npsm 새물리 New Physics : Sae Mulli

pISSN 0374-4914 eISSN 2289-0041
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Article

Research Paper

New Phys.: Sae Mulli 2024; 74: 958-962

Published online September 30, 2024 https://doi.org/10.3938/NPSM.74.958

Copyright © New Physics: Sae Mulli.

Critical Behavior of Three State Majority Voter Model on Kagomé Lattice

카고메 격자 위의 삼중상태 다수보터 모형의 임계현상 연구

Seol Ryu, Wooseop Kwak*

1Department of Chemistry, Chosun University, Gwangju 61452, Korea
2Department of Physics, Chosun University, Gwangju 61452, Korea

Correspondence to:*wkwak@chosun.ac.kr

Received: May 30, 2024; Revised: July 22, 2024; Accepted: July 22, 2024

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Despite many studies on the majority voter model, critical phenomena on Kagomé lattice have not been well understood. In this study, we performed Monte Carlo simulations of three-state majority voter model on the Kagomé lattice to gain an insight into its critical phenomena. We applied order parameter to calculate susceptibility and used the finite size scaling law to obtain the critical noise qc=0.095(3), and critical exponents γν=1.74(2) and βν=0.13(1). The results of this study showed that the calculated critical exponents satisfy the Rushbrooke and Josephson scaling law.

Keywords: Majority voter, Three-state model, Phase transition, Kagomé lattice

다수보터 모형(majority voter model)에 대한 연구는 현재까지 많이 수행되어 왔지만 카고메(Kagomé) 격자 위에서 나타나는 이 모형의 임계현상은 아직 제대로 알려져 있지 않다. 본 연구에서는 카고메 격자 위 삼중상태 다수보터 모형의 임계현상(critical phenomena)에 대하여 몬테칼로 전산시늉(Monte Carlo simulation)을 수행하였고 질서변수(order parameter)를 적용하여 자기감수율(magnetic susceptibility)을 계산한 후, 유한축척(finite size scaling) 법칙을 이용하여 임계잡음(critical noise) qc=0.095(3), 그리고 임계지수 γν=1.74(2)βν=0.13(1)을 구하였다. 본 연구의 결과는 계산된 임계지수들이 러쉬브룩-조셉슨 임계 법칙(Rushbrooke and Josephson scaling law)을 잘 만족하고 있음을 보여주었다.

Keywords: 다수보터 모형, 삼중상태, 상전이, 카고메 격자

최인접 이웃(nearest neighbors)을 관찰하고 그들의 의견을 반영하여 자신의 의견(opinion)을 결정하는 다수보터 모형(majority voter model)은 여러 의견 역학(opinion dynamics) 연구자들에 의하여 잘 알려진 비평형 스핀 모형 중에 하나이다[1-16]. 다수보터 모형에서 격자 위의 에이전트(agent)인 스핀의 값은 인접 이웃들의 의견(값)을 모아 자신의 값을 다수(majority)의 값으로 바꾼다. 다수보터 모형의 의견결정 과정을 확률 과정(stochastic process)으로 만들기 위하여 제어변수(control parameter)인 잡음(noise) q을 도입하면 소수의 의견도 q의 확률로 선택될 수 있으, 질서-무질서 상전이(phase transition)가 임계잡음(critical noise) qc에서 나타나게 된다[6-8].

이차원 격자 위의 이중상태(two-state)를 가지는 다수보터 모형은 이차원 격자 위며 이징(Ising) 모형과 같은 보편성 부류(universality class)에 속하지만, 삼차원 이상부터는 이징 모형과는 다른 보편성 부류와 상임계차원(upper critical dimension)[4-8]을 가진다.

또, 복잡한 상호작용을 통하여 의견이 변화되는 과정을 연구하기 위하여 삼중상태(three-state)를 가지고 있는 다수보터 모형 역시 이차원 격자[17, 18]와 작은 세상 네트워크(small world network)[19]에서 연구되어 왔다.

