대부분의 물리학 과목에 수학은 필수적이며, 수학적 개념을 아는 것은 물리학 이해에 중요하다[1, 2]. 대학생들은 수학 수업뿐만 아니라 화학, 공학, 물리학 등 많은 분야에서 수학과 관련된 개념을 접하고, 이런 수학적 개념을 아는 것과 복잡한 수학적 개념의 계산 풀이는 전공 물리학을 학습할 때 특히 중요하다[3].

물리량 간의 관계를 표현하기 위해서는 미분의 개념을 정확히 이해하고 사용해야 하지만 학생들은 벡터 미적분학을 사용할 때 수학적 기술을 물리적 맥락에 적용하는 데 어려움을 겪고 있으며[4, 5], 수학은 추상적이어서 학생들이 배우기 어려워하고, 미·적분식을 활용한 계산에 어려움을 겪고 있다[6, 7]. 수학적 개념 중 컬은 보존력, 패러데이 법칙, 맥스웰 방정식을 이해하는 데 필요하다. 하지만 학생들은 연산자의 물리적 의미보다는 방정식과 계산에 집중하는 경향이 있고, 컬에 대하여 잘못된 개념을 가지고 있거나 컬의 개념을 정확하게 이해하는 데 어려움을 겪고 있다[8-10].

전자기학 맥락에서 미적분 및 컬을 다룬 선행연구에 따르면 벡터 미적분과 관련된 문제를 해결할 때 학생들은 전자기학을 이해하기 위해서는 적분이 필요하다고 인식하였지만, 적분을 계산할 때 기호가 가지고 있는 물리적인 의미를 해석하는 데 어려움을 겪는다고 보고되었다[7]. 또, 학생들은 컬의 개념 설명하거나 컬을 계산하는 것을 어려워하며 컬이 0인 부분을 찾을 때 정성적 추론에 일관성이 없다고 보고되었다[9]. 또 다른 선행연구에서는 일반 물리학 수준에서 컬 연산자 자체에 대한 문제에서는 컬 연산자의 개념을 적절하게 기술하였으나, 컬 연산자와 자기장을 합친 전공 물리학 수준의 문제를 질문했을 때는 미분 개념을 적절히 활용한 응답자가 거의 없었다[11].

역학 맥락에서 컬을 다룬 연구도 진행되고 있다. 미적분을 이용하여 문제를 풀이할 때 학생들이 느끼는 어려움에 관한 Gülçiçek[2]의 연구에서 제시된 힘이 보존력인지 증명하는 문항은 80%의 정답률이 나왔으나 3차원 보존력장에서 힘이 한 일의 정답률은 0%였다. Çağlar Gülçiçek는 학생들이 미적분에 관한 충분한 이해가 없다면 물리학을 계산할 때 어려움을 느끼므로, 대학 교육과정을 설계할 때 수학과 물리가 수평적인 관계가 아닌 수직적인 관계여야 한다는 것을 시사하였다. 또, Ambrose[10]는 x-y 평면의 벡터장을 4개의 문항으로 만들어서 학생들에게 컬이 0인 부분을 찾게 한 뒤 4개의 문항 중에서 어떤 벡터장이 보존력장인지 학생들의 의견을 조사하는 검사지를 개발하여 사용하였다. 연구 결과에 따르면 컬의 유무를 묻는 문항에는 정답률이 20%였고, 보존력장의 유무에 관한 문항에 40% 정도의 정답률이 나왔으며 학생들은 보존력을 판별할 때 벡터 크기의 변화에 초점을 맞추는 경향이 있다고 보고하였다. Jung and Lee[12]는 전공 역학 과정에서 학생들이 컬을 어떻게 이해하는지 조사하고 그 원인을 분석하였는데, 이 연구에서 ‘컬이 무엇이라고 생각하는가?’라는 질문에 80% 정도의 학생이 ‘회전’이라는 단어를 사용하여 설명하였다. 하지만 ‘컬에 대해서 얼마나 이해하고 있다고 생각하는가?’에 대한 질문의 리커트 척도 조사는 1.27로 학생들은 컬에 대한 이해 수준을 낮게 평가하고 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 학생들은 컬에 대한 학습에서 정성적 이해와 수학적 이해 사이에 갈등을 느끼며 이를 극복하지 못하는 상황에서 어려움을 느낀다는 결론을 도출하였다.

보존력은 일반물리 수준에서부터 전공 역학, 전공 전자기학까지 언급되는 개념으로 물리학을 이해하는 데 중요하며, 보존력의 조건을 이해하기 위해서는 컬과 경로에 따른 적분 등의 수학적 개념에 대한 이해가 필요하다. 하지만 물리교육 분야에서 컬과 보존력에 대한 연구는 국내에서 거의 보고되지 않았다. 따라서 본 연구에서는 물리 예비교사의 보존력 및 컬과 스토크스 정리에 대한 이해의 특징을 알아보고 전공 역학 학습에 대한 시사점과 교육적 의의에 대해서 논의하고자 한다. 본 연구의 목적은 예비 물리교사가 컬, 스토크스 정리 및 보존력에 대하여 어떻게 이해하고 있는지 알아보기 위한 것으로 연구 문제는 다음과 같다.

첫째, 예비 물리교사의 컬 개념에 대한 이해의 특징과 컬과 관련된 문제풀이에서 나타나는 특징은 어떠한가?

둘째, 예비 물리교사의 보존력 개념에 대한 이해의 특징과 보존력 관련 문제풀이에서 나타나는 특징은 어떠한가?

셋째, 수학과 물리학 학습 맥락에서 컬과 보존력의 개념 이해에 대한 예비 물리교사의 어려움은 무엇인가?

