 τ+τ−와 쌍생성된 B 메손을 많이 만들 수 있고, 각각 중성미자와 같이 보이지 않는 입자로 붕괴할 경우 이벤트 토폴로지 (1)로 표현할 수 있다. LHC 실험에서는 새로운 종류의 무거운 입자를 직접 생성하여 그 붕괴 신호로부터 새로운 입자 발견을 목표로 한다. 즉, 이벤트 토폴로지 (1)에서 Y가 우리가 찾고자 하는 새로운 입자이고, 주요한 연구대상이다. 예를 들어, 초대칭 모형에서 글루이노나 스칼라 쿼크 등이 Y에 해당한다 (이 경우에는 Y뿐만 아니라 χ 역시 뉴트랄리노 등 새로운 입자에 해당한다). 따라서 Y(그리고 χ)는 그 질량과 성질이 밝혀지지 않은 입자이다. 반면, 전술한 τ+τ−나 B 메손 쌍의 경우에는 Y가 τ나 B 메손에 해당하고, 우리는 이미 τ와 B 메손의 질량과 성질을 잘 알고 있다. 그렇다면, τ와 B 메손으로부터 어떻게 새로운 물리를 찾을 수 있을까? 생각할 수 있는 가능성은 아래와 같다.

• (i)τ나 B 메손의 붕괴 산물이 새로운 종류의 가벼운 입자를 포함할 경우,

• (ii)τ나 B 메손의 붕괴 산물이 모두 표준모형 입자들로 이루어져 있지만 그 붕괴 과정 자체가 표준모형으로부터 예측되지 않거나 표준모형의 예측과 다르게 나타날 경우.

위 시나리오들을 연구하는 데 걸림돌이 되는 것은 보이지 않는 입자의 존재이다. (i)의 경우에는 새로운 종류의 가벼운 입자가 관측되지 않은 채 검출기를 빠져나갈 수 있고, (ii)의 경우에 붕괴 산물에 중성미자가 포함된다면 붕괴 이벤트를 재구성하는 것이 어렵거나 불가능하다. (i)의 경우에 중성미자가 추가적으로 고려되어야 한다면 상황은 더욱 어려워진다.

이러한 경우 현재 사용하고 있는 탐색 전략은 아래와 같다. 예를 들어 쌍생성된 타우 렙톤들을 생각해 보자. 한쪽 타우는 새로운 종류의 가벼운 입자(ϕ)와 가벼운 렙톤으로 붕괴한다 (τ→l+ϕ, l=e 또는 μ). 그리고 다른 타우는 표준모형 입자들로만 붕괴한다 (예를 들어, τ→3π+ν). 전자를 τsig, 후자를 τtag라고 하자. 그러면 쌍생성된 타우의 붕괴 신호는 다음과 같이 주어진다.

이 경우 ϕ 입자로 붕괴하는 τsig를 어떻게 발견할 수 있을까? 만약

τsig의 정지틀을 알 수 있다면 그 정지틀에서 l의 운동량 크기는 다음과 같이 주어진다.

즉, l의 운동량 크기는 mϕ에 따라 주어진 위치에서 봉우리 모양의 분포로 나타난다. 반면, 표준모형 배경 신호의 경우에는 전하를 띈 렙톤 l이 타우의 삼체 붕괴(τ→lνν¯)로부터 만들어지므로 l의 운동량 크기는 연속체 모양의 분포로 나타난다. 따라서 우리는 간단히 |pl|의 분포로부터 새로운 입자 ϕ의 존재를 탐색할 수 있다. 여기에서 문제는 τsig의 정지틀을 어떻게 알 수 있는가 하는 것이다. 충돌 에너지가 고정된 e+e− 충돌 실험에서는 τtag를 이용한다. 만약 τtag 운동량의 방향을 알 수 있다면 e+e− 충돌의 질량 중심 계에서 pτsig=−pτtag이므로 우리는 곧바로 pτsig를 구할 수 있다. 그런데, 붕괴 신호 (3)에서 τtag는 중성미자로 붕괴하므로 ptag를 알 수 없다. ARGUS 실험에서는 τtag로부터 생성된 파이온들이 날아가는 방향이 τtag의 운동량 방향과 비슷하다고 가정했다 (p^tag≈p^3π)[3]. Belle II 실험에서는 event shape 물리량 쓰러스트(thrust)[4, 5] 계산에서 얻어지는 쓰러스트 축 방향(n^thrust)을 이용해 τsig의 방향을 근사한다 (p^sig≈n^thrust)[6].