우리는 카고메(Kagomé) 격자 위 삼중상태(three-state) 다수보터 모형의 임계현상(critical phenomenon)을 연구하기 위하여 몬테칼로 전산시늉(Monte Carlo simulation)을 수행하였다. 여기에서 우리는 삼중상태 다수보터 모형의 질서변수(order parameter), 자기감수율(magnetic susceptibility), 빈더의 큐뮬런트(Binder's cumulant)[20-23]를 계산하고 유한축척 분석(finite-size scaling analysis)을 통하여 임계잡음과 임계지수(critical exponent)를 구하였다. 본 논문에서는 계산된 임계지수들에 근거하여 카고메 격자 위의 삼중상태 다수보터 모형이 삼중상태 포츠 모형(three-state Potts model)과 같은 보편성 부류에 속하는지 알아 보고자 한다.

1. 모형과 전이확률

최초의 다수보터 모형[9] 은 두가지 의견을 가지고 있는 이중상태(two-state) 보터모형이다, 이논문에서 우리는 세가지 의견을 가지고 있는 삼중상태(three-state 다수보터 모형의 연구[19]를 수행하였다. 여기서, 세가지 의견은 스핀의 값 σi={1,2,3} 중 하나이다.

우리는 주기경계조건(periodic boundary conditon)을 만족하는 카고메(Kagomé) 격자 위에서 삼중상태 다수보터 모형의 전산모의 시늉을 수행하였다. Syozi[24]에 의하여 처음으로 소개된 카고메 격자는 삼각 격자(triangular lattice)와 벌집 격자(honeycomb lattice)의 결합한 모양으로, 이차원 평방 격자(square lattice)와 같이 이웃들의 숫자인 배위수(coordination number)가 4로 동일하지만, 자기 스핀 쩔쩔맴(geometrical magnetic spin frustration) 현상을 연구하는데 물리학, 화학, 공학 분야에서 중요한 역할을 하고 있다. 다수보터 모형가 활발히 진행되어 왔지만, 카고메 격자위의 삼중상태 다수보터 모형이 임계점에서 나타나는 물리현상에 대해서는 잘 알려져 있지 않다.

다수보터 모형의 스핀값은 다음과 같은 확률론적 방법으로 스핀의 값을 업데이트 할 수 있다. 다수보터 모형은 이웃의 다수를 따르는 경향이 있다. 즉, (1-q)의 확률로 이웃의 다수를 따르고, q의 확률로 다수가 아닌 이웃을 따른다, 여기서 q를 잡음(noise)이라 한다.

삼중상태 모형에서 임의의 스핀σi 이웃의 스핀 σj를 따른 전이 확률(transtion rate) P의 경우의 수 다음과 같다:

σj가 단독다수 이면,P=1-q,
σj가 이중다수 이면,P=1-q2
σj가 단독소수 이면,P=q,
σj가 이중다수 이면,P=q/2,
σj가 삼중다수 이면,P=1/3

2. 물리량

세가지 의견은 스핀값 σi={1,2,3} 중 하나이고, 질서변수(order parameter) m는 다음과 같이 정의 된다:

m=m12+m22+m33,
mi=32NiN-13.

여기서 Ni는 스핀값 σi의 합이고 N은 전체 스핀수 이다.

질서변수의 요동(fluctuation)인 자기감수율(magnetic susceptibility)를 다음과 같이 정의한다:

χL=L2(<m2>-<m>2),

여기서 L은 길이차원(linear dimension) 이다.

빈더의 큐뮬런트(Binder's cumulant)[20-23]는 다음과 같다.

UL=1-<m4>3<m2>2.

길이 차원이 L 인 카고메 격자의 질서변수와 자기감수율의 유한축척(finite-size scaling) 형태는 다음과 같다.

mL=L-βνm˜(L1νt) : (t<0),
χL=Lγνχ˜(L1νt),

여기서 환산잡음 (reduced noise)은 t=(q-qc)/qc 이고, m˜χ˜은 보편축척함수(universal scaling function)이다.

전산시늉은 주기경계조건을 가지고 있는 길이차원 L인 카고메 격자위에서 삼중상태 다수보터 모형을 전이확률 Eq. (1)Eq. (5)를 사용하여 수행하였고, 사용한 길이차원 L은 6, 8, 10, 12, 14, 16과 18이다.

삼중상태 다수보터모형의 열역학적극한(thermodynamic limit)에서의 임계잡음 값 qc은 빈더의 큐뮬런트 Eq. (9)로 구하였다.