본 연구는 남부 지역에 위치한 사범대학의 물리교육과 학부생 2–4학년을 대상으로 실시하였으며, 국립순천대학교 생명윤리심의위원회(IRB) 심의를 거쳐 연구를 수행하였다(IRB 승인번호: 1040173-202207-HR-022-02). 연구 대상은 총 27명으로 2학년 10명, 3학년 8명, 4학년 9명으로 구성되어 있다. 해당 물리교육과의 학생들은 1학년 2학기에 수리물리학1 과목을 수강하고 2학년 1학기에 수리물리학2와 역학1을 수강한다. 학생들이 수강하는 수리물리학에서는 전공물리학 관련 미적분학 내용이 있으며 그 중에 델 연산자를 활용한 기울기, 회전, 발산 등의 개념이 포함되어 있다. 2학년 1학기 역학1 범위에 보존력과 중심력 단원을 학습하며 보존력과 컬 연산자를 활용한 벡터장의 회전이 포함되어 있다. 연구 자료의 수집은 2022년 5월과 6월에 걸쳐 진행되었으며, 본 연구의 참여자 중 가장 적은 전공 과목을 수강한 학생도 수리물리학과 역학1에서 해당 내용을 학습했다고 볼 수 있다. 그러나 해당 범위의 학습만으로 벡터장과 벡터함수를 완전히 이해했다고 보기는 어렵다. 벡터장에 대한 이해를 조금 더 정확히 이해하기 위해서는 전공 전자기학에서 다루는 벡터함수에 대한 이해가 필요하기 때문이다. 본 연구에서는 수리물리학과 전공 역학 수준의 관련 내용을 학습한 학생들을 대상으로 하며, 이를 통해 교수-학습 관련 시사점을 수리물리학과 전공역학 수준에서 도출하고자 했다. 다만 학년이 다른 학생들을 대상으로 연구가 수행되어 있어 연구 결과를 연구대상자 전체의 이해 수준으로 일반화할 수 없다는 한계가 있다.

설문지는 예비 물리교사가 컬 및 보존력에 대하여 어떻게 이해하고 있는지 알아보기 위하여 선행연구 및 전공 도서를 참고하여 개발하였으며, 본 연구의 취지에 맞는 문항으로 구성되어 있는지 확인하기 위하여 물리교육 전문가 1인과 석사 과정 대학원생 2인의 지속적인 검토를 거쳐 수정·보완하였다. 스토크스 정리는 임의의 면에서의 회전(curl)과 닫힌 경로에서의 선적분의 관계에 대한 정리이며 닫힌 경로에서의 보존력에 의한 일과 보존력의 회전은 0이다. 따라서 본 연구에서는 스토크스 정리, 회전, 보존력에 의한 일 사이의 관계에 대한 학생들의 인식을 조사하기 위해 설문지를 개발하였다(Fig. 1). 설문지의 문항 1과 문항 2는 보존력과 관련된 수학적 개념인 컬과 스토크스 정리에 관한 문항으로, 문항 1은 컬의 연산자와 의미에 대해서 어떻게 이해하고 있는지 확인하는 문항이다. 문항 2-1에서 2-3은 선적분, 면적분에 대한 문제를 풀이할 때 나타나는 특징을 확인하는 문항이며, 문항 2-4는 스토크스 정리에 대한 의미를 어떻게 이해하고 있는지 확인하기 위하여 개발하였다.

Figure 1. Research diagram of curl, work and Stokes’ theorem.

문항 3에서 문항 7까지는 보존력과 관련된 문항이다. 문항 3은 보존력의 정의를 적고, 보존력을 듣고 연상되는 물리적 상황을 그림으로 그리는 문항이며, 문항 4는 보존력의 조건을 고르는 문항으로 예비 물리교사가 이해하고 있는 보존력의 개념을 확인하기 위하여 개발하였다. 문항 5-1은 벡터장의 제시된 영역에서 컬이 0인 부분을 고르는 문항, 문항 5-2는 제시된 벡터장 중 보존력장을 고르는 문항으로 예비 물리교사가 보존력 및 컬 개념에 대해 어떻게 이해하고 있는지 확인하기 위하여 개발하였다. 다만 문항 5-1과 5-2는 벡터 다이어그램만을 이용하여 컬이 0인 부분과 보존력장에 대한 학생들의 응답을 확인하였다. 그러나 벡터장에 대한 함수 없이 벡터 다이어그램만으로 보존력을 판별하는 것은 정확한 판별은 충분하지 않다. 그러나 해당 문항은 벡터 다이어그램을 통해 학생들이 수집한 정보와 그에 따른 판별의 이유를 분석하는 것에 초점을 두었다. 이에 따라 벡터 함수를 통한 컬 계산과 보존력 여부를 묻는 문항을 문항 6과 7을 통해 추가 제시하였다.

문항 6과 문항 7은 보존력과 관련된 문제 풀이 과정을 분석하기 위한 문항이다. 문항 6은 제시된 힘의 보존력 여부를 판별하는 계산 문항이고, 문항 7은 주어진 좌표와 힘을 사용하여 힘의 장이 한 일을 구하는 문항이다. 이 문항은 보존력에 대한 예비 물리교사의 이해와 보존력 관련 문제 풀이 과정에서 나타난 특징을 확인하기 위하여 개발하였다.

마지막으로 문항 8, 문항 9, 문항 10은 컬과 보존력을 학습할 때 느꼈던 어려움을 설명하는 문항으로, 문항 1–7에서 작성한 내용과 관련지어 분석하기 위하여 개발하였다. 결과 분석은 예비 물리교사의 응답을 연구자가 분석하여 귀납적으로 범주화하였으며 석사 과정 대학원생 1인이 검토하였다. 연구자와 석사 과정 대학원생의 의견이 다를 경우 물리교육 전문가 1인이 최종적으로 검토하여 수정·보완하였다. 설문의 응답만으로 분석하기 어려운 부분은 추가로 정보를 얻기 위하여 예비 물리교사 3명에게 면담을 요청하여 진행하였다. 설문지의 설문 내용은 Table 1과 같다.

Table 1 Questionnaire composition contents.

Question number	Category	Contents	Type of answers
1	Curl concepts & calculus calculations related to curl	Operator and meaning of the curl	Writing
2-1		Calculation of line integral 1	Calculating
2-2		Calculation of line integral 2	Calculating
2-3		Calculation of surface integral	Calculating
2-4		Meaning of Stokes’ theorem	Writing
5-1		∇→×F→=0 Distinction	Writing
3	Conservative force concepts & calculus calculations related to conservative force	Definition of Conservative force	Writing
4		Conditions of Conservative force	Choosing
5-2		Discrimination of conservative force field	Writing
6		Prove of conservative force	Calculating
7		Work done by conservative force	Calculating
8	Difficulty with Curl and Conservative force	Difficulty with curl in mathematics	Writing
9		Difficulty with curl in physics	Writing
10		Difficulty with Conservative force	Writing

1. 컬에 대한 이해

1) 컬 개념 이해

설문지의 문항 1은 컬 연산자를 쓰고 컬의 의미를 설명하는 문항이다. 컬 연산자를 적으라는 문항에 5명(19%)의 학생이‘∇×’로 응답하였으나, 6명(22%)은 ‘∇×’을 적고 난 뒤에 힘 벡터를 추가로 작성하였다(∇×F). 27명 중 11명(41%)은 컬 연산자를 델 연산자(∇)로 인식하고 있었으며, 5명(19%)은 응답하지 못하였다(Table 2).