이러한 전략은 특정한 붕괴 과정에 국한된 임시변통의 방법이다. 본 연구에서는 이벤트 토폴로지 (1)에 기반하여 고에너지 입자 가속기 실험 데이터 분석에 사용한 운동학 변수를 Belle II와 같은 고강도 입자 가속기 실험 환경에 맞춰 적절히 변형하여 활용하는 방법을 제안한다. 우리의 전략은 특정한 붕괴 과정이 아니라 이벤트 토폴로지에 기반하고 있기 때문에 범용성이 높다. 그리고 몇 가지 벤치마크 시나리오에서 수치 모사를 통해 우리의 새로운 전략을 시험하고, 그 효율성을 입증한다.

앞 절에서 기술한 바와 같이 각 붕괴 사슬의 끝에 보이지 않는 입자가 있는 이벤트 토폴로지 (1)은 LHC 등 고에너지 입자 가속기 실험에서 자주 고려되고 있고, 여기에 특화된 운동학 변수들이 여럿 개발되었다. 그 가운데 특히 유용하고 잘 알려진 운동학 변수는 MT2이다[7, 8]. 이벤트 토폴로지 (1)과 손실 에너지 조건 (2)에 대해 MT2는 아래와 같이 정의된다.

여기에서 M_T는 로렌츠 불변 질량을 수직 방향으로 투영한 수직 질량(transverse mass)이다. MT2의 분포는 수직 질량과 마찬가지로 고정된 끝점을 가지고 있고, 보이지 않는 입자의 실제 질량값(Mχtrue)이 입력된다면 그 끝점은 부모 입자 Y의 질량에 해당한다.

MT2의 값을 얻기 위해서는 보이지 않는 입자들의 운동량 k1T와 k2T의 모든 가능한 값들 가운데 손실 에너지 조건 (2)을 만족하면서 MT2의 목적함수를 최소화하는 운동량을 찾아야 한다. MT2의 목적함수는 k1T, k2T에 대해 볼록(convex)한 모양이므로 MT2 목적함수의 최솟점에서 k1T와 k2T의 값은 유일하게 주어지고, 이는 보이지 않는 입자의 수직 운동량의 실제값과 근사하게 주어진다. 여기에 부모 입자 Y의 on-shell 조건을 이용하면 우리는 보이지 않는 입자의 운동량을 근사적으로 모두 얻어낼 수 있다. 이것을 MT2-assisted on-shell 또는 MAOS 방법이라고 하고, 이렇게 얻은 보이지 않는 입자의 운동량을 MAOS 운동량이라고 한다[9, 10].

MT2의 목적함수에서 수직 질량을 로렌츠 불변 질량으로 대체하고, 최소화 과정에서 손실 에너지 조건 이외에 다양한 물리 제한 조건들을 추가할 수 있다. 이러한 방식으로 MT2를 확장한 것이 M₂ 운동학 변수이다[11, 12, 13].

위 M₂의 정의에서 수직 방향을 의미하는 첨자 “T”가 빠진 것에 주목하라. MT2는 수직 방향 운동량으로 이루어진 2차원 공간에서 최소화를 수행하는 반면, M₂는 여기에 종방향 운동량k1L과 k2L를 포함해서 4차원 공간에서 최소화를 수행해야 한다. 최소화할 목적함수에 로렌츠 불변 질량을 사용함으로 인해 이벤트 토폴로지에 따라 (1+3) 차원의 에너지–운동량을 이용한 다양한 물리 제한 조건을 추가할 수 있다. 어떠한 종류의 제한 조건을 고려하느냐에 따라 M₂의 정의는 달라지고, 수치적으로 다른 값을 가질 수 있다. 따라서 M₂는 유일하게 정의되는 운동학 변수라기보다 최소화할 목적함수를 공유하는 다양한 운동학 변수들의 집합이라고 생각할 수 있다. MT2와 마찬가지로 M₂ 역시 그 목적함수가 볼록한 모양을 가지고 있으므로 보이지 않는 입자의 운동량 k1, k2의 공간에서 유일한 최솟점을 가지고 있고, 그 최솟점에서 k1, k2의 값은 실제 보이지 않는 입자의 운동량을 잘 근사한다. M₂에서 주로 고려되는 물리 제한 조건은 on-shell 조건이므로 M₂로부터 얻을 수 있는 보이지 않는 입자의 운동량 근사값 역시 M₂-assisted on-shell 또는 MAOS 운동량이라고 부른다. M₂에 기반한 MAOS 운동량은 기존에 MT2를 이용한 것보다 훨씬 정확도가 높다는 것이 알려져있다[14].

MT2와 M₂는 입자의 운동학 성질만을 고려하므로 이벤트 토폴로지 (1)로 기술할 수 있는 모든 종류의 입자 붕괴 신호 분석에 활용할 수 있다. 이는 고에너지 입자 가속기뿐만 아니라 고강도 입자 가속기 실험에도 마찬가지다. 서론에서 설명한 것처럼 쌍생성된 τ나 B 메손의 붕괴 과정도 이벤트 토폴로지 (1)을 따르는 경우가 많지만 MT2나 M₂의 적용 사례는 아직까지 없었다. 다음 절에서는 벤치마크 연구로써 Belle과 Belle II 실험에서 τ와 B 메손 붕괴 신호로부터 새로운 물리의 신호를 찾기 위해 운동학 변수들이 어떻게 활용될 수 있는 지 실증한다.

