기초물리학 교재에서 흔히 1차원 충돌문제에 이어서 2차원 및 3차원에서의 충돌문제가 간단하게나마 언급이 된다[1]. 다체문제(many-body problem)는 기초물리학의 수준을 넘으므로 대개 우선 두 입자의 탄성충돌 문제를 소개하게 되는데, 두 입자의 경우는 항상 2차원 문제로 귀결되므로 3차원은 고려할 필요가 없고 따라서 주로 두 입자의 2차원 탄성충돌 문제에 관하여 간단히 설명하고 있는데, 여기에 다소 미묘한 점이 있어서, 이에 대하여 논해보기로 한다.

두 입자의 질량을 각각 m₁ 및 m₂라고 하고, 충돌 전의 각 입자의 속도를 v1→=v1x, v1y 및 v2→=v2x, v2y라고 하고, 충돌 후의 속도들을 각각 u1→=u1x, u1y 및 u2→=u2x, u2y라고 하면, 이 문제에 관하여 주어지는 수식은 운동량과 운동에너지의 보존법칙으로부터 다음 두 개의 벡터 방정식(vector equations)이 주어진다. 즉,

벡터의 성분으로 써보면, Eq. (1)으로부터

를 얻고, 또 Eq. (2)로부터

를 얻는다. 입사하는 첫 번째 입자의 운동 방향으로 x-축을 잡고 두 번째 입자가 정지해 있는 경우라고 해도 초기 조건으로 v1y=0, v2x=0 및 v2y=0이라는 정보 외에는 다른 것이 없어서, 결국 다음의 세 가지 식이 주어진다.

그렇다면 충돌 후의 속도 u1→과 u2→는 u1x, u1y와 u2x, u2y로 미지수(unknowns)가 네 개인데, 수식은 세 개뿐이므로 해가 일의적으로 정해지지 않게 된다.

대개의 교과서에서는, 그러므로 충돌 후의 한 입자의 속도의 방향을 측정하면 그것이 네 번째 조건이 되어 문제가 풀린다고 설명하고 있는데[2], 그렇다면 고전역학에서는 2차원 탄성충돌에서 무엇이 충돌 후 입자들의 운동 방향을 결정하는지는 알 수가 없고, 따라서 이것들이 어떤 방향으로든 튈 수가 있다는 말이 되어서, 학생들이 혼란을 느낄 수가 있다. 왜냐하면, 당구 경기를 생각해보면, 당구 선수는 수구(cue ball)와 표적구(target ball)가 대략 어떤 방향으로 어떻게 움직일지를 미리 계산하고 경기하는 것으로 보이는데, 이 상황은 그러면 어떻게 된 것인가 하는 의문을 품을 수가 있다.

물론 이것은 당구공이 질점(point mass)이 아니고 부피를 가진 물체이므로 이른바 충격변수(impact parameter)라는 조건이 별도로 주어지기 때문인데[3,4], 질점의 경우 논란의 원인을 원론적으로 말하자면, “질점이란 애초에 실존하는 물리적 객체(physical object)가 아니기 때문”이라고도 할 수 있겠지만, 수리물리적 관점으로 표현한다면, “부피가 ‘measure zero’인 두 질점의 충돌은 impact parameter가 ‘0’인 정면충돌(head-on collision), 즉, 1차원 충돌만 정의되기 때문에, 애초에 2차원 문제로 확장할 이유도 없고, 확장해서도 안 되는 문제였음에도, 이것을 마치 부피를 가진 당구공과 같은 물체의 충돌문제로 착각하게 만든 데서 혼란이 야기되었다.”라고 할 수 있다. 사실 이것이 이 논문 전체의 요지라고 할 수 있다.

기초물리학 수준에서 당구공의 충돌을 이상적인 강체구의 산란(hard sphere scattering) 문제의 예로서 가르칠 수 있고, 학생들도 흥미를 가진다. 지극히 기초적이고 단순할 것만 같은 이 문제에 대하여 교과서에 따라서는 각운동량의 보존과 함께 질량중심계(center-of-mass frame)에서 기술하기도 하고, 또 충돌 순간에 작용하는 마찰력과 회전 운동까지 고려하여 연구한 다양한 수준의 연구논문들도 있다[5-9]. 그러나 아래와 같은 직관적이고 평이한 설명이 학생들로 하여금 보다 쉽게 현상을 이해하게 할 것으로 생각된다.

Figures 1(a) 및 1(b)와 같이 두 당구공의 충돌을 생각해보자. 공들의 반지름을 r이라고 하고, impact parameter, 즉, 수구(cue ball)과 표적구(target ball)의 질량중심의 수직 간격을 b라고 하면, 충돌 순간의 기하학적인 모양은 Fig. 1(b)와 같이 된다. 그림이 보여주는 바와 같이 target ball은 두 공의 질량중심을 잇는 선의 방향으로 충격량(impulse)을 받아 최종속도 u2→로 튀어 나간다. 이때의 각 ϕ는 간단히

Figure 1. (Color online) 2D elastic scattering of two identical hard spheres. (a) The cue ball dashes into the target ball at rest along the x-direction with a velocity v→ and an impact parameter b, the shortest distance between the centers of the balls. (b) The geometry at the moment of contact. The target ball acquires an impulse along the direction parallel to the line that connects the two centers of the balls, with the final velocity u2→. (c) The three velocity vectors u1→, u2→ and v→ constitutes a right triangle as shown by Eqs. (6) and (7).

