Ex) Article Title, Author, Keywords
Ex) Article Title, Author, Keywords
New Phys.: Sae Mulli 2024; 74: 958-962
Published online September 30, 2024 https://doi.org/10.3938/NPSM.74.958
Copyright © New Physics: Sae Mulli.
Seol Ryu, Wooseop Kwak*
1Department of Chemistry, Chosun University, Gwangju 61452, Korea
2Department of Physics, Chosun University, Gwangju 61452, Korea
Correspondence to:*wkwak@chosun.ac.kr
This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License(http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Despite many studies on the majority voter model, critical phenomena on Kagomé lattice have not been well understood. In this study, we performed Monte Carlo simulations of three-state majority voter model on the Kagomé lattice to gain an insight into its critical phenomena. We applied order parameter to calculate susceptibility and used the finite size scaling law to obtain the critical noise
Keywords: Majority voter, Three-state model, Phase transition, Kagomé lattice
다수보터 모형(majority voter model)에 대한 연구는 현재까지 많이 수행되어 왔지만 카고메(Kagomé) 격자 위에서 나타나는 이 모형의 임계현상은 아직 제대로 알려져 있지 않다. 본 연구에서는 카고메 격자 위 삼중상태 다수보터 모형의 임계현상(critical phenomena)에 대하여 몬테칼로 전산시늉(Monte Carlo simulation)을 수행하였고 질서변수(order parameter)를 적용하여 자기감수율(magnetic susceptibility)을 계산한 후, 유한축척(finite size scaling) 법칙을 이용하여 임계잡음(critical noise)
Keywords: 다수보터 모형, 삼중상태, 상전이, 카고메 격자
최인접 이웃(nearest neighbors)을 관찰하고 그들의 의견을 반영하여 자신의 의견(opinion)을 결정하는 다수보터 모형(majority voter model)은 여러 의견 역학(opinion dynamics) 연구자들에 의하여 잘 알려진 비평형 스핀 모형 중에 하나이다[1-16]. 다수보터 모형에서 격자 위의 에이전트(agent)인 스핀의 값은 인접 이웃들의 의견(값)을 모아 자신의 값을 다수(majority)의 값으로 바꾼다. 다수보터 모형의 의견결정 과정을 확률 과정(stochastic process)으로 만들기 위하여 제어변수(control parameter)인 잡음(noise) q을 도입하면 소수의 의견도 q의 확률로 선택될 수 있으, 질서-무질서 상전이(phase transition)가 임계잡음(critical noise)
이차원 격자 위의 이중상태(two-state)를 가지는 다수보터 모형은 이차원 격자 위며 이징(Ising) 모형과 같은 보편성 부류(universality class)에 속하지만, 삼차원 이상부터는 이징 모형과는 다른 보편성 부류와 상임계차원(upper critical dimension)[4-8]을 가진다.
또, 복잡한 상호작용을 통하여 의견이 변화되는 과정을 연구하기 위하여 삼중상태(three-state)를 가지고 있는 다수보터 모형 역시 이차원 격자[17, 18]와 작은 세상 네트워크(small world network)[19]에서 연구되어 왔다.
우리는 카고메(Kagomé) 격자 위 삼중상태(three-state) 다수보터 모형의 임계현상(critical phenomenon)을 연구하기 위하여 몬테칼로 전산시늉(Monte Carlo simulation)을 수행하였다. 여기에서 우리는 삼중상태 다수보터 모형의 질서변수(order parameter), 자기감수율(magnetic susceptibility), 빈더의 큐뮬런트(Binder's cumulant)[20-23]를 계산하고 유한축척 분석(finite-size scaling analysis)을 통하여 임계잡음과 임계지수(critical exponent)를 구하였다. 본 논문에서는 계산된 임계지수들에 근거하여 카고메 격자 위의 삼중상태 다수보터 모형이 삼중상태 포츠 모형(three-state Potts model)과 같은 보편성 부류에 속하는지 알아 보고자 한다.