Figure 1은 잡음의 함수로써 빈더의 큐물런트 UL(q)를 보여준다. 질서-무질서 상전이를 특징하는 임계잡음 qc은 존재하고[13], 우리는 카고메 격자에서 qc=0.0095(3)을 얻었다. 이 값은 이차원 격자에서 얻은 qc=0.1180(2)와는 다른 값을 보여주고 있다[19].

Figure 1. (Color online) Plot of Binder's cumulant UL of 3 state majority voter model on Kagomé as a function of noise q for linear dimension L=6, 8, 10, 12, 14, 16, and 18.

Figure 2는 시스템 크기 L에 의존하 유한크기 자기감수율(finite-size magnetic susceptibility) χL 을 잡음 q의 함수로 그린 그림이다.

Figure 2. (Color online) Plot of finite-size finite-size magnetic susceptibility χL of 3 state majority voter model on Kagomé as a function of noise q for linear dimension L=6, 8, 10, 12, 14, 16, and 18.

자기감수율 χL 유한축 그림은 길이차원에 관계없이 임계값 근처에서 축척이 되는 것을 Fig. 3은 보여준다. 우리는 Eq. (11)의 유한축척을 사용하여, 임계지수 γ/ν=1.72(2)를 길이차원마다 χL(q)L-γν(q-qc)/qcL1ν의 함수로 그린 그림을 일치시켜 구하였다.

Figure 3. (Color online) Scaling plot of finite-size susceptibility χL of 3 state majority voter model on Kagomé as a function of linear dimension L at the vicinity of qc for linear dimension L=6, 8, 10, 12, 14, 16, and 18.

Figure 4는 유한축척 시스템 크기 L에 의존하는 유한크기 질서변수(finite-size magnetization) mL(q) 을 잡음 q의 함수로 그린 그림을 보여준다.

Figure 4. (Color online) Plot of finite-size magnetization mL of 3 state majority voter model on Kagomé as a function of noise q for linear dimension L=6, 8, 10, 12, 14, 16, and 18.

질수변수 mL 유한축척 시스템크기에 관계없이 임계잡 근처에서 축척이 되는 것을 Fig. 5는 보여준다. 우리는 Eq. (10)의 유한축척을 사용하여, 임계지수 β/ν=0.13(1)를 길이차원마다 mL(q)L-βν(q-qc)/qcL1ν의 함수로 그린 그림으로부터 구하였다.

Figure 5. (Color online) Scaling plot of finite-size magnetization mL of 3 state majority voter model on Kagomé as a function of linear dimension L at the vicinity of qc for linear dimension L=6, 8, 10, 12, 14, 16, and 18.

본 논문에서는 길이 차원 L이 각각 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18인 카고메 격자에 대하여 몬테칼로 전산시늉[20-23, 25-27]을 수행하여 삼중상태 다수보터 모형의 임계현상을 연구하였다.

우리는 삼중상태 다수보터 모형의 질서변수, 자기감수율, 빈더의 큐뮬런트를 계산하였고, 임계잡음과 임계지수를 유한축척 분석을 통하여 구하였다. 유한축척을 이용하여 얻은 임계잡음 qc=0.0095(3), 임계지수 γ/ν=1.74(2)β/ν=0.13(1)이고, γ/ν+2β/ν=1.95(5) 이다. Table 1은 이 결과가 러쉬브룩-조셉슨 임계관계(Rushbrooke and Josephson scaling law): γ/ν+2β/ν=d를 잘 만족하는 것을 보여준다.


The critical exponents of the spin models, 2 state majority voter model(MV2), and 3 state majority voter model(MV3).


Modelβ/νγ/ν
2-d MV2[4]0.120(7)1.78(10)
3-d MV2[5]0.60(3)2.1(1)
2-d MV3[19]0.136(3)1.76(2)
Kagomé MV30.13(1)1.72(2)
2-d Ising1/87/4
3-d Ising0.522.0
2-d Potts,q=32/1526/15
mean field12


이차원에서 삼중상태의 포츠 모형에서는 γ/ν=26/15β/ν=2/15이 알려져 있으며[19], 우리의 결과는 강자성 포츠 모형의 보편화군 가설이 잘 맞는다는 것을 명확하게 보여준다.

이 논문은 2024년도 조선대학교 학술연구비의 지원을 받아 연구되었습니다.

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