1. τ→l+ϕ

먼저 생각할 수 있는 시나리오는 서론에서 기술한 τ→l+ϕ 붕괴 과정이다. 여기서 ϕ는 MeV–GeV 규모의 질량을 가지고 있고, 전하를 띄지 않는다. 게다가 긴 수명을 가지고 있어서 검출기에 아무런 흔적을 남기지 않은 채 빠져나간다. 구체적으로 액시온 유사 입자와 같은 새로운 입자를 생각할 수 있다[15]. 과거 Mark III[16]와 ARGUS 실험[3]에서 이 유형의 붕괴 신호를 탐색하였고, 현재 Belle II 실험에서도 탐색을 이어나가고 있다[6]. Equation (3)과 같이 쌍생성된 타우 렙톤들 가운데 한쪽이 ϕ를 생성하고 다른 쪽은 세 개의 전하를 띈 파이온과 중성미자로 붕괴하거나

와 같이 한 개의 전하를 띈 렙톤과 두 개의 중성미자로 붕괴하는 과정을 고려할 수 있다. 전하를 띈 입자의 개수에 따라 전자를 1×3, 후자를 1×1 프로세스라고 부르겠다. 1×3, 1×1 프로세스 모두 이벤트 토폴로지 (1)로 기술할 수 있다. 각각의 경우 없앨 수 없는 표준모형 배경 신호는 아래와 같다.

현재 Belle II 실험은 주로 1×3 프로세스를 주로 탐색하고 있다.

새로운 붕괴 과정 (3) 또는 (8)과 표준모형 배경 신호 (9)의 차이점은 무엇인가? 둘 다 이벤트 토폴로지 (1)로 기술할 수 있지만, 보이지 않는 입자의 개수가 다르다. 1×3 프로세스 (3)은 두 개의 보이지 않는 입자 즉, ϕ와 한 개의 중성미자가 있다. 반면 해당하는 표준모형 배경 신호에는 세 개의 중성미자가 존재한다. 1×1 프로세스도 마찬가지로 보이지 않는 입자의 개수가 다르다. 따라서 새로운 입자 ϕ를 찾기 위해서는 보이지 않는 입자의 개수와 그에 따른 운동학적 성질을 이용한 물리량을 고려하는 것이 자연스럽다.

앞서 II절에서 살펴본 운동학 변수 MT2의 분포 모양, 특히 끝점 부근의 모양은 보이지 않는 입자의 개수에 따라 다르다는 것이 알려져 있다[17,18]. Figure 1에서 ϕ를 포함한 새로운 붕괴 프로세스와 배경 신호의 MT2 분포를 비교해 보면, 보이지 않는 입자의 개수가 적을수록, 즉 ϕ를 포함한 경우에 끝점 부근에 이벤트 밀도가 더 높아지는 것을 볼 수 있다. 그런데 MT2는 종방향의 전체 운동량을 알 수 없는 강입자 충돌 실험에 적합한 운동학 변수이다. MT2의 정의에서 알 수 있는 것처럼 MT2는 수직 방향의 에너지와 운동량만을 이용해 계산한다. 그러나 종방향의 전체 운동량이 고정되어 있는 Belle 또는 Belle II와 같은 렙톤 충돌 실험에서는 종방향의 운동량까지 사용한 M₂를 고려하는 것이 더 자연스럽다.

Figure 1. (Color online) (Left) MT2 and (right) M₂ distributions for 1×3 (blue) and 1×1 (orange) event topologies. mϕ is taken to be 1 MeV [19].

그렇다면 렙톤 충돌 실험에 적합한 M₂의 정의는 무엇일까? 먼저 손실 에너지 조건을 2차원(PTmiss)이 아닌 3차원 벡터(Pmiss)로 확장할 수 있다. 그리고 질량 중심 계 에너지가 고정되어 있으므로 이 조건을 M₂의 정의에 추가할 수 있다. 이러한 조건들을 고려하여 새롭게 정의한 M₂는 다음과 같다 [19].

여기서 s는 질량 중심 계 에너지 제곱이다. 보이지 않는 입자의 질량 Mχ는 M₂를 계산하기 위해 미리 정해야 한다. 적합한 Mχ 값을 유추할 수 없다면 Mχ=0으로 놓아도 무방하다.¹ 위 정의를 이용해 얻은 M₂의 분포는 Fig. 1에서 볼 수 있다. MT2와 비교하였을 때 M₂를 이용하면 새로운 붕괴 신호와 표준모형 배경 신호를 보다 효율적으로 분리할 수 있음을 알 수 있다. 한편으로 M₂가 MT2로부터 확장된 운동학 변수라는 것을 고려하면, 두 운동학 변수 사이에는 어느 정도의 상관관계가 있을 것임을 유추할 수 있다. 따라서 우리는 앞으로 M₂를 이용한 방법에 중점을 둔다.