Table 2 Answers for the operator of the curl.

Category	No. of responses
∇×	5(19%)
∇×F	6(21%)
∇	11(41%)
No answer	5(19%)
Total	27(100%)

문항 1의 컬의 의미에 대한 예비 물리교사의 응답을 회전, 회전 외의 범주로 나누어 분석하였으며 응답 내용은 Table 3과 같다. 회전 범주에 속한 응답 내용을 살펴보면 단순하게 ‘회전’이라고 응답하거나 ‘벡터의 회전성 여부를 판단’, ‘소용돌이치는 정도,‘회전성을 갖는 힘’ 등 컬의 의미를 회전과 연관 지어 설명하였다. 회전 외 범주에 포함된 응답 내용은 벡터 미분 연산자(∇)를 편미분 형태의 식으로 작성하거나, 편미분과 연관 지어 설명하기도 하였다. 또, 단순하게 연산자라고 응답한 예비 물리교사도 있었다.

Table 3 Answers for the meaning of the curl.

Category	Answers	No. of responses
Rotation	Rotation/ Rotation/ Rotation/ Determining the rotationality of a vector/ Degree of swirling/ Rotational force/Rotational force/ Analysis of the rotatability of a function/ Checking if the physical quantity is spinning/ Rotation operator	10(37%)
Besides rotation	∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^/ ∇=iddx+jddy+kddz/ ∂∂x+∂∂y+∂∂z/ Partial differentiation for each element in determinant calculation/ Helping with calculations in each direction/ Outer product of vector field/ Partial derivative/ Operators used to compute vectors related to conservation/ Vector operator	9(33%)
No answer		8(30%)
Total		27(100%)

2) 스토크스 정리에 대한 이해

문항 2(Fig. 2)는 총 네 문항으로 구성되어 있는데, 2-1, 2-2는 경로에 따른 선적분을 구하는 문항, 2-3은 면적분을 구하는 문항, 2-4는 선적분과 면적분 값이 같을 경우 무엇을 의미하는지 설명하는 문항이다. 문항 2의 응답 결과는 Table 4와 같다. 문항 2-1, 문항 2-2, 문항 2-3에서 정답률은 모두 0%이었으며, 문항별 오답을 적은 예비 물리교사는 각 15명(56%), 11명(41%), 11명(41%), 9명(33%) 이었다. 그리고 무응답에 각 12명(44%), 16명(59%), 16명(59%), 18명(67%)이 있었다. 문항 2의 분석 결과에 따르면 예비 물리교사는 선적분 및 면적분에 대한 수학적인 계산을 어려워하는 경향이 있으며, 응답하지 않은 학생의 분포는 비슷하나 선적분보다 면적분에서 응답하지 않은 예비교사가 많은 것으로 보아 면적분을 더 어려워하는 경향이 보인다.

Figure 2. Calculus calculations related to curl & Meaning of Stokes’ theorem(Question 2).

Table 4 Response rate for Question 2.

Category	Number of responses
	Question 2-1		Question 2-2	Question 2-3
	Line integral for C1 (A→B→C)	Line integral for C2 (C→A)	Line integral for closed paths (A→B→C→A)	Surface integral(S)
Correct	0(0%)
Wrong	15(56%)	11(41%)	11(41%)	9(33%)
No answer	12(44%)	16(59%)	16(59%)	18(67%)
Total	27(100%)	27(100%)	27(100%)	27(100%)

문항 2-4는 ‘문항 2-2와 2-3이 같을 경우 이는 물리적으로 무엇을 의미하는지 설명하시오’라고 제시되었다. 이 문항은 폐경로에 대한 선적분과 면적분의 답이 같으면 ‘폐경로에 대한 면적분은 무수하게 많이 쪼갠 작은 선적분들의 합과 같고, 이 작은 선적분 값은 컬의 개념으로 생각할 수 있다.’라는 스토크스 정리의 의미를 알고 있는지 확인하는 문항이다. 문항 2에서 선적분, 면적분에 대한 수학적인 계산을 통해 정답을 적은 학생은 0명이었으며, 스토크스 정리의 의미를 묻는 문항 2-4에 27명 중 1명(4%)만 ‘스토크스 정리. 면을 따라 회전한 것과 그 면의 둘레를 선적분한 값이 같다.’라고 응답하였다.

3) 벡터장에서 컬 판별

문항 5-1은 2차원 벡터장 3개를 제시한 뒤 총 9개의 직사각형 영역에서 컬 여부를 판별하는 문항이다. y축을 기준으로 +x 와 –x에서 벡터의 방향이 다른 직선 벡터장 (a)의 응답 결과는 Table 5와 같다. 벡터장 (a)의 각 영역에서 컬 판별을 제대로 한 예비 물리교사는 총 5명(19%)이었으며, 그중 2명(7%)은 정답을 고른 이유를 설명하지 않았고, 2명(7%)은 ‘①, ③에서 벡터의 방향이 일정해서’라고 설명하였으며, 1명(4%)은 ‘바람개비가 있다고 상상해서 돌아가면 컬이 0이 아니다’라고 응답하였다. 벡터장 (a)의 중앙인 영역 ②에서만 컬이 0이라고 응답한 Wrong 1 유형의 예비 물리교사가 16명(59%)으로 응답자 수가 가장 많았는데, 이들의 응답 내용을 살펴보면 16명(59%) 중 8명(30%)이 ‘영역 안의 벡터의 크기가 같아서 상쇄된다’라고 응답하였다. 또, 모든 영역에서 컬이 0이라고 응답한 Wrong 2 유형의 예비 물리교사는 총 2명(7%)이었으며, 응답 이유로 ‘힘의 방향과 직각일 때 컬 F가 0이다’,‘회전하는 것이 눈에 안보인다’라고 응답하였다.

Table 5 Response rate by group in vector field(a).