최초의 다수보터 모형[9] 은 두가지 의견을 가지고 있는 이중상태(two-state) 보터모형이다, 이논문에서 우리는 세가지 의견을 가지고 있는 삼중상태(three-state 다수보터 모형의 연구[19]를 수행하였다. 여기서, 세가지 의견은 스핀의 값
우리는 주기경계조건(periodic boundary conditon)을 만족하는 카고메(Kagomé) 격자 위에서 삼중상태 다수보터 모형의 전산모의 시늉을 수행하였다. Syozi[24]에 의하여 처음으로 소개된 카고메 격자는 삼각 격자(triangular lattice)와 벌집 격자(honeycomb lattice)의 결합한 모양으로, 이차원 평방 격자(square lattice)와 같이 이웃들의 숫자인 배위수(coordination number)가 4로 동일하지만, 자기 스핀 쩔쩔맴(geometrical magnetic spin frustration) 현상을 연구하는데 물리학, 화학, 공학 분야에서 중요한 역할을 하고 있다. 다수보터 모형가 활발히 진행되어 왔지만, 카고메 격자위의 삼중상태 다수보터 모형이 임계점에서 나타나는 물리현상에 대해서는 잘 알려져 있지 않다.
다수보터 모형의 스핀값은 다음과 같은 확률론적 방법으로 스핀의 값을 업데이트 할 수 있다. 다수보터 모형은 이웃의 다수를 따르는 경향이 있다. 즉, (1-q)의 확률로 이웃의 다수를 따르고, q의 확률로 다수가 아닌 이웃을 따른다, 여기서 q를 잡음(noise)이라 한다.
삼중상태 모형에서 임의의 스핀
세가지 의견은 스핀값
여기서
질서변수의 요동(fluctuation)인 자기감수율(magnetic susceptibility)를 다음과 같이 정의한다:
여기서 L은 길이차원(linear dimension) 이다.
빈더의 큐뮬런트(Binder's cumulant)[20-23]는 다음과 같다.
길이 차원이 L 인 카고메 격자의 질서변수와 자기감수율의 유한축척(finite-size scaling) 형태는 다음과 같다.
여기서 환산잡음 (reduced noise)은
전산시늉은 주기경계조건을 가지고 있는 길이차원 L인 카고메 격자위에서 삼중상태 다수보터 모형을 전이확률 Eq. (1) – Eq. (5)를 사용하여 수행하였고, 사용한 길이차원 L은 6, 8, 10, 12, 14, 16과 18이다.
삼중상태 다수보터모형의 열역학적극한(thermodynamic limit)에서의 임계잡음 값
Figure 1은 잡음의 함수로써 빈더의 큐물런트
Figure 2는 시스템 크기 L에 의존하 유한크기 자기감수율(finite-size magnetic susceptibility)
자기감수율
Figure 4는 유한축척 시스템 크기 L에 의존하는 유한크기 질서변수(finite-size magnetization)
질수변수
본 논문에서는 길이 차원 L이 각각 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18인 카고메 격자에 대하여 몬테칼로 전산시늉[20-23, 25-27]을 수행하여 삼중상태 다수보터 모형의 임계현상을 연구하였다.
우리는 삼중상태 다수보터 모형의 질서변수, 자기감수율, 빈더의 큐뮬런트를 계산하였고, 임계잡음과 임계지수를 유한축척 분석을 통하여 구하였다. 유한축척을 이용하여 얻은 임계잡음
The critical exponents of the spin models, 2 state majority voter model(MV2), and 3 state majority voter model(MV3).
Model | β/ν | γ/ν |
2-d MV2[4] | 0.120(7) | 1.78(10) |
3-d MV2[5] | 0.60(3) | 2.1(1) |
2-d MV3[19] | 0.136(3) | 1.76(2) |
Kagomé MV3 | 0.13(1) | 1.72(2) |
2-d Ising | 1/8 | 7/4 |
3-d Ising | 0.52 | 2.0 |
2-d Potts,q=3 | 2/15 | 26/15 |
mean field | 1 | 2 |
이차원에서 삼중상태의 포츠 모형에서는
이 논문은 2024년도 조선대학교 학술연구비의 지원을 받아 연구되었습니다.