II절에서 살펴본 바와 같이 M₂ 계산을 통해 보이지 않는 입자의 운동량의 근사값을 얻을 수 있다. M₂의 목적함수를 최소화하는 운동량 k1,2maos는 보이지 않는 입자의 실제 운동량 k1,2에 가깝거나 그리 멀지 않은 값을 가진다. 이것을 이용해 우리는 기존의 전략을 개선하거나 새로운 물리량을 생각할 수 있다. 첫번째 예제는 서론에서 언급한 τsig의 정지틀에서 |pl|이다. 1×3 프로세스의 경우, MAOS 운동량을 사용하여 τsig의 운동량의 근사값을 얻을 수 있고( pτsig=p1+k1maos),pl=p1을 τsig의 정지틀로 부스트한다.² 이렇게 얻은 |pl|의 분포를 Fig. 2에서 볼 수 있다. 쓰러스트 방법을 이용한 분포와 비교해보면 MAOS 방법이 훨씬 더 선명한 봉우리 모양을 가진다는 것을 알 수 있다. 다시 말해, MAOS 방법이 기존의 쓰러스트 방법보다 훨씬 유용하다는 것이 이 결과를 통해 실증된다. MAOS 방법을 이용해 얻을 수 있는 또 다른 물리량은 보이지 않는 입자의 운동량 크기 비율이다.

Figure 2. Distributions for (left) pemaos and (right) pethrust. We consider the 1×3 channel, and mϕ is taken to be 1 MeV [19].

k1,2maos를 이용할 경우, 여기에 해당하는 비율은 ξkmaos라고 쓸 수 있다. ξk는 이벤트 토폴로지가 대칭적일수록 1에 가까운 값을 가질 수 있다. 또한, 분포의 기울기가 보이지 않는 입자의 개수와 상관관계를 가질 것을 기대할 수 있다. 이 물리량은 참고문헌[17]의 RpT와 유사하지만, 두 가지 중요한 차이점이 있다. 첫번째로 RpT는 전하를 띈 입자 등 관측할 수 있는 입자들의 운동량으로 계산할 수 있지만 ξk는 보이지 않는 입자의 운동량을 사용한다. 두번째로 RpT는 `max-over-min' 비율로 정의되는데, 이는 콤팩트(compact)하지 않은 정의역을 가진다. RpT∈[1,∞]. 따라서 RpT의 분포는 긴 꼬리 모양을 보이고, 결과적으로 신호와 배경 분포 모양 사이의 차이가 희석될 수 있다. 반면에 ξk는 콤팩트한 정의역 [0, 1] 내에서 값을 가지고, 신호와 배경 분포 모양 차이를 더 확실하게 보여줄 수 있다. 한편으로 우리는 관측할 수 있는 입자의 운동량을 이용하여 ξp를 계산할 수도 있다. 이렇게 정의된 ξk와 ξp, RkT, RpT의 분포를 Fig. 3에서 볼 수 있다. ξk,p는 실험실 좌표계 또는 질량 중심 좌표계에서 정의될 수 있다. 우리는 질량 중심 좌표계에서 ξk,p의 차이가 좀더 잘 나타날 수 있음을 수치 모사를 통해 확인하였다.

Figure 3. (Color online) Distributions of the ratio variables ξk, ξp, RkT, and RpT. We show the case mϕ=1 MeV [19].

이외에도 MAOS 방법을 이용하지 않고 계산할 수 있는 물리량들을 추가로 고려할 수 있다. 예를 들어 보이지 않는 입자 전체의 되튐 질량

그리고 손실 에너지 크기 Emiss=|Pmiss|는 관측할 수 있는 입자의 운동량만으로 계산할 수 있다. 두 물리량 모두 보이지 않는 입자의 개수와 운동량 크기에 따라 분포 모양이 달라진다.

수치 모사를 위해 우리는 MadGraph 5[20]를 이용하여 Belle II 실험의 충돌 에너지에서 e+e−→τ+τ− 데이터를 생성하였다. τtag의 붕괴는 TauDecay 모듈[21]을 사용하였고, τsig의 붕괴는 ROOT의 TGenPhaseSpace 클래스를 사용하였다. 편이를 위해 τsig가 전자로 붕괴하는 경우만 고려하였다. 보다 현실적인 분석을 위해 우리는 참고문헌[6]에 사용된 이벤트 선택 컷(cut)을 적용하였다. M₂의 계산은 YAM2 라이브러리[22]를 사용하였고, 결과 분석에는 ROOT의 TMVA 클래스를 사용하였다.