Question 5-1(a)	Curl distinction				No. of responses
	Group	①	②	③
	Correct	O	X	O	5(19%)
	Wrong 1	X	O	X	16(59%)
	Wrong 2	O	O	O	2(7%)
	No answer				4(15%)
	Total				27(100%)

* O: If the curl in the area is zero * X: If the curl in the area is non-zero

Table 6은 시계 반대 방향으로 회전하는 벡터장의 컬 판별 문항에 대한 응답 결과이다. 모든 영역 ④, ⑤, ⑥에서 컬 판별을 모두 맞힌 정답 유형의 예비 물리교사는 1명(4%)이었으며, 응답 이유로 ‘모든 영역에 속한 화살표가 회전성을 띠고 있다.’라고 응답하였다. 27명 중 15명(55%)의 Wrong 1 유형 예비 물리교사는 회전하는 벡터장의 중심인 영역 ⑤에서만 컬이 0이고, 중심을 제외한 ④, ⑥ 영역에는 컬이 0이 아니라고 응답하였다. 이들의 응답 이유를 살펴보면,‘⑤는 회전하여 0이 되지만 ④, ⑥은 회전하는 성질이 0이 되지 않는다.’, ‘⑤에서 서로 상쇄되기 때문이다.’,‘회전성이 있는 부분이 ⑤이기 때문이다.’라고 응답하였다. 응답 이유로 보아 Wrong 1 유형에 속한 예비 물리교사는 영역 안의 벡터를 합산하는 경향이 있었다. 벡터장 (b)의 영역 ④에서는 컬이 0이지만 ⑤, ⑥에서는 컬이 0이 아니라고 응답한 Wrong 2 유형의 예비 물리교사는 4명(15%)이었다. 4명 중 3명은 이유를 설명하지 않았으며 이유를 설명한 1명은 ‘힘의 방향과 직각일 때 컬 F가 0이라고 들어서’라고 설명하였다. 영역 ④, ⑥에서 컬이 0이고 벡터장의 중심인 ⑤에서만 컬이 0이 아니라고 답한 Wrong 3 유형의 예비 물리교사는 2명(7%)이었고, 이들의 응답 이유를 살펴보면 ‘회전이 ⑤밖에 없다’. ‘④, ⑥에서만 진행 방향이 일정하여서’라고 응답하였다. 영역 ⑥에서만 컬이 0이라고 응답한 Wrong 4 유형의 예비 물리교사는 1명(4%) 있었으며, 응답 이유를 설명하지 않았다.

Table 6 Response rate by group in vector field(b).

Question 5-1(b)	Curl distinction				No. of responses
	Group	④	⑤	⑥
	Correct	X	X	X	1(4%)
	Wrong 1	X	O	X	15(55%)
	Wrong 2	O	X	X	4(15%)
	Wrong 3	O	X	O	2(7%)
	Wrong 4	X	X	O	1(4%)
	No answer				4(15%)
	Total				27(100%)

* O: If the curl in the area is zero * X: If the curl in the area is non-zero

Table 7는 벡터장 c의 컬 판별에 대한 물리교사의 응답 결과이다. 벡터장의 모든 영역 ⑦, ⑧, ⑨에서 컬이 0이라고 바르게 응답한 예비 물리교사는 4명(15%)이었고, 4명 중 3명은 이유를 적지 않았으며 1명은 ‘눈으로 보이는 회전이 없을 뿐만 아니라 전체적으로 볼 때 회전 같음’이라고 응답하였다.

Table 7 Response rate by group in vector field(c).

Question 5-1(c)	Curl distinction				No. of responses
	Group	⑦	⑧	⑨
	Correct	O	O	O	4(15%)
	Wrong 1	X	X	X	9(33%)
	Wrong 2	X	O	X	7(26%)
	Wrong 3	O	X	O	3(11%)
	No answer				4(15%)
	Total				27(100%)

* O: If the curl in the area is zero * X: If the curl in the area is non-zero

벡터장의 모든 영역에서 컬이 0이 아니라고 응답한 Wrong 1 유형의 예비 물리교사는 총 9명(33%)이었고, 이 유형의 예비 물리교사는 응답 이유에‘회전성이 있는 부분이 없다.’, ‘전부 안으로 모여들어 0의 성질이 없다.’,‘벡터 방향이 모두 한곳을 가리키고 있어서 컬이 0이 아닌 것 같다.’라고 설명하였다. 벡터장의 중심인 영역 ⑧에서만 컬이 0이라고 응답한 Wrong 2 유형의 예비 물리교사는 7명(26%)이 있었으며 응답 이유로 ‘영역 ⑧에서 힘이 원점으로 모인다.’,‘영역 ⑧에서 서로 상쇄되기 때문이다.’,‘영역 ⑧에서 벡터가 한 점에 모인다.’라고 응답하였다. 이 응답 내용으로 보아 Wrong 2 유형의 예비 물리교사는 컬이 0인 부분을 고르는 질문에 벡터들을 서로 합산하여 합력이 0이 되는 영역을 고른 경향이 있었다. 오답 2 유형과 반대로 영역 ⑧에서만 컬이 0이 아니라고 응답한 Wrong 3 유형의 예비 물리교사가 3명(11%) 있었는데, 이들은 응답 이유로 ‘영역 ⑦, ⑨에서는 진행 방향이 일정하지만 ⑧에서는 진행 방향이 다르다.’라고 설명하였다.

2. 보존력에 대한 이해

1) 보존력과 비보존력 개념 이해

문항 3은 보존력과 비보존력을 비교하여 설명하고 연상되는 그림을 그리는 문항이다. 예비 물리교사가 보존력과 비보존력을 과학적인 설명으로 응답했는지 알아보기 위하여 Serway 대학물리학[13], Fowles 해석역학[14]에 나와 있는 보존력에 대한 설명을 기준으로 하여 응답을 분석하였다. 분석 결과는 Table 8과 같다. 응답 분석 결과에 의하면 보존력과 비보존력을 과학적으로 설명한 예비교사는 3명(11%)이 있었으며, 19명(70%)은 과학적인 설명을 하지 못하였고 5명(19%)은 응답하지 못하였다. 과학적으로 설명하지 못한 예비교사의 응답 내용을 살펴보면 과학적인 용어를 사용하지 않거나 논리적인 설명을 하지 못하였다. 이것으로 보아 예비 물리교사는 보존력과 비보존력을 과학적으로 설명하는 것을 어려워하는 것으로 보인다.

Table 8 Scientific response rate to conservative force explanations.