에서 주어진다. 이것이 바로 네 개의 미지수에 대한 세 개의 등식, 즉, Eqs. (3a)–(3c)와 더불어 네 번째의 조건이 되기 때문에 2차원 탄성충돌 문제가 일의적으로 해가 정해지게 되는 것이다.

더구나 당구공처럼 두 공의 질량과 크기가 같은 경우에 cue ball의 산란각 θ는 더욱 간단히 정해지는데, 충돌 전 target ball가 정지하고 있고 두 공의 질량이 같으므로 우선 다음 두 식을 얻는다.

그런데 이 두 식은 이 세 개의 속도 벡터들이 Fig. 1(c)와 같은 직각삼각형을 형성한다는 것을 말한다. 그러므로 cue ball의 산란각 θ는 간단히

로 주어진다는 사실을 알 수 있다. 이것을 보면 impact parameter가 먼저 target ball의 산란각 ϕ를 결정하고, cue ball의 산란각 θ는 이에 뒤따라서 결정된다고도 볼 수 있다. 이렇게 이 현상을 기술함으로써 학생들이 향후 산란중심에 중력이나 전자기력과 같은 힘의 장(force field)이 있는 경우를 배울 때에 impact parameter가 어떠한 중요한 물리적 조건으로서 작용하게 되는지 쉽게 이해하게 될 것이다.

한편, 일상생활에서 그다지 흔한 예는 아니지만 Fig. 2와 같이 두 강체 공의 질량과 크기가 다른 조금 더 일반적인 경우를 고려해볼 수 있다. 두 구의 질량을 m₁과 m₂라 할 때 그 비를 α=m2/m1라고 하면 Eqs. (5) 및 (6)은 다음과 같이 표현된다.

Figure 2. (Color online) elastic collision in case the cue ball is heavier and bigger than the target ball. (a) Before collision. (b) At the moment of contact, the target ball scatters with velocity u2→, again into the direction of the line that connects the two centers of the balls. (c) The triangle constituted by the three velocity vectors u1→, αu2→ and v→.

이 경우에도 두 개의 동일 구의 경우와 마찬가지로 target ball의 산란각 ϕ는 impact parameter b에 의하여 즉시 결정된다.

Cue ball의 산란각 θ는 다소 복잡한 모양으로 얻어진다. θ와 ϕ를 양수로 취급하면 Fig. 2(c)로부터 벡터 u1→과 u2→의 사잇각이 θ+ϕ이므로, Eq. (8)의 제곱으로부터

를 얻는다. 이것을 Eq. (9)과 비교하면

또 Eq. (8)의 y-성분에 관한 등식으로부터 다음과 같은 관계식을 얻는다.

여기서 속도 u2→의 y-성분에 음의 부호가 붙은 이유는 각 ϕ가 양수로 취급되었기 때문이다. 이것을 가지고 다시 Eq. (12)으로 돌아가면

를 얻고, 이는 다음과 같이 정리된다.

여기서 Eq. (10)을 고려하면,

을 얻는다. 이 산란각들이 얻어지면, Eqs. (8) 및 (13)으로부터

를 얻고, 이는 다시

로 정리되므로, 결과적으로 아래와 같이 u₁과 u₂에 대한 해를 얻는다:

동일한 질량의 경우 α=1이므로, u₁과 u₂는 산란각 θ 및 ϕ와 함께 labeling을 맞교환할 수 있게 되고 이는 당연한 귀결이다.

이제 이 문제를 각운동량의 보존법칙의 관점에 따라서 해결해보면 다음과 같다. 표적구의 중심에 대한 충돌 전후의 각운동량의 보존을 생각하면 다음과 같은 식을 얻는다. 표적구의 중심으로부터 수구의 중심을 향하는 단위 벡터를 r^이라고 하면, 충돌 후의 표적구의 중심에 대한 표적구의 각운동량은 0이므로

즉,

을 얻고, Eq. (10)을 고려하면

즉, Eq. (19a)가 바로 얻어진다. 산란각 θ는 Eq. (16)까지의 과정으로 정해진다.

Equations (19a) 및 (19b)까지는 각운동량의 보존칙을 사용하지 않고 Eq. (10)만으로 같은 결과를 얻었지만, 각운동량의 보존칙, 즉, Eq. (20)를 쓰면 해가 이렇게 쉽게 얻어진다는 것은 특기할 만하다. 그리고 Eq. (10) 대신 Eq. (20)을 써도 네 개의 미지수에 네 개의 등식이 주어진 상황이므로 원론적으로 해가 얻어져야 하지만, 그렇게 하면 계산 과정이 불필요하게 복잡하게 될 뿐이다.

결론적으로 Eq. (10)은 직관적인 관계식이지만 탄성충돌 문제에 있어서 매우 유용한 단서가 되는데, 이는 물론 고전역학에 있어서 두 물체 간의 힘은 두 물체의 질량중심을 잇는 방향으로 작용한다는 기본원리에 근거한다. Equations (19) 및 (19b)까지의 과정에서 보이는 바와 같이 이 관계식이 각운동량의 보존법칙을 대신할 수 있으므로 이것이 각운동량의 보존칙과 동등(equivalent)한 관계식이라고도 할 수 있고, 또 한편으로는 Eqs. (21) 및 (22)에서 보이듯이 이는 각운동량의 보존법칙을 뒷받침하여 해를 쉽게 얻게 하는 핵심적인 조건임을 알 수 있다.

이 연구는 2023년도 광주대학교 대학 연구비의 지원을 받아 수행되었습니다.