우리의 분석 결과를 정리하겠다. 앞서 기술한 M₂, ξk,p, Mrecoil, Emiss는 1×3와 1×1 프로세스들에 모두 적용할 수 있다. 또한 이 물리량들의 분포 모양은 붕괴 산물에 있는 보이지 않는 입자의 특성과 밀접한 관계를 가지고 있다. 따라서 우리는 이 물리량들을 `invisible-savvy' 또는 ISy 분류기(classifier)라고 명명한다. 기존 전략과의 비교를 위해 pemaos는 ISy 분류기에 포함하지 않는다. 구체적인 비교를 위해 우리는 다음과 같은 조합을 고려하였다. (a) 1×3 붕괴에서 pethrust, (b) 마찬가지로 1×3 붕괴에서 pemaos, (c) 1×3 붕괴에서 ISy,(abc) 1×3 붕괴에서 pethrust+pemaos+ISy 조합, (d) 1×1 붕괴에서 ISy. 먼저 (a)의 경우를 참고문헌[6]의 결과와 비교하여 일치함을 확인하고, 이로부터 우리 분석 데이터를 검증하였다. (a), (b), (c), 그리고 (abc) 비교를 통해 1×3 프로세스에서 각각의 전략을 비교하고, 새로운 전략과 조합을 통한 효율성 개선 정도를 확인할 수 있다. 또한 (c)와 (d)를 비교하여 1×3와 1×1 프로세스 간 상대적인 효율을 비교할 수 있다.

벤치마크로써 mϕ=1 MeV에 대해 신호 효율(signal efficiency)과 배경 배제(background rejection) 관계를 Fig. 4에서 볼 수 있다. 우리는 여러 mϕ 값에 따라 얻은 신호와 배경 분류 효율을 이용해 τ→eϕ 붕괴의 갈래비의 95% confidence level (CL) 상한값을 도출하였다 (상한값 도출 방법에 관한 자세한 기술은 참고문헌 [19]을 참조). 구체적으로 mϕ≲1 MeV일 경우, 1×3 프로세스에 우리의 전략을 적용하여 몇 가지 벤치마크 광도(L)에서 아래와 같은 상한값을 얻었다.

Figure 4. (Color online) (Upper left) Signal efficiency vs background rejection in the different combinations of kinematic variables. (Upper right and lower) 95% CL upper limits on the signal branching ratios normalized to the Standard Model τ→lνν¯ one as a function of the luminosity (upper right) or of different combinations discussed in the text (lower) [19].

이 결과를 기존의 쓰러스트 방법을 이용한 경우와 비교하면 우리의 전략을 이용해 대략 3배 더 낮은 상한값을 얻을 수 있음을 알 수 있다 [19].

우리의 전략은 앞서 기술한 것과 같이 이벤트 토폴로지 (1)에 기반하고 있다. 따라서 타우 붕괴 과정뿐만 아니라 다른 종류의 붕괴 과정에도 적용할 수 있다. 우리는 다음 절에서 이 전략을 B 붕괴 과정에도 적용한다.

2. B→Kτμ

Belle 또는 Belle II 실험에서는 타우뿐만 아니라 많은 양의 B 메손을 만들어낸다. B 메손이 쌍으로 만들어지면 타우의 경우와 마찬가지로 Bsig와 Btag로 분류할 수 있다. 여기에서 Bsig는 우리가 찾고자 하는 새로운 종류의 붕괴 과정을 겪고, Btag는 표준모형의 붕괴 과정을 따른다. 만약 Btag가 Btag→D(→Kπ)π처럼 관측할 수 있는 입자들로만 붕괴한다면 Bsig의 붕괴 산물에 보이지 않는 입자가 존재하더라도 Btag 붕괴 산물의 운동량들을 이용해 Bsig의 운동량을 재구성할 수 있다. 이러한 Btag 붕괴 과정의 경우, 붕괴 산물이 모두 강입자이므로 “hadronic tag”라고 부른다. 하지만 Btag가 중성미자로 붕괴하는 경우에는 중성미자의 운동량은 관측할 수 없으므로 hadronic tag의 경우와 같은 전략을 쓸 수가 없다. 예를 들어 B→D(∗)lν 붕괴 과정을 고려할 수 있고, 이 붕괴의 갈래비는 20%에 이른다(이 경우에는 붕괴 산물에 렙톤을 포함하고 있어서 “semi-leptonic tag”라고 부른다). Bsig와 Btag 붕괴 모두 보이지 않는 입자를 포함하는 경우는 이벤트 토폴로지 (1)에 해당한다.