Category	Answers	No. of responses
Scientific answer	P8: Conservative force is the same as the work done by force when the starting and ending points are the same regardless of the object's path of movement. Work done by non-conservative force is depend on the path. P10, P19: ∇×F=0 is conservative force	3(11%)
Unscientific answer	P2: A conservative force occurs if the object moves and the trail's shape is closed, and a non-conservative force occurs if it is open. P11: Conservative force is a force that maintains the force without going outside, non-conservative force is a force that is not maintained.	19(70%)
No answer		5(19%)
Total		27(100%)

예비 물리교사가 보존력과 비보존력을 구분하는 기준은 다음과 같았다(Table 9). 여러 유형 중 3가지 유형에서 비슷한 응답자 수가 있었는데 에너지 보존 여부, 힘 보존 여부, 경로 연관 유무로 비교하여 설명한 응답이다. 에너지 보존 여부(22%)로 보존력과 비보존력을 비교하여 설명한 예비교사는 ‘보존력이란 역학적 에너지와 위치 에너지가 서로 보존되는 것이고 비보존력이란 마찰과 같은 힘이 작용하여 에너지가 보존되지 않는 것’ 등으로 설명하였다. 힘 보존 여부(19%)로 비교 설명한 예비교사는 ‘보존력은 보존되는 힘이고 비보존력은 보존되지 않는 힘’으로 설명하였으며, 경로 연관 유무(19%)로 설명한 예비교사는 ‘보존력은 시간, 이동 경로에 무관하게 작용하는 힘이고 비보존력은 시간과 이동 경로와 관련있는 힘’이라고 설명하였다. 그리고 ∇×F=0 여부에 2명(7%), 기타 유형에 3명(11%)이 있었으며, 5명(19%)은 응답하지 못하였다.

Table 9 Answers to criteria that distinguishing of conservative force and non-conservative force.

Category	Answers	No. of responses
Conservation of energy	- Conservative force is conservation of mechanical energy and potential energy, Non-conservative force is that energy is not conserved due to a force such as frictional force.	6(22%)
Conservation of force	- Conservative force is a force of that conserved, Non-conservative force is a force that is not conserved.	6(22%)
Path relation or not	- Conservative force is a force that acts independently of time and path, Non-conservative force is force related to time and path.	5(19%)
∇×F→=0	- Conservative force is ∇×F=0, Non-conservative force is ∇×F≠0	2(7%)
Etc	- Faraday’s law - Conservative force: Magnet, Non-conservative force: Electromagnetic wave	3(11%)
No answer		5(19%)
Total		27(100%)

문항 3에는 보존력과 비보존력을 비교하여 설명하고 보존력 및 비보존력 연상 그림을 추가로 그리도록 하였다. Table 10은 문항 3의 보존력 및 비보존력 연상 그림에 대한 예비 물리교사의 응답을 물체의 운동, 벡터장, 일과 에너지 유형으로 구분하여 분석한 표이며, Table 10의 그림은 각 유형을 대표하는 응답이다. 보존력 연상 그림으로 공기저항이 없는 자유낙하 운동에 6명(22%)으로 가장 많이 응답하였으며 마찰이 없는 물체의 운동에 3명(11%), 물체의 탄성 충돌 운동에 2명(7%)이 응답하였다. 그다음으로 벡터장 유형에 속한 예비 물리교사의 응답을 살펴보면, 5명(20%) 중 3명(11%)은 올바른 보존력장 그림을 그렸지만, 2명(7%)은 비보존력장 그림으로 보존력을 표현하였다. 일과 에너지 유형에 속한 예비 물리교사는 총 5명(20%)이었으며, 3명(11%)은 경로에 무관하게 물체가 한 일이 같다고 설명하였고, 2명(7%)은 계에서 에너지가 보존되는 상황으로 보존력을 표현하였다.

Table 10 Answers for Drawing of a situation in which conservative force and non-conservative force.

Conservative force			No. of responses		Non-conservative force		No. of responses
Category		Drawing			Category	Drawing
Object motion	A free-fall movement without air resistance		6 (22%)	11 (41%)	A free-fall movement with air resistance		1 (4%)	11 (41%)
	Motion without friction		3 (11%)		Friction motion		7 (26%)
	Elastic collision motion		2 (7%)		Inelastic collision movement		2 (7%)
					Spring pendulum movement		1 (4%)
Vector field	Conservative field		3 (11%)	5 (20%)	Conservative field		3 (11%)	5 (20%)
	Non-conservative field		2 (7%)		Non- conservative field		2 (7%)
Work and Energy	Irrelevant to the path		3 (11%)	5 (20%)	Route- dependent		4 (15%)	6 (21%)
	conservation of energy in the system		2 (7%)		discharge of energy in the system		2 (7%)
No answer				6 (22%)	No answer			7 (26%)
Total				27 (100%)	Total			27 (100%)

비보존력 연상 그림으로 마찰력이 작용하는 운동 그림에 가장 많이 응답하였으며 물체의 비탄성 충돌 운동에 2명(7%), 공기저항이 있는 자유낙하 운동에 1명(4%), 용수철의 진자 운동에 1명(4%) 있었다. 그다음으로 벡터장 유형에 속한 예비 물리교사의 응답 내용을 살펴보면, 비보존력을 듣고 연상되는 물리적 상황으로 3명(11%)이 보존력장 그림을 그렸으며, 2명(7%)이 비보존력장 그림으로 표현하였다. 또, 일과 에너지 유형에 속한 예비 물리교사는 총 6명(21%)으로, 4명(15%)이 경로에 의존하는 물체가 한 일로 설명하였으며, 2명(7%)이 계에서 에너지가 방출되는 상황을 그림으로 표현하였다.

보존력과 비보존력 연상 그림 중 물체의 운동 유형을 살펴보면 예비 물리교사는 보존력과 비보존력 연상 그림으로 물체가 자유낙하 하는 운동, 마찰 유무에 따른 물체의 운동, 물체의 충돌 운동 유형이 공통적으로 나타났지만, 비보존력의 연상 그림에서 물체의 용수철 진자 운동 유형이 추가되었음을 알 수 있다.

문항 4(Table 11)는 제시된 네 가지의 조건 중에서 보존력의 조건을 모두 고르는 복수 선택 문항으로, 예비 물리교사가 복수 선택한 보존력의 조건별 응답률은 Table 11과 같다. 각 조건의 의미를 살펴보면, 조건 ①은‘보존력은 퍼텐셜 에너지로 대표된다’이고, 조건 ②는‘보존력이 한 일은 경로에 의존하지 않는다’, 조건 ③은‘폐경로에서 보존력이 한 일은 0이다’, 조건 ④는‘컬이 0이다’이며, 네 가지 조건 모두 보존력의 조건이다. 네 가지 조건 모두 보존력의 조건임에도 불구하고 조건 ①과 조건 ②에 각 5명(19%), 8명(30%)의 예비교사가 응답하였으며, 조건 ③과 조건 ④를 보존력의 조건으로 인식하고 있는 예비교사는 각 14명(52%), 20명(74%)이었다. 조건 ④(∇×F→=0)에 보존력의 조건으로 가장 많이 응답하였는데, 응답 이유를 살펴보면 ‘보존력의 대표 조건이다’,‘보존력의 정의이다’등으로 설명하였다.