벤치마크 시나리오로써 Belle 실험에서 Bsig→Kτμ를 고려해보자. 이 붕괴 프로세스는 표준모형의 렙톤 보편성을 깨는 새로운 물리 모형들로부터 전형적으로 예측되는 중요한 신호이다. 또한 새로운 물리가 3세대 쿼크, 렙톤과 상호작용을 한다면 항상 존재할 수 있지만 표준모형에서는 예측할 수 없으므로, 표준모형의 영점 검사(null test)로써 큰 의미를 가진다[23]. 이 신호는 다양한 B 실험에서 탐색이 이루어져왔다[24, 25, 26].

Bsig의 붕괴로부터 만들어진 τ는 다양한 최종 상태로 붕괴할 수 있다. 이 가운데 우리는 τ→lνν¯, πν, ρν 등 1-prong 붕괴를 고려하고, 해당 붕괴 갈래비들의 합은 전체 타우 붕괴의 대략 70%에 이른다. 이 경우 Bsig 붕괴의 최종상태는 한 개 또는 두 개의 보이지 않는 중성미자를 포함한다.

그렇다면 우리는 어떻게 Bsig의 신호를 찾을 수 있을까? e+e− 질량 중심 계에서 타우의 되튐 질량은 아래와 같이 주어진다.

위 식에서 별표는 질량 중심 계에서 값임을 의미한다. 질량 중심 계에서 EBtag∗=s/2로 주어지고, θ는 pBtag∗와 pKsiglsig∗의 사이각이다. 질량 중심 계에서 pBtag 운동량 벡터의 요소들은 고정되지 않지만 그 크기는 s/4−mBtag2로 주어진다. 따라서 Eq. (14)는 cosθ의 함수이고, cosθ 값이 붕괴 사건 데이터별로 올바르게 대입된다면 되튐 질량 Mrecoil의 분포는 mτ에서 봉우리가 생긴다. 이를 통해 Bsig→Kτl 신호를 탐색할 수 있다. 앞서 기술한 바와 같이 Btag가 hadronic tag 붕괴를 한다면 우리는 Btag의 붕괴 산물로부터 ptag를 얻을 수 있고, 이로부터 cosθ 값을 산출할 수 있다.

우리가 해결하고자 하는 문제는 Btag가 semi-leptonic tag 붕괴 즉, Btag의 붕괴 산물에 중성미자가 있을 때 어떻게 cosθ 값을 얻어낼 수 있는가 하는 것이다. 가장 간단한 방법은 cosθ가 -1과 1 사이에 고르게 분포되어 있다고 가정하고 무작위하게 값을 추정하는 것이다. 이러한 방법으로도 어느 정도 봉우리 모양의 Mrecoil 분포를 얻을 수 있지만 hadronic tag의 경우와 비교했을 때 봉우리의 폭이 훨씬 넓어서 신호 탐색을 위한 민감도가 매우 떨어진다.

이 문제에서도 τ→l+ϕ의 경우와 마찬가지로 운동학 변수 M₂를 이용할 수 있다. 이를 위해서는 semi-leptonic tag 붕괴 프로세스에 적합한 M₂를 먼저 정의해야 한다. Equation (10)에 정의한 M₂를 곧바로 사용할 수도 있지만, MAOS 운동량의 정밀도를 더욱 높이기 위해 우리는 다음과 같이 새로운 M₂ 변수를 고안하였다[27].

Equation (10)와 비교하면 두 개의 제한 조건이 추가되었다. 이는 Bsig와 Btag가 동일한 질량을 가지고, 그 값이 m_B로 고정된다는 것을 이용한 것이다. 위 제한 조건을 추가함에 따라 자유도가 0이 되는 것에 주목하라. 보이지 않는 입자의 질량을 고정하였을 때 우리는 전체 6개의 자유도를 가지고 있고(k1,2), 여기에 6개의 제한 조건 식을 적용한다. 따라서 M2sB의 최소화는 제한조건 식들의 유일해를 찾는 것과 동등하고, 이것은 새로운 종류의 MAOS 운동량이다. 이 경우 M2sB는 더 이상 “분포”로 나타나지 않고, 그 값은 부모 입자의 질량인 m_B로 고정된다.³ 이렇게 얻은 보이지 않는 입자의 MAOS 운동량은 Eq. (10)로 얻은 것보다 더 정밀하다.

우리는 붕괴하는 부모 입자 즉, B 메손들이 날아가는 방향을 제한 조건으로 사용하여 또 다른 종류의 M₂ 변수를 정의할 수 있다. B 메손이 생성되면 일정한 거리를 날아간 후 붕괴가 일어난다. 미래 입자 가속기 실험에서는 이렇게 부모 입자의 붕괴가 일어난 2차 꼭지점을 꽤 정확하게 측정할 수 있다. 꼭지점 위치를 이용해 Bsig가 생성되어 날아가는 방향은 아래와 같이 추정할 수 있다.

여기에서 r0와 rsig는 각각 Bsig가 생성된 1차 꼭지점과 붕괴 지점에 해당하는 2차 꼭지점의 위치이다. 일반적으로 r0와 rsig의 값들은 어느 정도의 오차를 수반한다. 따라서 우리는 v^sig에 대한 제한 조건을 아래와 같이 표현할 수 있다[27].

여기에서 p^Bsig는 MAOS 운동량으로 얻은 Bsig의 운동량 즉, pBsig=psig+ksigmaos의 단위벡터이다. δsig는 r0,sig 측정 오차로부터 게산할 수 있고, 만약 r0,sig의 측정 오차가 0이라면 δsig도 0으로 주어진다. Equation (17)이 부등식 제한 조건으로 주어져있음에 주목하라. 부등식 제한 조건은 M₂ 계산에서 자유도를 줄이지 않는다. 이러한 방식으로 우리는 붕괴 과정의 특성에 따라 다양한 제한 조건들을 추가할 수 있다. 본 연구에서는 간단한 분석을 위해 실제 r0와 rsig 값을 Belle 또는 Belle II 실험 환경에 맞게 오염(smearing)시킨 후 v^sig를 계산하여 Eq. (17)을 항등식 제한 조건으로 바꿔서 B 메손 질량 조건 대신 M₂에 적용하였다. 이렇게 정의된 M₂ 변수를 M2sV라고 부르겠다. 한편으로 LHCb처럼 질량 중심 에너지가 고정되어 있지 않는 실험에서는 “s”에 대한 제한 조건을 쓸 수 없다. 이 경우에는 “s” 제한 조건을 제외한 M2V 변수를 사용할 수 있다.

우리는 MAOS 운동량의 정밀도를 개선하기 위해 τ가 두 개의 중성미자로 붕괴할 경우 보이지 않는 입자 계의 질량을 추정하는 방법을 추가적으로 고안하였다. M₂를 계산하기 위해서는 보이지 않는 입자 계의 질량을 먼저 입력해야 한다. B 메손 붕괴에서 만들어진 τ가 τ→πν, τ→ρν와 같이 중성미자 한 개로 이루어져있다면 우리는 간단히 Mχ=mν=0으로 둘 수 있다. 중성미자가 두 개가 있더라도 여전히 Mχ=mνν¯=0으로 둘 수 있지만, 실제 mνν¯ 값은 대부분의 경우 0보다 크고, 1 GeV 부근에서 봉우리를 가진다. 결과적으로 mνν¯=0으로 두면 MAOS 운동량의 정밀도는 떨어진다. 다시 말해, 보다 나은 mνν¯ 근사값을 얻을 수 있다면 그만큼 MAOS 운동량의 정밀도를 개선할 수 있다. 우리는 다음과 같은 방법으로 mνν¯의 값을 추정하였다. 먼저, B 메손 쌍이 질량 정지 계에서 거의 정지 상태로 만들어졌다고 가정한다. 그리고 각 B 메손을 실험 좌표계로 부스트한다. 이렇게 얻은 B 메손의 에너지–운동량에서 관측할 수 있는 입자의 에너지–운동량을 빼면 보이지 않는 입자 계의 에너지–운동량 k₁을 얻을 수 있다. 이렇게 구한 k₁으로부터 우리는 mνν¯2=k12를 얻는다. 수치 모사를 통해 우리는 전체 데이터의 86%에서 양수의 mνν¯2를 얻었고, 나머지에 대해서는 음수의 비물리적인 값을 얻었다. 후자의 경우 우리는 k12의 부호를 역전시켰다. 우리는 이렇게 얻은 mνν¯ 값을 M₂에 입력하였다. 이러한 방법으로 얻은 mνν¯와 실제 mνν¯ 값의 비교는 참고문헌[27]에서 확인할 수 있다.

수치 분석을 위해 우리는 EvtGen 몬테 카를로 소프트웨어[28]를 이용해 데이터를 생성하고, Belle II 실험 환경에 맞춰 데이터의 오염 정도를 조절하였다. 새롭게 고안한 M₂ 변수들(M2sB, M2sV, M2V)은 YAM2 라이브러리[22]를 이용하여 구현하였고, 각 M₂ 변수들의 분포들은 Fig. 5에서 볼 수 있다. 비교를 위해 무작위로 뽑은 cosθ를 사용한 Mrecoil 분포도 포함했다. Figure 5에서 τ의 1-prong 붕괴 모드에 따라 각 열에 보였다. Figure 5의 각 행은 r0와 rsig 측정 오차에 따라 나열한 것이다. 첫번째 행은 현재 Belle II 실험 환경에 해당하고, 그 아래 행들에서는 미래에 개선될 Belle II 실험 환경을 가정하였다. 이러한 꼭지점 측정 오차는 M2sV와 M2V에만 영향을 미친다. Figure 5를 살펴보면, τ가 파이온과 같은 강입자로 붕괴하는 경우에는 M2sB가 M2(s)V보다 더 성능이 좋은 반면, 렙톤으로 붕괴하는 경우에는 서로 비슷하다. τ 붕괴 모드들을 합치면 M2sB가 좀더 나은 성능을 보인다. 그러나 rsig의 정밀도가 현재보다 훨씬 높아지면 M2(s)V의 효율이 M2sB와 비슷해지거나 (τ가 강입자로 붕괴할 경우), 더 높아진다 (τ가 렙톤으로 붕괴할 경우).