Table 11 Multiple response rate to Question 4.

Question 4		No. of responses (N=27)
	① V(r→)=-∫r→sr→F→(r)→·dr→	5(19%)
	② ∫C1F→·dr→=∫C2F→·dr→	8(30%)
	③ ∮CF→·dr→=0	14(52%)
	④ ∇×F→=0	20(74%)

문항 5-2는 4개의 2차원 벡터장을 제시한 뒤, 제시된 벡터장이 보존력장인지 판별하는 문항이다(Fig. 3). 이 문항은 예비 물리교사가 보존력장을 판별할 때 어떤 기준으로 판별하는지 알아보기 위한 목적으로 제시되었으며, 특별한 수학적 계산 없이 전체적인 상황을 보고 판별하도록 하였다. 벡터장 (a)는 방향이 일정한 직선 벡터장이며, 벡터장 (b)는 시계 반대 방향으로 회전하는 벡터장, 벡터장 (c)는 중심으로 향하는 벡터장, 벡터장 (d)는 방향은 같지만 크기가 다른 직선 벡터장이다. 4개의 벡터장 중 보존력장은 벡터장 (a)와 벡터장 (c)이다. 문항 5-2에서 예비 물리교사가 고른 보존력장 판별 결과는 Table 12와 같다.

Figure 3. Discrimination of conservative force field(Question 5-2).

Table 12 Response rate to Question 5-2.

Classification	Vector field
	(a)	(b)	(c)	(d)
No. of responses (N=27)	4(15%)	17(63%)	7(26%)	4(15%)

벡터장 (a)가 보존력장이라고 응답한 예비 물리교사는 4명(15%)이었으며, 이들의 응답 이유를 살펴보면 ‘상쇄되는 것이 없기 때문에’, ‘힘의 크기와 상관없이 서로 직각일 때 0이 되므로 보존’이라고 응답하였다. 벡터장 (b)는 비보존력장이지만 17명(63%)의 예비 물리교사가 보존력장이라고 응답하였다. 벡터장 (b)가 보존력장이라고 응답한 예비 물리교사의 응답 이유를 살펴보면, ‘힘이 순환하는 것 같다’, ‘회전성이 있어서’, ‘모든 벡터가 상쇄되어 힘이 보존될 거라 생각했다’ 등의 이유를 작성하였다. 벡터장 (c)는 보존력장이지만 27명 중 7명(26%)의 예비 물리교사가 보존력장이라고 응답하였다. 벡터장 (c)를 보존력장이라고 응답한 예비 물리교사의 응답 이유를 살펴보면, ‘힘이 원점으로 모인다’, ‘각 힘이 상쇄되는 방향으로 같은 크기로 흐르고 있기 때문에’라고 응답하였다. 벡터장 (d)는 벡터의 크기가 다른 직선 벡터장이며 비보존력장이다. 벡터장 (d)가 보존력장이라고 응답한 예비 물리교사는 4명(15%)이었으며, 응답 이유로 ‘힘의 크기와 상관없이 서로 직각일 때 0이 되므로 보존’이라고 응답하거나 ‘상쇄되는 것이 없기 때문에’라고 응답하였다.

문항 6은 제시된 힘 벡터가 보존력인지 판별하는 계산 문항이다(Fig. 4). 이 문항에서 4명(15%)의 예비 물리교사는 식 ∇×F→=0를 활용하여 제시된 힘이 보존력이라는 것을 판별하였다. 하지만 27명 중 4명(15%)은 ∇×F→=0 식을 활용하여 오답을 도출하였으며, 3명(11%)은 ∇×F→=0 식을 활용하면 보존력을 판별할 수 있다고 응답하였지만, 풀이를 이어가지 못하였다. 그리고 16명(60%)이 이 문항에 응답하지 않았다. 문항 7은 좌표에 따라서 물체가 이동했을 경우 힘의 장이 한 일을 구하는 문항이다(Fig. 4). 이 문항은 문항 6에서 힘 F가 보존력인 것을 판별하였고, 보존력의 조건 ③(∮F→·dr→=0)을 알고 있다면 별도의 풀이 과정 없이 보존력이 한 일이 0이라는 것을 알 수 있다. 문항 7에서 정답을 맞힌 예비 물리교사는 아무도 없었으며 2명(7%)은 ∮F→·dr→ 식만 작성한 뒤 풀이를 이어가지 못하였다. 4명(15%)은 풀이를 시도하였으나 틀린 풀이로 오답을 도출하였으며, 15명(56%)이 이 문항에 응답하지 못하였다.

Figure 4. Question 6 and Question 7.

3. 컬과 보존력에 대한 어려움

본 연구에서는 예비 물리교사가 컬과 보존력에 대하여 학습할 때 어떤 어려움을 겪고 있는지 분석하기 위해 수학에서 컬의 어려움, 물리에서 컬의 어려움, 보존력의 어려움에 대하여 조사하였다. 컬의 어려움에 대한 예비 물리교사의 응답을 수학과 물리로 구분하여 분석하였는데, 컬에 대한 어려움으로 수학과 물리에서 차이가 있음을 알 수 있다(Table 13). 수학에서 컬에 대한 어려움으로는 ‘수학적인 접근이 어려움’, ‘개념과 내용 등이 생소함’ 유형에 각 7명(26%)으로 가장 많이 응답하였으나, 물리에서 컬 어려움으로 ‘의미를 이해하는 것이 어려움’ 유형에 11명(41%)으로 가장 많이 응답하였다.

Table 13 Answers for difficulties with curl: mathematics and physics.

Answers type	No. of responses
	mathematics	physics
Difficulties in a mathematical approach	7(26%)	3(11%)
Unaccustomed to concepts and content	7(26%)	1(4%)
Difficulties in understanding the meaning	2(7%)	11(41%)
No Difficulties	2(7%)	1(4%)
Difficulties associating with vectors	-	2(7%)
Difficulties correlating coordinate plane with curl	1(4%)	-
Etc	1(4%)	1(4%)
No answer	7(26%)	7(26%)
Total	27(100%)	27(100%)

수학에서 컬 어려움으로 수학적인 접근이 어렵다고 응답한 예비교사(26%)는 ‘수학적으로 접근할 때는 공식을 암기하는 데에 어려움이 있음’, ‘공식을 외우고, 외운 것을 문제에 적절히 적용하는 것’ 등으로 설명하였다. 또, 개념과 내용 등이 생소하다고 응답한 예비교사(26%)의 일부는 ‘컬을 수학적으로 이해하는 것은 쉬웠지만, 생소한 단어이기에 접근 자체를 하지 못함’, ‘생소한 개념과 내용이어서’ 라고 설명하였다. 물리에서 컬의 어려움으로 컬의 의미를 이해하는 것이 어렵다고 가장 많이 응답하였는데(41%), ‘수학적인 계산 방법이 제대로 정립되어 있지 않으며 물리적 의미를 부여하는 것이 부담스러움’, ‘컬의 본질을 모르고 물리에서 컬 사용법만 외워서 하는 느낌이다 보니 의미 해석이 어려움’ 등으로 설명하였다.

예비 물리교사가 응답한 보존력의 어려움은 Table 14와 같다. 응답 결과에 의하면 예비 물리교사는 보존력의 개념이나 의미 자체를 가장 많이 어려워하였으며(26%), 보존력을 적용하여 문제를 해결하는 것을 어려워하였다.(19%). 그리고, ‘이해하는 것이 어려움’ 유형에 2명(6%), ‘말이나 글로 표현하기 어려움’ 유형에 1명(4%), 기타 유형에 1명(4%)이 있었다. 27명 중 2명(6%)은 ‘어려움이 없다’라고 응답하였으며, 9명(33%)은 응답하지 않았다. 예비 물리교사의 어려움 유형 두 개를 살펴보면, 개념 및 의미가 어렵다(26%)고 응답한 예비교사는 ‘의미를 곱씹는 것이 어려움’, ‘단순하게 보존되는 힘이라고 생각하기보다 나만의 개념을 확립해야 하는 느낌이 들어서 어려웠음‘, ’번역이 제대로 되어있는지 의문이 들 만큼 보존력의 힘들이 보존력이라는 단어와 매칭이 잘 안됨‘ 등으로 설명하였다. 그리고 보존력을 적용하는 것이 어렵다(19%)고 응답한 예비교사는 ‘개념적으로는 이해했으나, 보존력이 적용되는 문제 풀이의 어려움’, ‘눈에 보이지 않는 물리량을 수학을 이용하여 해석하는 것의 어려움’ 등으로 설명하였다.

Table 14 Answers for difficulties with conservative force.

Answers type	No. of responses
Difficulties in concept and meaning	7(26%)
Difficulties applying conservative force	5(19%)
Difficulties in understanding	2(6%)
No Difficulties	2(6%)
Difficulties in expressing in words or pictures	1(4%)
Etc	1(4%)
No answer	9(33%)
Total	27(100%)

본 연구에서는 예비 물리교사가 컬, 스토크스 정리, 보존력에 대해 어떻게 이해하고 있는지 알아보기 위하여 이와 관련된 설문지를 개발하여 설문을 실시하였으며, 예비 물리교사의 응답 특징에 대하여 분석하였다. 본 연구의 연구 문제에 대한 연구 결과는 다음과 같다.

첫째, 컬에 대한 개념 이해 문항과 문제풀이 문항의 응답을 전체적으로 분석한 결과, 예비 물리교사는 특히 컬 개념을 그래디언트로 혼동하였으며, 선적분·면적분 문제풀이 문항과 벡터장에서 컬을 판별하는 문항에서 전공 물리학 이해에 요구되는 기대 수준에 도달하지 못하는 것으로 나타났다. 연구 결과를 자세히 살펴보면, 컬 개념 조사에 대한 문항에서 컬 연산자에 대한 정답률은 19%였으며, 컬의 의미를 회전과 연관 지어 설명한 예비교사는 37%였다. 선적분과 면적분을 계산하는 문항에는 정답률이 0%이었으며, 스토크스 정리의 의미를 묻는 문항에서 1명(4%)만 의미를 설명하였다. 또, 2차원 벡터장을 제시한 뒤 각 벡터장의 주어진 영역에서 컬이 0인 부분을 고르는 문항에서 영역 안의 벡터를 합산하여 컬 여부를 판별하는 경향이 있었다. 응답 결과로 보아 예비 물리교사는 컬을 학습할 때 컬의 개념을 확립하는 데 어려움을 느끼며 미적분 및 컬에 대한 낮은 이해도가 스토크스 정리를 이해하는 데 영향을 미친 것으로 보인다.

둘째, 보존력에 대한 개념 이해 문항과 문제풀이 문항의 응답을 전체적으로 분석한 결과, 보존력 개념 조사에 대한 문항에서 예비 물리교사는 과학적 개념과 다른 응답을 하였으며, 보존력장을 판별하는 문제풀이 문항에서 회전하는 장을 보존력장으로 인식하는 경향이 있었다. 또, 보존력의 조건으로는 응답하였지만 그 식을 활용하여 수학적으로 계산하는 문제풀이 문항에서 정답률이 낮았다. 연구 결과를 자세히 살펴보면, 보존력과 비보존력을 과학적으로 설명한 물리 예비교사는 3명(11%)이었으며, 19명(70%)은 보존력과 비보존력을 과학적으로 설명하지 못하였고 5명(19%)은 응답하지 못하였다. 또, 보존력과 비보존력을 구분하여 설명할 때 에너지 보존 여부, 힘 보존 여부, 경로 연관 유무 유형에서 비슷한 응답자 수가 있었다. 보존력과 비보존력에 대한 연상 그림에서 물체의 운동 그림에 가장 많이 응답(41%), 하였으며, 주어진 4개의 벡터장에서 보존력장을 고르는 문항에서는 17명(63%)의 예비교사가 회전하는 벡터장을 보존력장이라고 이해하고 있었다. 예비 물리교사의 과반수는 조건 ③(∮CF→·dr→=0)과 조건 ④(∇×F→=0)를 보존력의 조건으로 인식하고 있지만, 이 두 식을 활용하여 보존력을 판별하거나 보존력이 한 일을 구하는 문항에서는 정답률이 낮았다. 예비 물리교사는 보존력을 과학적으로 설명하지는 못하였지만 보존력을 글과 그림으로 설명하는 것에는 응답률이 높았다. 하지만 보존력을 판별하는 문항과 보존력장을 판별하는 문항에서 응답률과 정답률이 모두 낮았는데, 이는 스토크스 정리에 대한 낮은 이해도가 물리 상황을 이해하는 데 어려움을 겪은 것으로 보인다.