Figure 5. (Color online) Mrecoil distributions for different experimental setups and for different τsig decay modes (leftmost to rightmost panels: hadronic, leptonic τ decays, or both) [27].

여기에서 우리는 M2sB와 M2(s)V가 뚜렷한 장단점이 있다는 것을 알 수 있다. 전자는 mνν¯ 값에 대한 의존성이 강하다. 후자는 상대적으로 mνν¯에 대한 의존성이 약하지만 그 성능은 꼭지점 측정 오차에 강하게 지배된다. 그렇다면 M2sB와 M2(s)V 가운데 어떤 것을 선택하면 좋을까? 꼭지점 측정 오차가 충분히 작다면 M2(s)V가 더 낫지만, 그렇지 못하다면 M2sB에 부등식 제한 조건을 추가하는 등의 방법으로 효율을 극대화할 수 있을 것이다.

현재의 Belle II 실험 환경에서는 M2sB가 적합하므로 우리는 이것을 이용해 B→Kτμ의 붕괴 갈래비 상한값을 추정하였다. τ 붕괴 모드 가운데 π, μ, e로 붕괴하는 1-prong 붕괴 모드만을 고려하고, τ→lνν¯의 경우에는 앞서 기술한 방법으로 mνν¯의 근사값을 취했다. 우리는 710 fb^-1의 광도에서 B→Kτμ 붕괴 갈래비의 90% CL 상한값 1.2×10−5을 얻었다[27]. 한편으로, 실제 cosθ 값을 사용한 경우에는 0.6×10−5을 얻었다. 후자는 주어진 광도의 데이터에서 얻을 수 있는 이상적인 최소한의 상한값이다. 따라서 간단히 M2sB을 적용한 것만으로도 이상적인 상한값에 근접한 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다.

본 논문에서는 M₂ 운동학 변수를 고강도 입자 가속기 실험 데이터에 적용하여 가벼우면서 보이지 않는 입자의 신호를 배경 신호로부터 분리하거나 보이지 않는 입자를 동반한 새로운 입자 붕괴 신호를 재구성하는 방법에 대해 연구하였다. 그 예제로써 타우의 붕괴 신호로부터 MeV–GeV 규모의 보이지 않는 입자를 찾는 방법과 B 메손의 새로운 붕괴 모드를 재구성하는 방법에 대해 살펴보았다. 각각의 경우에 우리는 적절하게 M₂ 운동학 변수를 새롭게 정의하고 수치 모사를 통해 각각의 경우 새로운 붕괴 신호 갈래비의 향상된 상한값을 얻었다.

M₂ 운동학 변수를 이용한 새로운 전략은 추가 개발의 여지를 가지고 있다. 먼저, 기존의 M₂를 이용한 연구에서는 입자의 on-shell 조건을 항등식으로 써서 M₂를 정의하고 있지만, 우리는 입자 붕괴 꼭지점 위치 등 새로운 제한 조건을 부등식으로 표현하여 M₂를 확장하는 방법을 제안하였다. 이 방식은 미래 입자 가속기 실험에서 꼭지점 위치 측정의 오차를 줄임에 따라 활용 가능성이 매우 높을 것으로 기대한다. 또한, 우리가 제안한 새로운 전략은 다른 종류의 B 메손 붕괴 모드, 특히 B→τμ나 B→Kνν¯ 등에도 적용할 수 있을 것이다.

이 논문은 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (No. RS-2023-00209974).

¹ Mχ=0으로 두면 M₂ 분포의 끝점은 타우의 질량 mτ를 넘지 않는다.

² 1×1 프로세스에서는 τsig의 붕괴로부터 만들어진 렙톤을 구분할 수 없다. 따라서 이 방법은 1×3 프로세스에만 적용할 수 있다.

³ τ→l+ϕ의 경우에는 M₂의 분포 모양의 차이를 통해 표준모형 배경 신호로부터 분리할 수 있었다. 만약 M2sB를 해당 연구에 적용하면 τ→l+ϕ와 표준모형 배경 신호 모두 M2sB의 값이 mτ로 고정되어 분류기로 사용할 수 없다.