셋째, 수학과 물리학 학습 맥락에서 컬과 보존력의 개념 이해에 대한 어려움을 분석한 결과, 예비 물리교사는 컬과 보존력의 개념 이해에 다양한 유형의 어려움을 갖고 있었다. 컬의 어려움을 수학과 물리로 구분하여 분석하였는데 수학에서 컬의 어려움으로는 수학적인 접근이 어렵고(26%) 개념과 내용이 생소하다(26%)고 가장 많이 응답하였다. 반면 물리에서 컬의 어려움으로는 컬의 의미를 이해하는 것이 어렵다고 가장 많이 응답하였다(41%). 보존력을 학습할 때 예비 물리교사가 겪는 어려움에도 여러 유형이 있었다. 예비 물리교사는 보존력의 개념이나 의미가 어렵다고 가장 많이 응답하였으며(26%), 보존력을 적용하여 문제를 해결하는 것이 어렵고(19%), 이해하는 것이 어려움(6%), 말이나 글로 표현하기 어려움(4%) 등이 있었다. 응답 결과로 보아 예비 물리교사는 컬과 보존력의 개념 자체를 이해하는 것에 어려움을 느끼므로 컬과 보존력을 물리적 상황에 적용할 때 개념에 대한 이해가 바탕이 되도록 지도하는 것이 필요해 보인다.

본 연구의 주요 결과를 토대로 도출한 결론은 다음과 같다. 첫째, 예비 물리교사가 컬에 대한 정확한 이해를 바탕으로 컬을 벡터장에 적용하여 물리적으로 이해할 수 있도록 지도하는 것이 필요하다. 컬을 물리적 상황에 적용할 때는 컬의 연산자와 의미를 이해하고 있어야 하지만, 본 연구에 참여한 예비 물리교사 27명 중 3명(11%)만 컬의 연산자와 의미를 제대로 설명하였다. 또, 벡터장에서 계산을 통해서 컬이 0인지 아닌지 계산을 통해 판별하는 문항과 제시된 힘이 보존력인지 계산을 통해 판별하는 문항, 제시된 벡터장의 보존력장 여부를 판별하는 문항에서 정답률이 낮았다. Baily[15]의 연구에서도 벡터장을 이해하기 위해 컬에 대한 이해가 필요하다고 지적하였다. 본 연구의 결과는 컬에 대한 이해가 부족하여 벡터장을 이해하는 데 어려움을 겪은 것으로 해석할 수 있다. 따라서 예비 물리교사가 컬에 대한 정확한 이해를 바탕으로 벡터장을 해석할 수 있도록 벡터 미적분에 대한 개념 이해 및 적용을 선행하고 이를 장과 힘의 작용에 대한 물리적 상황과 관련짓는 교수-학습 지도가 필요해 보인다.

둘째, 예비 물리교사가 보존력과 보존력장 판별에 스토크스 정리를 적용하여 물리적 상황을 기술하거나 문제풀이에 적용하는 교수·학습적 지도가 필요하다. 본 연구에는 제시된 조건 중 보존력의 조건을 모두 고르는 문항이 포함되어 있다. 응답 분석 결과에 의하면 과반수의 예비 물리교사가 스토크스 정리(∮cF→(r→)·dr→=∫s(∇×F→(r→))·dS→)의 좌변과 연관된 ∮F→·dr→=0식과 스토크스 정리의 우변과 연관된 ∇×F→=0식을 보존력의 조건으로 응답하였다. 하지만 본 연구의 ∇×F→=0 식을 적용하여 제시된 힘이 보존력인지 정량적으로 판별하는 문항과 ∮F→·dr→=0을 적용하여 제시된 힘의 장이 한 일을 구하는 문항에서 정답률이 0이었으며, 제시된 벡터장의 보존력장 판별 문항에서도 정답률이 낮았다. 이는 예비 물리교사가 보존력의 조건으로 두 식을 인식하고 있지만 벡터장에 대한 해석으로 이어지지 못한 것으로 보인다. 따라서 예비 물리교사가 보존력의 조건과 스토크스 정리의 연관성을 이해하고, 이를 적용하여 해석할 수 있도록 교수·학습적 측면에서 노력이 이루어져야 한다.

셋째, 수업 전·후에 다양한 표상(글, 그림 등)으로 보존력을 설명하게 하여 예비 물리교사가 보존력을 어떻게 이해하고 있는지 확인하는 교수·학습적 노력이 필요하다. 본 연구에서는 보존력과 비보존력을 다양한 표상을 사용하여 설명하게 하였으며, 예비 물리교사는 글과 그림을 사용하여 자신이 이해하고 있는 보존력과 비보존력을 설명하였다. 응답 분석 결과에 의하면 27명의 예비 물리교사 중 3명(11%)만 보존력과 비보존력을 과학적으로 설명하였으며, 일부 예비교사는 보존력 또는 비보존력과 무관한 그림을 그리기도 하였다. 또, 보존력과 관련된 어려움을 묻는 문항에서 ‘보존력 개념과 의미가 어려움’,‘이해하는 것이 어려움’, 말이나 글로 표현하기 어려움’ 등의 응답 유형이 있었다. 이것으로 보아 예비 물리교사는 보존력과 비보존력 개념에 대한 이해가 부족하여 이것을 다양한 표상으로 표현하기 어려워하는 것으로 보인다. 본 연구에서는 설문의 응답을 통하여 예비 물리교사가 보존력과 비보존력을 어떻게 인식하고 있는지 분석할 수 있었는데, 이를 활용하면 추후에 보존력에 대하여 가르칠 때 예비교사의 수준에 맞는 교수·학습이 이루어질 수 있을 것으로 생각한다. 따라서, 예비 물리교사에게 보존력을 가르칠 때 다양한 표상(글, 그림 등)을 활용하여 예비 물리교사가 가지고 있는 보존력 개념을 확인하는 교수·학습적 노력이 필요해 보인다.

본 논문은 박상유의 2023년도 석사 학위논문의 데이터를 활용하여 재구성하였습니다.